2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第二章圓錐曲線北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.能夠根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)

雙曲線的幾何性質(zhì)

不閉合的開(kāi)放曲線

標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性質(zhì)圖形

焦點(diǎn)

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)性質(zhì)焦距

范圍

或

y∈

或

x∈

對(duì)稱性對(duì)稱軸:

;對(duì)稱中心:

頂點(diǎn)

軸實(shí)軸:線段

,實(shí)軸長(zhǎng):

;虛軸:線段

,虛軸長(zhǎng):

;實(shí)半軸長(zhǎng):

,虛半軸長(zhǎng):

離心率e=

∈

漸近線

|F1F2|=2cx≤-ax≥aRy≤-a

y≥a

R坐標(biāo)軸

原點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)名師點(diǎn)睛1.雙曲線有“四點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn))、“四線”(兩條對(duì)稱軸、兩條漸近線),橢圓是封閉性曲線,而雙曲線是開(kāi)放性曲線;雙曲線有兩支,故在應(yīng)用時(shí)要注意點(diǎn)在哪一支上;根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)的位置時(shí),注意雙曲線與橢圓的差異性.2.如果雙曲線的方程確定,那么其漸近線的方程是唯一的,但如果雙曲線的漸近線確定,那么其對(duì)應(yīng)的雙曲線有無(wú)數(shù)條,具有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

(λ≠0),當(dāng)λ>0時(shí),對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,當(dāng)λ<0時(shí),對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在y軸上.3.因?yàn)?/p>

,所以離心率的大小決定了漸近線斜率的大小,從而決定了雙曲線開(kāi)口的大小,離心率越大,開(kāi)口越開(kāi)闊,離心率越小,開(kāi)口越扁狹.思考辨析等軸雙曲線的漸近線有何位置關(guān)系?提示

等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x,它們互相垂直.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(3)橢圓的離心率與雙曲線的離心率取值范圍相同.(

)(4)雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn),分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn).(

)(5)雙曲線虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn).(

)(6)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān).(

)×√××√×2.[人教A版教材習(xí)題]雙曲線4x2-y2+64=0上一點(diǎn)P與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于1,那么點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于

.

173.[人教A版教材習(xí)題]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)【例1】

(1)[人教B版教材習(xí)題]寫(xiě)出雙曲線

的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程.(2)求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.規(guī)律方法

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求幾何性質(zhì)的四個(gè)步驟

A(2)[人教B版教材習(xí)題]求證:雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng).探究點(diǎn)二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】

根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.規(guī)律方法

1.根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點(diǎn)的位置,從而正確選擇方程的形式.2.巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧(5)漸近線為y=kx(k≠0)的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).變式訓(xùn)練2求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在x軸上,虛軸長(zhǎng)為8,離心率為;(2)過(guò)點(diǎn)(2,0),與雙曲線

離心率相等.探究點(diǎn)三雙曲線的漸近線與離心率問(wèn)題角度1.求雙曲線的離心率或取值范圍【例3】

已知F1,F2是雙曲線(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦,如果∠PF2Q=90°,求雙曲線的離心率.規(guī)律方法

求雙曲線離心率及范圍的常見(jiàn)方法(1)求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法:①若可求得a,c,則直接利用e=得解;②若已知a,b,或得到a,b的關(guān)系式,可利用

求解;③若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程,則方程兩邊同除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.(2)求離心率范圍的技巧:①根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,類似于求離心率的方法轉(zhuǎn)化求解;②通過(guò)解不等式得

的范圍,求得離心率的范圍.變式訓(xùn)練3如圖所示,F1和F2分別是雙曲線(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心、|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且△F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為

.

解析

連接AF1(圖略),由△F2AB是等邊三角形,知∠AF2F1=30°.角度2.雙曲線的漸近線與離心率的綜合

D規(guī)律方法

雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助

進(jìn)行互求.一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論.A探究點(diǎn)四與雙曲線定義有關(guān)的最值問(wèn)題規(guī)律方法

利用雙曲線的定義對(duì)|MA|+|MB|進(jìn)行轉(zhuǎn)化,注意最小值一般在三點(diǎn)共線時(shí)取得.A(2)已知F是雙曲線

的左焦點(diǎn),點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為

.

9解析

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是F1,由雙曲線的定義,得|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|+4≥|AF1|+4=5+4=9,當(dāng)點(diǎn)P在線段AF1上時(shí)取等號(hào),故最小值為9.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)二]已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)處,其對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-,2),且一條漸近線方程為2x-3y=0,則該雙曲線的方程為(

)D17181912345678910111213141516171819C12345678910111213141516171819B123456789101112131415164.[探究點(diǎn)二]若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的

倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)B17181912345678910111213141516171819123456789101112131415165.[探究點(diǎn)一]已知F1,F2是雙曲線(a>0,b>0)的左、右兩焦點(diǎn),以線段F1F2為邊作等邊三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是

.

171819123456789101112131415161718196.[探究點(diǎn)三]兩個(gè)正數(shù)a,b的和為5,積為6,且a>b,則雙曲線

的離心率e=

,漸近線方程為

.

123456789101112131415161718197.[探究點(diǎn)三]雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2(|F1F2|=2c),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,以c為半徑作圓,圓O與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為P,若三角形PF1F2的面積為a2,則C的離心率為

.

123456789101112131415161718198.[探究點(diǎn)三]雙曲線

的離心率e∈(1,2),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

(-12,0)

123456789101112131415161718199.

[探究點(diǎn)四]已知雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此雙曲線的離心率e的最大值.1234567891011121314151617181910.如圖,已知雙曲線C:=1(b>a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l過(guò)點(diǎn)F1且與雙曲線C的一條漸近線垂直,直線l與兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N,若|NF1|=2|MF1|,則雙曲線C的漸近線方程為(

)BB級(jí)關(guān)鍵能力提升練解析

因?yàn)閨NF1|=2|MF1|,所以M為NF1的中點(diǎn).又因?yàn)镺M⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因?yàn)椤螰1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以雙曲線C的一條漸近線的斜率為k=tan

60°=,即雙曲線C的漸近線方程為y=±x.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.已知雙曲線方程為x2-=1,過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則l共有(

)A.4條

B.3條

C.2條

D.1條B12345678910111213141516171819A1234567891011121314151617181913.如圖,中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn),若M,O,N將橢圓的長(zhǎng)軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是(

)B123456789101112131415161718191234567891011121314151617181914.[2024浙江寧波期末]已知橢圓C和雙曲線E具有相同的焦點(diǎn),離心率分別為e1,e2,橢圓的長(zhǎng)軸恰好被雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、中心平分為若干條等長(zhǎng)線段,則下列式子正確的是(

)B解析

不妨設(shè)橢圓C和雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上,由于橢圓的長(zhǎng)軸恰好被雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、中心平分為若干條等長(zhǎng)線段,設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,則橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)為6a,則有橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為(-3a,0),(3a,0),雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為(-a,0),(a,0),左、右焦點(diǎn)分別為(-2a,0),(2a,0),所以1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819BCD123456789101112131415161718191234567891011121314151617181912