PAGE10-核心素養(yǎng)測評三十九平面的基本性質(zhì)及兩直線位置關(guān)系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在下列命題中,不是公理的是 ()A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面C.假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上全部的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.假如兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【解析】選A.選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理,是由公理推證出來的,而公理是不須要證明的.2.若直線a,b,c滿意a∥b,a,c異面,則b與c ()A.肯定是異面直線B.肯定是相交直線C.不行能是平行直線D.不行能是相交直線【解析】選C.若a∥b,a,c是異面直線,那么b與c不行能平行,否則由公理4知a∥c.3.空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,從而∠FEH=30°,即EF與CD所成角為30°.4.空間四點(diǎn)A,B,C,D共面而不共線,那么這四點(diǎn)中 ()A.必有三點(diǎn)共線B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線D.不行能有三點(diǎn)共線【解析】選B.如圖①②所示,A,C,D均不正確,只有B正確.5.已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.畫出正四面體ABCD的直觀圖,如圖所示.設(shè)其棱長為2,取AD的中點(diǎn)F,連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為O,連接CO,則EF∥BD,則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角.△ABC為等邊三角形,則CE⊥AB,易得CE=QUOTE,同理可得CF=QUOTE,故CE=CF.因?yàn)镺E=OF,所以CO⊥EF.又EO=QUOTEEF=QUOTEBD=QUOTE,所以cos∠FEC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是【解析】如圖,取CN的中點(diǎn)K,連接MK,則MK為△CDN的中位線,所以MK∥DN.所以∠A1MK為異面直線A1M與DN所成的角.連接A1C1,AM.設(shè)正方體的棱長為4,則A1K=QUOTE=QUOTE,MK=QUOTEDN=QUOTE=QUOTE,A1M=QUOTE=6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以∠A1MK=90答案:90°7.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交的側(cè)面有4個.答案:48.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出五個命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b肯定是異面直線;⑤若a,b與c成等角,則a∥b.上述命題中正確的命題是________(只填序號). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故②不正確;當(dāng)a與b相交,b與c相交時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故③不正確;a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”,故④不正確;當(dāng)a,b與c成等角時,a與b可以相交、平行,也可以異面,故⑤不正確.答案:①三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,A是△BCD所在平面外的一點(diǎn),E,F分別是BC,AD的中點(diǎn).(1)求證:直線EF與BD是異面直線;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.【解析】(1)假設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相沖突.故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則AC∥FG,EG∥BD,所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角.又因?yàn)锳C⊥BD,則FG⊥EG.在Rt△EGF中,由EG=FG=QUOTEAC,求得∠FEG=45°,即異面直線EF與BD所成的角為45°.10.已知空間四邊形ABCD的對角線AC=20,BD=19,異面直線AC與BD所成的角的余弦值為QUOTE,點(diǎn)P,Q,M,N分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),(1)求證:四邊形PQMN是平行四邊形.(2)求四邊形PQMN的面積.【解析】(1)因?yàn)镻,Q是AB,BC的中點(diǎn),所以PQ∥AC,PQ=QUOTEAC,同理MN∥AC,MN=QUOTEAC,所以PQ∥MN,PQ=MN,所以PQMN是平行四邊形.(2)因?yàn)镻,N是AB,AD的中點(diǎn),所以PN∥BD,PN=QUOTEBD=QUOTE,又因?yàn)镻Q∥AC,所以PQ與PN所成的角就是異面直線AC,BD成的角,所以sin∠QPN=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以四邊形PQMN的面積為S=PQ·PN·sin∠QPN=10×QUOTE×QUOTE=5QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)設(shè)A,B,C,D是空間四個不同的點(diǎn),在下列命題中,不正確的是 ()A.若AC與BD共面,則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線C.若AB=AC,DB=DC,則AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,則AD⊥BC【解析】選C.由公理1知,命題A正確.對于B,假設(shè)AD與BC共面,由A正確得AC與BD共面,這與題設(shè)沖突,故假設(shè)不成立,從而結(jié)論正確.對于C,如圖,當(dāng)AB=AC,DB=DC,使二面角A-BC-D的大小改變時,AD與BC不肯定相等,故不正確.對于D,如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則由題設(shè)得BC⊥AE,BC⊥DE.依據(jù)線面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE,從而AD⊥BC.2.(5分)(多選)在空間中,有如下四個命題,其中正確的命題是 ()A.平行于同一個平面的兩條直線是平行直線B.垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面C.若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α∥βD.過平面α的一條斜線,有且只有一個平面與平面α垂直【解析】選BD.A平行于同一個平面的兩條直線,可能平行、相交或異面,不正確;B由面面平行的判定定理知正確;C若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等,則α與β可能平行,也可能相交,不正確;易知D正確.【變式備選】如圖是正四面體的平面綻開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是________.

【解析】還原成正四面體A-DEF,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合.易知GH與EF異面,BD與MN異面.連接GM,因?yàn)椤鱃MH為等邊三角形,所以GH與MN成60°角,易證DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE.因此正確結(jié)論的序號是②③④.答案:②③④3.(5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,nA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.方法一:因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以m∥B1D因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,所以n∥CD所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C因?yàn)椤鰾1D1C為正三角形,所以∠B1D1C=60所以m,n所成的角的正弦值為QUOTE.方法二:由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因?yàn)椤鰽EF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值為QUOTE.4.(10分)已知:空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=QUOTEBC,CH=QUOTEDC.求證: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)三直線FH,EG,AC共點(diǎn).【證明】(1)連接EF,GH,因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.又因?yàn)镃G=QUOTEBC,CH=QUOTEDC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設(shè)FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以三直線FH,EG,AC共點(diǎn).5.(10分)如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=QUOTE,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】如圖所示,取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在△ACD中,E,F分別是AD,AC的中點(diǎn),所以EF∥CD,所以∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角.在Rt△EAB