4.3公式法一、單選題1．下列各式中能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．解：多項x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是x2-1，故選：C．【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．2．因式分解（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．．故選C．【點睛】本題考查運用公式法進(jìn)行因式分解，解題關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握與應(yīng)用，題目比較簡單．3．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，則M、N的大小關(guān)系是（

）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【答案】A【解析】【分析】用M與N作差，然后進(jìn)行判斷即可．解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1，∵M(jìn)-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1)=3x2-x+3-2x2-3x+1=x2-4x+4=(x-2)2≥0，∴M≥N．故選：A．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解答題的關(guān)鍵．4．已知多項式的一個因式為，另一個因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】可運用平方差公式對所給代數(shù)式進(jìn)行因式分解得到所求的另一個因式．原式=（2x+y-z）（2x-y+z），∴另一個因式是2x+y-z，故選：D．【點睛】本題考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟記平方差公式分解因式．5．在多項式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】直接利用完全平方公式分別分解因式進(jìn)而判斷即可．解：（1）無法運用完全平方公式分解因式；（2）無法運用完全平方公式分解因式；（3），能運用完全平方公式分解因式；（4），能運用完全平方公式分解因式；故選B．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．6．已知，則的值是（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】D【解析】【分析】先對進(jìn)行變形，可以解出a，b的關(guān)系，然后在對進(jìn)行因式分解即可．∵，∴，，，∴，，∴故選：D．【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，在解題時要注意符號變換，同時掌握正確的運算是解答本題的關(guān)鍵．7．已知，則的個位數(shù)字為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】【分析】把3變成22-1，依次運用平方差公式進(jìn)行計算，再合并即可．∵由2的乘法性質(zhì)可得個位按照2,4,8,6四次一循環(huán),則16次方時個位為6.∴216-1個位為5,

216+1個位為7,

5×7=35∴原式個位為5.故選C【點睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，注意：平方差公式為：（a+b）（a-b）=a2-b2．8．已知，，是的三邊，如果滿足，則三角形的形狀是A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】將等號右側(cè)式子移到左側(cè),再將其因式分解,然后根據(jù)：若xy=0,則x=0或y=0,判斷即可.解:∵，，是的三邊∴∴或解得:或∴是等腰三角形或直角三角形.故選C.【點睛】此題考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各個方法、等腰三角形的定義和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.9．甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個農(nóng)戶決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)．為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，為了使所換土地的面積與原來4塊地的總面積相等，交換之后的土地的長應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)+bB．b+cC．a(chǎn)+cD．a(chǎn)+b+c【答案】C【解析】【分析】首先計算原來4塊地的總面積，再進(jìn)一步因式分解，出現(xiàn)a＋b的因式．解：原來四塊地的總面積是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b），則交換之后的土地長是（a＋c）米．故選C．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是能夠熟練運用分組分解法進(jìn)行因式分解．10．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】把（x－y）與（x＋y）看做一個整體，運用完全平方公式求解即可．解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2，＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2，＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2，＝（5x+y）2．故選B．【點睛】本題主要考查利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，要把（x－y）與（x＋y）看作一個整體，整理成公式形式是解題的關(guān)鍵．11．已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（）A． B．或 C．1 D．1或11【答案】D【解析】【分析】此題先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再結(jié)合a、b、c是正整數(shù)和a＞b探究它們的可能值，從而求解．解：根據(jù)已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整數(shù)，∴a－c＝1或a－c＝11故選D．【點睛】此題考查了因式分解；能夠借助因式分解分析字母的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=×（1+4+1）=3，故選D.【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．二、填空題13．因式分解的結(jié)果是_____．【答案】【解析】【分析】直接去括號再合并同類項，再利用完全平方公式分解因式即可．解：（a+b）2﹣4ab，＝a2+b2+2ab﹣4ab，＝a2+b2﹣2ab，＝（a﹣b）2．故答案為：（a﹣b）2．【點睛】本題主要考查了因式分解的計算，準(zhǔn)確理解計算是解題的關(guān)鍵．14．__________．【答案】【解析】【分析】先提公因式2x，得到，再利用平方差公式得到，檢查發(fā)現(xiàn)還可以繼續(xù)分解，再利用平方差公式分解即可解決．解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟知先提公因式再套平方差公式是解決本題的關(guān)鍵．15．分解因式：（1）________；（2）________；（3）________；（4）________；（5）________；（6）________；（7）________；（8）________；（9）________．【答案】

【解析】【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（2）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（3）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（4）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（5）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（6）利用十字乘法分解因式即可得到答案；（7）先提公因式再利用十字乘法分解因式即可得到答案；（8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可；（9）先把原式化為：，再利用完全平方公式與平方差公式分解即可.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）【點睛】本題考查的是十字乘法分解因式，分組分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.16．因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式x，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．17．已知，則的值是__________．【答案】7【解析】【分析】已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開，變形即可求出所求式子的值．將兩邊平方得：，即：，解得：＝7，故填7.【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．18．已知且a≠0，則＝__．【答案】2【解析】【分析】由可得：去分母整理可得：從而得到：于是可得答案．解：，故答案為：2．【知識點】本題考查的是整式的乘法運算，完全平方公式的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式的值，利用平方根的含義解方程，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．=_______．【答案】【解析】【分析】先利用平方差公式把每一個因數(shù)化為兩個因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計算乘法，從而可得答案．解：====故答案為：．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運算，運用平方差公式對有理數(shù)進(jìn)行簡便運算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．閱讀下面材料：一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有兩個字母a，b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等對稱式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．請根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是_______（填序號）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求對稱式的值；②若n＝﹣4，直接寫出對稱式的最小值．【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱式的定義進(jìn)行判斷；（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再變形得到＝＝，然后利用整體代入的方法計算；②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到＝，再利用完全平方公式變形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定的最小值．解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是①③．故答案為①③；（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n∴a+b＝m，ab＝n．①a+b＝﹣2，ab＝，＝＝＝＝6；②＝＝（a+b）2﹣2ab+＝m2+8+＝m2+，∵m2≥0，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查完全平方公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的定義及完全平方公式進(jìn)行求解即可．三、解答題21．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【解析】【分析】（1）直接提取公因式7，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（3）直接提取公因式3，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（4）直接利用平方差公式分解因式即可；（5）直接提取公因式分解因式即可；（6）直接提取公因式分解因式即可；（7）直接利用平方差公式分解因式即可；（8）直接提取公因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（9）直接利用平方差公式分解因式即可；（10）直接利用完全平方公式分解因式即可．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．22．把下列各式因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方差公式及完全平方公式即可求解；（2）利用完全平方公式即可求解；解：（1）＝（2）＝【點睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式及完全平方公式．23．把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）先進(jìn)行提公因式，然后將括號內(nèi)進(jìn)行合并同類項即可；（2）應(yīng)用公式法（平法差公式），進(jìn)行分解因式即可；（3）應(yīng)用公式法（完全平方公式），進(jìn)行因式分解即可；（4）應(yīng)用公式法（完全平方公式），進(jìn)行因式分解即可；（5）應(yīng)用公式法（完全平方公式），進(jìn)行因式分解即可．解：（1），，；（2），，；（3），，；（4），，；（5），，．【點睛】題目主要考查因式分解中的提公因式法和公式法，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵．24．先因式分解，然后計算求值：（1），其中，；（2），其中，．【答案】（1），9；（2）ab，．【解析】【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式分解因式，再代數(shù)求值即可；（2）先根據(jù)平方差公式分解因式，再代數(shù)求值即可．解：（1）當(dāng)，時，；（2）當(dāng)，時，原式．【點睛】本題考查了分解因式，能根據(jù)公式正確分解因式是解此題的關(guān)鍵．25．已知，，求代數(shù)式的值．【答案】39．【解析】【分析】先把分解因式，再利用完全平方公式變形，再整體代入求值即可.解：，，【點睛】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.26．已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足．求證：這個三角形是等邊三角形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)完全平方式將原式變形為，結(jié)合平方的非負(fù)性即可計算得到正確答案．解：∵==∴原式可變形為：=∵，∴∴∴即這個三角形是等邊三角形．【點睛】本題考查完全平方式的應(yīng)用，平方非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)相關(guān)知識點靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．27．下面是某同學(xué)對多項式進(jìn)行因式分解的過程(如圖)．回答下列問題：(1)第二步到第三步運用了因式分解的______；A．提取公因式

B．兩數(shù)和的完全平方公式C．平方差公式

D．兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)的因式分解是否徹底？________(填“是”或“否”)，若不徹底，請你直接寫出因式分解的最后結(jié)果________；(3)依據(jù)上題的解法嘗試對（x2-6x）（x2-6x+18）+81進(jìn)行因式分解．【答案】（1）B；（2）否；；（3）【解析】【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)利用了完全平方公式；（2）觀察發(fā)現(xiàn)最后一步還能利用完全平方公式繼續(xù)因式分解；（3）仿照例題中方法求解即可．(1)該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，故選：B，故答案為：B；(2)該同學(xué)的因式分解結(jié)果不徹底，所以填“否”，最后結(jié)果為，故答案為：否；；(3)設(shè)（x2-6x）=y，則原式，故答案為：．【點睛】本題考查整體換元的思想方法，注意分解因式的結(jié)果要徹底．28．有足夠多的長方形和正方形卡片，分別記為1號，2號，3號卡片，如圖1所示．(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請你用2種不同的方法表示陰影部分的面積．①方法1：______

方法2：______②請寫出代數(shù)式，，這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系：______．(2)解決問題：若，求的值．(3)如果選取1張1號，2張2號，3張3號卡片，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙），請畫出這個拼出的長方形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系得到的等式是：______．【答案】(1)①；②(2)20(3)畫圖見解析，【解析】【分析】（1）①方法1：利用大的的正方形的面積減去4個小長方形的面積即可；方法2：利用陰影正方形的邊長為直接計算面積即可；②由陰影部分的面積不變可得答案；（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解再利用，再整體代入求值即可；（3）選取1張1號，2張2號，3張3號卡片，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙），可得長方形的面積為：再分解因式，得到長方形的邊長，再畫出圖形即可.(1)解：①方法1：方法2：故答案為：②由陰影部分的面積不變可得：(2)解：(3)解：選取1張1號，2張2號，3張3號卡片，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙），則長方形的面積為：而所以該長方形的邊長為如圖所示：該圖形反映的面積恒等式為：故答案為：【點睛】本題考查的是完全平方公式與幾何圖形面積之間的關(guān)系，多項式的乘法與因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握“利用圖形面積得到代數(shù)恒等式”．29．閱讀理解：在教材中，我們有學(xué)習(xí)到，又因為任何實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以，即．例如，比較整式和的大小關(guān)系，因為，所以請類比以上的解題過程，解決下列問題：【初步嘗試】比較大?。篲_____；_____【知識應(yīng)用】比較整式和的大小關(guān)系，并請說明理由．【拓展提升】比較整式和的大小關(guān)系，并請說明理由．【答案】[初步嘗試]≥，≤；[知識應(yīng)用]≥；[拓展提升]【解析】【分析】[初步嘗試]兩式相減，仿照題干中的方法比較即可；[知識應(yīng)用]兩式相減，將結(jié)果因式分解，再比