PAGEPAGE1第10節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算1．(2024·商洛市模擬)設(shè)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能是()解析：B[由f(x)的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f(x)遞減，即導(dǎo)數(shù)小于0，可解除C，D；再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最終下降，函數(shù)f(x)遞減，再遞增，后遞減，即導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最終小于0，可解除A；則B正確．]2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于()A．2 B．0C．－2 D．－4解析：D[f′(x)＝2f′(1)＋2x令x＝1，則f′(1)＝2f′(1)＋2，得f所以f′(0)＝2f3．設(shè)曲線y＝sinx上任一點(diǎn)(x，y)處切線的斜率為g(x)，則函數(shù)y＝x2g(x解析：C[依據(jù)題意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx為偶函數(shù)．又x＝0時(shí)，y4．(2024·長(zhǎng)春市模擬)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為()A．1－a B．1C．a(chǎn)－1 D．－1解析：B[函數(shù)f(x)＝ax－lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為a－1，且f(1)＝a，則切線方程為y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，可得y＝1，故選B.]5．(2024·聊城市模擬)若曲線y＝acosx＋sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))處的切線方程為x－y＋1－eq\f(π,2)＝0，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：A[y＝acosx＋sinx的導(dǎo)數(shù)為y′＝－asinx＋cosx，可得曲線在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))處的切線斜率為k＝－a，由切線方程x－y＋1－eq\f(π,2)＝0，可得－a＝1，即a＝－1.]6．(2024·紹興市柯橋區(qū)高三模擬)已知曲線y＝eq\f(1,4)x2－3lnx的一條切線的斜率為－eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.解析：設(shè)切點(diǎn)為(m，n)(m＞0)，y＝eq\f(1,4)x2－3lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,x)，可得切線的斜率為eq\f(1,2)m－eq\f(3,m)＝－eq\f(1,2)，解方程可得，m＝2.答案：27．已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析：法一∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋eq\f(1,x)，y′|x＝1＝2.∴曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(當(dāng)a＝0時(shí)曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a法二同法一得切線方程為y＝2x－1.設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(diǎn)(x0，axeq\o\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\o\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))答案：88．如圖，已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l是曲線y＝f(x)在x＝4處的切線，令g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(4)＝________.解析：g′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′＝eq\f(xf′x－fx,x2).由已知圖象可知，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,3)和Q(4,5)，故k1＝eq\f(5－3,4－0)＝eq\f(1,2).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f′(4)＝eq\f(1,2)，因?yàn)镼(4,5)在曲線y＝f(x)上，故f(4)＝5.故g′(4)＝eq\f(4×f′4－f4,42)＝eq\f(4×\f(1,2)－5,42)＝－eq\f(3,16).答案：－eq\f(3,16)9．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，過(guò)點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線的斜率f′(1)＝0，∴所求的直線方程為y＝－2.(2)設(shè)過(guò)P(1，－2)的直線l與y＝f(x)切于另一點(diǎn)(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3.又直線過(guò)(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示為eq\f(y0－－2,x0－1)＝eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1)，又eq\f(x\o\al(3,0)－3x0＋2,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)－3，即xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2)，故所求直線的斜率為k＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－1))＝－eq\f(9,4)，∴y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過(guò)曲線C上隨意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過(guò)曲線C上隨意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件