4.2直線、圓的位置關(guān)系4．2.1直線與圓的位置關(guān)系[學習目標]1.理解直線和圓的三種位置關(guān)系.2.會用代數(shù)與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關(guān)系．[知識鏈接]1．直線的點斜式方程為y－y0＝k(x－x0)，直線恒過定點(x0，y0)．2．圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)3．點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).[預習導引]直線與圓的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形要點一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.當m為何值時，圓與直線(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點．解方法一將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴當Δ>0，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當Δ＝0，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當Δ<0，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．方法二已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).當d<2，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當d＝2，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當d>2，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．規(guī)律方法直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法：(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．跟蹤演練1已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則()A．l與C相交B．l與C相切C．l與C相離D．以上三個選項均有可能答案A解析將點P(3,0)代入圓的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴點P(3,0)在圓內(nèi)．∴過點P的直線l必與圓C相交．要點二圓的切線問題例2過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．解因為(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點A在圓外．(1)若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－eq\f(15,8).所以切線方程為y＋3＝－eq\f(15,8)(x－4)，即15x＋8y－36＝0.(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.規(guī)律方法1.過一點P(x0，y0)求圓的切線方程問題，首先要判斷該點與圓的位置關(guān)系，若點在圓外，切線有兩條，一般設點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)用待定系數(shù)法求解，但要注意斜率不存在的情況，若點在圓上，則切線有一條，用切線垂直于過切點的半徑求切線的斜率，再由點斜式可直接得切線方程．2．一般地圓的切線問題，若已知切點則用k1·k2＝－1(k1，k2分別為切線和圓心與切點連線的斜率)列式，若未知切點則用d＝r(d為圓心到切線的距離，r為半徑)列式．跟蹤演練2求過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程．解由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k，則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0.∴eq\f(|－k－7|,\r(k2＋1))＝5.解得k＝eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).∴所求切線方程為y＋7＝eq\f(4,3)(x－1)或y＋7＝－eq\f(3,4)(x－1)，即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.要點三圓的弦長問題例3求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．解方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交點A(1,3)，B(2,0)，∴弦AB的長為|AB|＝eq\r(2－12＋0－32)＝eq\r(10).方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y得x2－3x＋2＝0.設兩交點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.∴|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(x2－x12＋[－3x2＋6－－3x1＋6]2)＝eq\r(1＋32x2－x12)＝eq\r(10[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(10×32－4×2)＝eq\r(10)，即弦AB的長為eq\r(10).方法三圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5，其圓心坐標為(0,1)，半徑r＝eq\r(5)，點(0,1)到直線l的距離為d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),2)，所以半弦長為eq\f(|AB|,2)＝eq\r(r2－d2)＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，所以弦長|AB|＝eq\r(10).規(guī)律方法求直線與圓相交時弦長的兩種方法：(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2.即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中k為直線l的斜率．跟蹤演練3直線x＋2y－5＋eq\r(5)＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為()A．1B．2C．4D．4eq\r(6)答案C解析圓的方程可化為C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圓心為C(1,2)，半徑r＝eq\r(5).如圖所示，取弦AB的中點P，連接CP，則CP⊥AB，圓心C到直線AB的距離d＝|CP|＝eq\f(|1＋4－5＋\r(5)|,\r(12＋22))＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝eq\r(r2－d2)＝2，故直線被圓截得的弦長|AB|＝4.1．直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是()A．過圓心B．相切C．相離D．相交但不過圓心答案D解析圓心(1，－1)到直線3x＋4y＋12＝0的距離d＝eq\f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq\f(11,5)<r.2．直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為()A．0或2B．2C.eq\r(2)D．無解答案B解析由圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(2))＝eq\r(m)，解得m＝2.3．設A、B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個交點，則|AB|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案D解析直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0,0)，則|AB|＝2.4．由點P(1,3)引圓x2＋y2＝9的切線的長是________．答案1解析點P到原點O的距離為|PO|＝eq\r(10)，∵r＝3，∴切線長為eq\r(10－9)＝1.5．過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為________．答案2x－y＝0解析設所求直線方程為y＝kx，即kx－y＝0.由于直線kx－y＝0被圓截得的弦長等于2，圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2)＝0，即圓心(1,2)位于直線kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直線方程是2x－y＝0.1.判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進行判斷，一般計算較簡單．而代數(shù)法則是通過解方程組進行消元，計算量大，不如幾何法簡捷．2．一般地，在解決圓和直線相交時，應首先考慮圓心到直線的距離，弦長的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形．還可以聯(lián)立方程組，消去y，組成一個一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系表達出弦長l＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|.3．研究圓的切線問題時要注意切線的斜率是否存在．過一點求圓的切線方程時，要考慮該點是否在圓上．當點在圓上時，切線只有一條；當點在圓外時，切線有兩條．一、基礎達標1．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值為()A．－2B．－4C．－6D．－8答案B解析由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a).圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋(eq\f(4,2))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.2．圓x2＋y2＝4上的點到直線x－y＋2＝0的距離的最大值為()A．2＋eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)D．0答案A解析圓心(0,0)到直線x－y＋2＝0的距離d＝eq\r(2)，∴所求最大距離為2＋eq\r(2).3．直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相切或相交C．相交D．相切答案C解析l過定點A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴點A在圓上，∵直線x＝1過點A且為圓的切線，又l斜率存在，∴l(xiāng)與圓一定相交，故選C.4．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0，當直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(3)時，a等于()A.eq\r(2)B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1答案C解析因為圓的半徑為2，且截得弦長的一半為eq\r(3)，所以圓心到直線的距離為1，即eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，解得a＝±eq\r(2)－1，因為a>0，所以a＝eq\r(2)－1，故選C.5．已知過點P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a等于()A．－eq\f(1,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)答案C解析由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，可設圓的切線方程為x＋ay＋c＝0，由切線x＋ay＋c＝0過點P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴eq\f(|1－2－2a|,\r(1＋a2))＝eq\r(5)，解得a＝2.6．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．答案eq\f(2\r(55),5)解析圓心為(2，－1)，半徑r＝2.圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\f(3\r(5),5)2)＝eq\f(2\r(55),5).7．求實數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足：(1)相交；(2)相切；(3)相離．解圓的方程化為標準式為(x－3)2＋y2＝4，故圓心(3,0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq\f(6,\r(m2＋1))，圓的半徑r＝2.(1)若相交，則d<r，即eq\f(6,\r(m2＋1))<2，所以m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2)；(2)若相切，則d＝r，即eq\f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq\r(2)；(3)若相離，則d>r，即eq\f(6,\r(m2＋1))>2，所以－2eq\r(2)<m<2eq\r(2).二、能力提升8．在圓x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點共有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案C解析圓心為(－1，－2)，半徑r＝2eq\r(2)，而圓心到直線的距離d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上有3個點滿足題意．9．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2eq\r(3)，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪[0，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))答案A解析設圓心為C，弦MN的中點為A，當|MN|＝2eq\r(3)時，|AC|＝eq\r(|MC|2－|MA|2)＝eq\r(4－3)＝1.∴當|MN|≥2eq\r(3)時，圓心C到直線y＝kx＋3的距離d≤1.∴eq\f(|3k－2＋3|,\r(k2＋－12))≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.∴－eq\f(3,4)≤k≤0.10．若直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝eq\r(1－x2)有兩個公共點，則b的取值范圍是________．答案[1，eq\r(2))解析如圖所示，y＝eq\r(1－x2)是一個以原點為圓心，長度1為半徑的半圓，y＝x＋b是一個斜率為1的直線，要使直線與半圓有兩個交點，連接A(－1,0)和B(0,1)，直線l必在AB以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線l的b值，當直線l與AB重合時，b＝1；當直線l與半圓相切時，b＝eq\r(2).所以b的取值范圍是[1，eq\r(2))．11．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．解(1)設圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，①eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10，②又∵過圓心和切點的直線與過切點的切線垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)，③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)設圓心坐標為(3m，m)．∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.三、探究與創(chuàng)新12．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)求證不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點