二次函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)梳理

在公路、橋梁、隧道、城市建筑很多方面都有拋物線形應(yīng)用；生產(chǎn)和生活，有很多“利潤(rùn)最大”“用料最少”“開(kāi)

支最節(jié)約”“線段最短”“面積最大”等問(wèn)題，它們都有可能用到二次函數(shù)關(guān)系，用到二次函數(shù)的最值.解決這類問(wèn)題的

一般步驟如下.

⑴設(shè)自變量；

⑵建立函數(shù)解析式；

（3）確定自變量取值范圍；

（4）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最值（在自變量的取值范圍）.

典型例題

例1

拋物線y=/-4久+3交x軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABC有（）.

A.最大面積為1B.最大面積為2

C.最小面積為1D.沒(méi)有最大面積

解析設(shè)C（x,y）

因?yàn)閥=e一4%+3交x軸于點(diǎn)A.B,

所以AB|=2.

又因?yàn)镾ABC=-x\AB\x\y\,

所以S.c\AB\X\y\=\y\,

且已知點(diǎn)C是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

所以△ABC沒(méi)有最大面積.

例2

從地面上豎直向上拋出一個(gè)小球，小球運(yùn)動(dòng)的高度為h（單位：米）與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)解

析式是h=9.8t-4取2,那么小球運(yùn)動(dòng)的最大高度為一.

解析因?yàn)樾∏蜻\(yùn)動(dòng)的高度為h（單位：米）與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)解析式是h=9.8t-4.9產(chǎn)，

所以二次函數(shù)拋物線的開(kāi)口向下，根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口向下，小球運(yùn)動(dòng)存在最大高度，即當(dāng)t=1時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)會(huì)達(dá)到

最大高度，此時(shí)高度為4.9米.

例3

已知拋物線yi=ax2+bx+c（a豐0）與x軸相交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A,B在原點(diǎn)O兩側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)

A,C在一次函數(shù)y2=|x+n的圖像上，線段AB長(zhǎng)為16,線段OC長(zhǎng)為8,當(dāng)％隨著x的增大而減小時(shí)，求自變

量x的取值范圍.

解析因?yàn)榫€段OC長(zhǎng)為8,

所以n=8或-8.

當(dāng)n=-8時(shí)，則有A（6,0）.

因?yàn)閽佄锞€與x軸交點(diǎn)位于x軸兩側(cè)，且拋物線過(guò)A,C兩點(diǎn)，

所以a>0.

因?yàn)锳B=16,且A,B位于x軸的兩側(cè)，

所以B(-10,0),

所以由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-2.

又因?yàn)橐沟昧﹄S著x的增大而減小，且二次函數(shù)開(kāi)口向上,

所以爛-2.

同理可得n=8時(shí),xN2.

例4

已知拋物線y=/與直線y=(rn2-l)x+m2.

(1)當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)？

(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線與直線的交點(diǎn)從左側(cè)到右側(cè)分別為點(diǎn)A,B.當(dāng)直線與拋物線兩點(diǎn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

差為3時(shí)，求△AOB中0B邊上的高.

y=xz

)=(—-1)2+"?2

解析⑴聯(lián)立

所以%2=(m2—l)x+m2,BPx2—(m2—l)x—m2=0.

因?yàn)閽佄锞€與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以A—b2—4ac=(m2—l)2+4m2>0.

所以m取任何實(shí)數(shù)，拋物線與直線總有兩個(gè)交點(diǎn).

(2)因?yàn)閤2—(m2-1)%-m2=0,

2

所以犯=-1,%2=m.

又因?yàn)閈m2-(-1)|=3,

解得m=±V2,

所以直線的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2,

所以A(-1,1),B(2,4),

所以NBAO=90。，

所以/i=|V5.

雙基訓(xùn)練

1.拋物線y=/—+3交x軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABC().

A.最大面積為1B.最大面積為2C.最小面積為1D.沒(méi)有最大面積

2.用長(zhǎng)8m的鋁合金做成如圖所示形狀的矩形窗框，要求窗戶的透光面積最大，那么這個(gè)窗戶的最大透光面積

為().

A64D82

A.—TH7”B.-m

253

4o

C.4m2D.-m2

3

第2題圖

3.已知某商品的銷售利潤(rùn)y（元）與該商品銷售單價(jià)x（元）之間滿足y=-20/+i400x-20000關(guān)系,則獲利最

多為（）.

A.4500元B.5500元C.6500元D.20000元

4.若拋物線y=（%-2）2+k的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

A.（3,0）B.（0,3）C.（-3,0）D.（0,-3）

5.已知二次函數(shù)y=kx2-7x+7的圖像與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）.

A.k＞：且蚌0

C.fc＞|D.k＜汨k'O

6.已知有一拋物線形的拱橋洞，最大高度為4m,跨度為20m,現(xiàn)在建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則拋物線的

解析式為（）.

.12?4D51

A.y=——x乙+-xB.V=——好2-------X

,255/825

141r4

C.y=-----x7+-x

4255Qy=F+產(chǎn)+8

7.二次函數(shù)y=3-4x-5與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

8.有一批商品，每件進(jìn)價(jià)為70元，若每件售價(jià)為100元，則每天可以賣出20件.若該商品在一定范圍內(nèi)每降

價(jià)1元，其日銷量就增加1件，為獲得利潤(rùn)最大，這種商品的銷售單價(jià)應(yīng)降價(jià)（）.

A.5元B.10元C.15元D.20元

9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的圖像如圖所示,對(duì)稱軸為x=l,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.ac>0

B.方程ax2+bx+c=0的兩根是%i=—1,%2=3

C.2a-b=0

D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

10.在一個(gè)等腰直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形，其中等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為20cm,則矩形面積的最大值是一

11.如圖所示，以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩條拋物線分別經(jīng)過(guò)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D,則陰影部分的面積為—

A-1B

第11題圖

12.已知二次函數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，最值為16,且圖像在x軸上截得線段長(zhǎng)度為8,則二次函數(shù)的解析式為—.

13.已知拋物線的頂點(diǎn)是(3,-2),且在x軸上截得的線段長(zhǎng)度為6,拋物線的解析式為—

14.如果拋物線y=(4+k)x2+k開(kāi)口向下，則k的取值范圍是—.

15.已知二次函數(shù)y=x2+2mx+2,當(dāng)x>2時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是—.

2

16.已知點(diǎn)yi),B(X2>丫2)在二次函數(shù)y=(%-I)+1的圖像上，若>%2>1,則yi____y2(填或

17.已知△ABC中,AB與AB邊上高的和為20.求

(1)SAABC與AB的關(guān)系.

⑵AB為何值時(shí),SAABC的面積最大？

18.已知函數(shù)y=kx2-6x+3與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍.

19.用一塊長(zhǎng)為2m的矩形鐵皮折成截面為等腰梯形的水槽，如圖所示，即折線ABCD的長(zhǎng)為2m,已知梯形的

一個(gè)底角為120。,求：

D

⑴水槽截面面積.火。62)與側(cè)面寬x(m)之間函數(shù)解析式.AV.........................-y

(2)要使得水槽截面面積最大，它側(cè)面寬應(yīng)該是多長(zhǎng)？\/

第19題圖

能力提升

20.某建筑師為了美化建筑物的外表，把某大廈窗戶下半部分設(shè)計(jì)為拋物線形狀，如圖所示.兩條拋物線關(guān)于y

軸對(duì)稱,AE〃x軸“AB=4cm，.最低點(diǎn)C在x軸上，高CH=lcm,BD=2cm廁右邊拋物線DFE的解析式為（）.

Ay=；(x+3)25.y=—3)2

C.y=-(0+3)2D.y=--3)2

第20題圖

21.已知拋物線y=號(hào)久2+%+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則y=cx+l的圖像不經(jīng)過(guò)的象限為（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22.已知二次函數(shù)y=x2-x+a（a）0）,當(dāng)自變量x取m時(shí)，其相應(yīng)函數(shù)取值小于。，那么下列結(jié)論正確的是（

）.

A.m-］的函數(shù)值小于0

B.m-1的函數(shù)值大于0

C.m-1的函數(shù)值等于0

D.m-1的函數(shù)值與0的大小關(guān)系不能確定

23.已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像如圖所示，若一元二次方程ax2+bx+m=。有實(shí)數(shù)根，則m的最大值

為（）.

A.-3B.3

C.-6D.9

24.如圖所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1cm的速度，沿A—B—C的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C

時(shí)停止.

25.已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-l,l）,則ab有（）.

A.最小值0B.最大值:C.最大值0D.最小值

26.如圖所示，把拋物線丫=-；/平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8,0）和原點(diǎn)，頂點(diǎn)為B,它的對(duì)稱

軸與拋物線y=-交于C,則陰影部分面積為一.

27.如圖所示，平行四邊形ABCD中,AD=4cm,ZX=60。,BD14D,,一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度沿

A-B—C的路線做勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，使PM，4D當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s時(shí),設(shè)直線PM與AD交于E.?I|AAP

E的面積為

28.已知a+b+c=0,把拋物線yax2+bx+c向下平移1個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位，所得新拋物線的頂點(diǎn)

是（-2,0）,求原拋物線解析式.

29.某小區(qū)有一長(zhǎng)為100m,寬為80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)

（四塊綠化區(qū)為全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū),且四周出口一樣寬，寬度不小于50m,不大于60m,預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)每

平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50元.

（1）設(shè)其中一塊綠化區(qū)的邊長(zhǎng)是xm,寫(xiě)出工程總價(jià)y（元）與x（元）的函數(shù)解析式（寫(xiě)出x的取值范圍）.

⑵如果小區(qū)投資46.9萬(wàn)元，問(wèn)能否完成工程任務(wù)?若能，請(qǐng)寫(xiě)出x為整數(shù)所有的工程方案；若不能，說(shuō)明理

由（參考數(shù)據(jù)V3?1.732）.

第29題圖

拓展資源

30.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）的圖像如圖所示，給出以下結(jié)論：

@b2>4ac;（2）abc>0;（3）2a-b=0;@8a+c<0;⑤9a+3b+c<0.

其中結(jié)論正確的是—.（填正確結(jié)論的序號(hào)）

31.已知拋物線y=久2與y=（m2-l）x+m2.

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)？

⑵設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線與直線的交點(diǎn)從左向右分別為A,B,當(dāng)直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為3

32.“城市發(fā)展，交通先行”，成都市今年在中心城區(qū)啟動(dòng)了緩堵保暢的二環(huán)路高架橋快速通道建設(shè)工程，建設(shè)

后大大提升了二環(huán)路通行能力.研究表明，某種情況下，高架橋上的車速速度v（單位：千米/時(shí)）是車流密度x（單

位：輛/千米）的函數(shù),且當(dāng)（。<xW28時(shí),v=80;當(dāng)28<x<188時(shí)，v是一次函數(shù)，函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）求當(dāng)28<xW188時(shí)，v關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（2）若車流速度不低于50千米/時(shí)，求當(dāng)車流密度x為多少時(shí)，車流量P（單位：輛/時(shí)）達(dá)到最大?并求出最大值.

注：車流量是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，計(jì)算公式為：車流量=車流速度義車密度.

第32題圖

33.某水渠的截面呈拋物線形狀,水面的寬度為AB（單位：米），現(xiàn)以AB所在的直線為x軸，一拋物線的對(duì)稱

軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,已知4B=8米，設(shè)解析式為y=a久2一4.

⑴求a的值.

（2）點(diǎn)C（-l，m））是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接CD,BC,BD,求△BCD的面積.

第33題圖

34.如圖所示，一次函數(shù).y=kx+n的圖像與x軸和y軸分別交于A(6,0)和.S(0-2遍)線段AB的垂直平分

線交x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.

⑴試確定這個(gè)一次函數(shù)解析式.

(2)求A,B,C三點(diǎn)拋物線函數(shù)解析式.

第34題圖

1-5DBAAD6-9CBAB

10.100cm211.112.y=-(x-l)2+16

13.y=-%2——14.k<-415.m>-216.>

z93x—

17.(1)設(shè)AB=X,SAABC=y，則y=1%(20-%);⑵x=10時(shí),y有最大值50

18.k<3

19.(l)y=—乎%2+-73x(0<x<1);(2)|m

20-25BDABCD

26.1627.V52cm228.y=-i%2+-

,424

29.(l)y=-40%2+400x+480000(20<%<25)

(2)能?方案一:長(zhǎng)為23m,寬為13m;

方案二:長(zhǎng)為24m,寬為14m;

方案三:長(zhǎng)為25m,寬為15m.

30.①函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此b2>4ac.

②函數(shù)圖像開(kāi)口向上，故有a>0；與y軸交點(diǎn)為負(fù)數(shù)，因此c<0；函數(shù)對(duì)稱軸為?=1,因此b<0,即有:abc>0.

③函數(shù)對(duì)稱軸為?=1,則有2a+b=0.

2a

④因?yàn)?a+b=0,所以y=ax2-2ax+c.

若要判斷8a+c與0的大小關(guān)系，即判斷x=-2時(shí)y與0的大小關(guān)系，

由圖形結(jié)合二次函數(shù)，可得8a+c>0.

⑤若要判斷9a+3b+c與0的關(guān)系，即判斷x=3時(shí)y與0的關(guān)系.

由圖形結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得：x=3與