專題02代數(shù)方程全章復(fù)習(xí)攻略（考點清單，6個考點60題專練）一、整式方程：1字母系數(shù)：關(guān)于x的方程中，把用字母表示的已知數(shù)m、n、a、b、c叫做字母系數(shù).2.含字母系數(shù)的一元一次方程定義：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的含字母系數(shù)的方程；求解步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1；注意：系數(shù)化為1時視情況討論！3．含字母系數(shù)的一元二次方程定義：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的含有字母系數(shù)的方程；解法：因式分解法，開平方法；配方法，公式法；當(dāng)用含字母系數(shù)的式子去乘或除方程兩邊時，要討論.4.一元整式方程：如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元n次方程與一元高次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是n；其中n大于2的方程稱為一元高次方程.5.二項方程：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零.一般形式為：.二項方程的解法：將方程變形為，當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，如果，；如果，那么方程沒有實數(shù)根.二、分式方程：6.可化為一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解；解分式方程的一般步驟：①方程兩邊乘以最簡公分母，去分母，化成整式方程；②解這個整式方程；③檢驗，是否有增根.三、無理方程1.無理方程：方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式；無理方程也叫根式方程.2.無理方程、有理方程、代數(shù)方程三者之關(guān)系有理方程：整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程；代數(shù)方程：有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程.3.無理方程的解法（1）基本思路：解簡單的無理方程，可以通過去根號轉(zhuǎn)化為有理方程來解；（2）一般步驟：四、二元二次方程組與列方程（組）解應(yīng)用題1.二元二次方程2.二元二次方程組3.二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示；②將這個未知數(shù)所表示的代數(shù)式代入二元二次方程中，得到關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程；③解這個一元二次方程；④將求得的兩個解分別代入二元一次方程，求相應(yīng)的另一個未知數(shù)的值；⑤把相應(yīng)的兩組解寫出來，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個方程可以分解為兩個一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個分別由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.4.列方程（組）解應(yīng)用題【考查題型一】一元二次方程的應(yīng)用【例1】．（2023春?浦東新區(qū)期末）有一個兩位數(shù)，如果個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，并且十位上的數(shù)的平方比個位上的數(shù)也大1，那么這個兩位數(shù)是．【分析】設(shè)這個兩位數(shù)中十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，根據(jù)題意列得方程后解方程即可．【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)中十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，則，整理得：，解得：，（舍去），則，那么這個兩位數(shù)為：23，故答案為：23．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列得方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）初二年級進行籃球比賽，每個班都與其他班級比賽一場，共進行36場比賽，那么初二年級共有個班級．【分析】設(shè)這個學(xué)校初二年級共有個班級，根據(jù)該校初二年級共進行了36場比賽，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個學(xué)校初二年級共有個班級，依題意得：，整理得：，解得：，不符合題意，舍去）．答：這個學(xué)校初二年級共有9個班級．故答案為：9．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）某商店以每件20元的價格購進一批文具盒，然后以每只30元的價格出售，結(jié)果每周可以售出400只，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)單價每提高0.5元，每周銷售量會少10只，如果某一周銷售這種文具盒的總利潤是4500元，那么這周每只文具盒的售價為多少元？【分析】設(shè)這周每只文具盒的售價為元，則每只文具盒的利潤為元，銷量為只，根據(jù)總利潤是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：設(shè)這周每只文具盒的售價為元，由題意知：，整理得，解得，即這周每只文具盒的售價為35元．【點評】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）今年本市蜜桔大豐收，某水果商銷售一種蜜桔，成本價為10元千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量（千克）與銷售價（元千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少？（銷售利潤銷售價成本價）【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)總利潤每千克的銷售利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由圖象知，，，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式，把，代入得：，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為15元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【變式1-4】．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）某公司市場營銷部的某營銷員的個人月收入與該營銷員每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：（1）求營銷員的個人月收入元與該營銷員每月的銷售量萬件之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若兩個月內(nèi)該營銷員的銷售量從2萬件猛增到5萬件，月收入兩個月大幅度增長，且連續(xù)兩個月的月收入的增長率是相同的，試求這個增長率（保留到百分位）．【分析】（1）設(shè)，將與代入，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)這個增長率為，先根據(jù)（1）中所求的解析式求出時對應(yīng)的值，再由兩個月內(nèi)該營銷員的銷售量從2萬件猛增到5萬件，且連續(xù)兩個月的月收入的增長率是相同的列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)，將與代入，得，解得，故營銷員的個人月收入元與該營銷員每月的銷售量萬件之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2），當(dāng)時，．設(shè)這個增長率為，根據(jù)題意得，解得，（不合題意舍去）．答：這個增長率約為．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【考查題型二】高次方程【例2】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）方程組的實數(shù)解的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】把代入原方程，再化簡成，解方程即可求解．【解答】解：，，，或或，或或．故選：．【點評】本題考查高次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和解方程．【變式2-1】．（2023春?虹口區(qū)期末）將二元二次方程化為兩個一次方程為．【分析】二元二次方程的中間項，根據(jù)十字相乘法分解即可．【解答】解：，，，．故答案為：，．【點評】本題考查了高次方程，熟練運用十字相乘法，是解答本題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生熟練分解因式的能力．【變式2-2】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）關(guān)于、的方程組有兩個不相同的實數(shù)解，則．【分析】利用代入消元法可得出，再根據(jù)題意可知該方程有兩個不相同的實數(shù)解，結(jié)合一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義即得出△且，解出的解集即可．【解答】解：，由②得：③，將③代入①得：，整理，得：，關(guān)于、的方程組有兩個不相同的實數(shù)解，有兩個不相同的實數(shù)解，△，且，且．故答案為：且．【點評】本題考查高次方程，根據(jù)一元二次方程的解得情況求參數(shù)，一元二次方程的定義．掌握一元二次方程的根的判別式為△，且當(dāng)△時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，該方程沒有實數(shù)根是解題關(guān)鍵．【變式2-3】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）寫出一個由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，使它的解是；，那么該方程組可以是．【分析】解答本題時，首先觀察給出的兩組解的特點，發(fā)現(xiàn)兩組解中第一組中的與第二組中的互為相反數(shù)，第一組中的與第二組中的互為相反數(shù)，所以可以肯定的是無論哪組中的與的差都是1，兩組中的與的積都是6，所以得到符合題意的一組方程組．【解答】解：由題可得：，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了二元一次方程和一個二元二次方程，熟練掌握其定義是解此題的關(guān)鍵．【變式2-4】．（2023春?黃浦區(qū)期末）方程的根是．【分析】方程的左邊因式分解可得，由此即可解決問題．【解答】解：，，，方程的根是，故答案為．【點評】本題考查高次方程的解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會應(yīng)用因式分解法解方程，把高次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，屬于中考?？碱}型．【變式2-5】．（2023春?普陀區(qū)期末）方程的根是．【分析】先移項，再開立方即可．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】本題考查了解高次方程，能把高次方程轉(zhuǎn)化成低次方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2-6】．（2023春?長寧區(qū)校級期中）方程的解是．【分析】先把系數(shù)化為1，再開4次方，求出的值．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】本題考查了解高次方程，解題的關(guān)鍵掌握開方運算．【變式2-7】．（2023春?楊浦區(qū)期中）解方程組：．【分析】由②得出④，由①得出：③，把④代入③得出關(guān)于的方程，求出的值，把的值代入④即可求出．【解答】解：，由①得：③，由②得：④，把④代入③得：，，解得：，，把代入④得：；把代入④得：；即方程組的解為：，．【點評】本題考查了解高次方程組和解一元二次方程，關(guān)鍵是能把方程組轉(zhuǎn)化成一元二次方程．【變式2-8】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】由①得出，求出或③，由②得出，求出④，由③和④組成四個二元一次方程組，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由①，得，或③，由②，得，開方得：④，由③和④組成四個二元一次方程組：，，，，解得：，，，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式2-9】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】由①得出，求出或，把這兩個方程與②組成方程組為，，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由①，得，即或，把這兩個方程與②組成方程組得：，，解得：，，故方程組的解為：，．【點評】本題考查了解高次方程組和解二元一次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式2-10】．（2023春?松江區(qū)期末）解方程組：．【分析】變形方程組中的②式后，代入①式得一元二次方程，求解一元二次方程，然后求出另一個未知數(shù)．【解答】解：，法一、由②，得③，把③代入①，得，整理，得．．，．把，分別代入③，得，．原方程的解為，．法二、由①，得，或．于是原方程組可化為或．解這兩個方程組，得，．所以原方程組的解為：，．【點評】本題考查了高次方程，掌握一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-11】．（2023春?靜安區(qū)期末）解方程組：．【分析】先把組中各方程化為幾個一次方程，構(gòu)造二元一次方程組，求解即可．【解答】解：由①，得，或者．由②，得，．．或者．所以原方程組可變形為或或或．解得，，，．所以原方程組的解為，，，．【點評】本題主要考查了由高次方程組成的方程組的解法，掌握整式的因式分解方法和二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-12】．（2023春?虹口區(qū)期末）解方程組：．【分析】由②得出，方程兩邊開方得出③，由①和③組成兩個二元一次方程組，求出兩個方程組的解即可．【解答】解：，由②，得，開方，得③，由①和③組成兩個二元一次方程組，，解得：或，所以原方程組的解是，．【點評】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式2-13】．（2023春?楊浦區(qū)期末）解方程組：．【分析】利用因式分解的辦法把方程組中的第一個方程化為兩個一次方程，與方程組中的第二個方程組成新的方程組，求解即可．【解答】解：，由①，得．或．所以原方程組可變形為或者．．解這兩個方程組，得，，，．原方程組的解為：，，，．【點評】本題主要考查了二元二次方程組，把原方程轉(zhuǎn)化為由一個一次方程和一個二次方程組成的方程組是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-14】．（2023春?徐匯區(qū)校級期末）解方程組：【分析】利用因式分解的辦法把方程組中的①化為兩個一次方程，再與方程組中的第二個方程組成新的方程組，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可．【解答】解：，由①，得，或．原方程組可化為或者．解方程組得，；解方程組或者得，．原方程組的解為：，，，．【點評】本題考查了二元二次方程組，掌握方程組的解法及一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-15】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）實數(shù)、使關(guān)于、的方程組有實數(shù)解．（1）求證；（2）求的最小值．【分析】（1）由變形得，利用完全平方式的非負(fù)性質(zhì)即可得到答案；（2）當(dāng)時，有，或，利用不等式的性質(zhì)分類討論得出的最值即可得到答案．【解答】解：（1），，，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立；．（2）將代入方程②，得，所以，因為題中方程組有實數(shù)解，所以方程在，或的范圍內(nèi)至少有一個實根，當(dāng)時，有，或，，或，即，或，若，即時，，由此得，兩邊同時加上得：，當(dāng)，當(dāng)時，上式等號成立，此時，若，即時，對于滿足，或的任意實數(shù)，均有當(dāng)時，，綜上可知，的最小值為．【點評】本題考查了配方法，完全平方式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識點，熟練運用其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【考查題型三】無理方程【例3】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）下列方程中，有實數(shù)根的方程是A． B． C． D．【分析】利用高次方程、無理方程及分式方程的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：、整理得：，故次方程無解；、整理得，解得：，符合題意；、整理得，無解，不符合題意；、去分母后得，代入最簡公分母，故次方程無實數(shù)根，故選：．【點評】本題考查了高次方程、無理方程及分式方程的定義的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義，難度不大．【變式3-1】．（2023春?楊浦區(qū)期中）下列說法中，正確的個數(shù)有（1）關(guān)于的方程既是分式方程，又是無理方程；（2）關(guān)于的方程是二項方程；（3）關(guān)于、的方程是二元二次方程；（4）關(guān)于的方程是無理方程．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)分式方程的定義和無理方程的定義對（1）進行判斷；根據(jù)一元二次方程、二元二次方程的定義對（2）（3）（4）進行判斷．【解答】解：關(guān)于的方程不是分式方程，是無理方程，所以（1）錯誤；關(guān)于的方程是二次方程，所以（2）錯誤；關(guān)于、的方程是二元二次方程，所以（3）正確；關(guān)于的方程是二元二次方程，所以（4）錯誤．故選：．【點評】本題考查了無理方程：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．也考查了高次方程和分式方程的定義．【變式3-2】．（2023春?靜安區(qū)期末）下列方程中，是它的根的方程為A． B． C． D．【分析】選項和選項把分式方程化成整式方程，求出方程的解，再進行檢驗即可；選項求出，再求出方程的解即可；選項求出，再求出方程無解即可．【解答】解：．，，解得：，經(jīng)檢驗是增根，是方程的解，即不是方程的解，故本選項不符合題意；．，，，解得：，即不是方程的解，故本選項不符合題意；．，，不論為何值，的算術(shù)平方根不能為負(fù)數(shù)，所以此方程無解，即不是方程的解，故本選項不符合題意；．，方程兩邊都乘，得，解得：，經(jīng)檢驗不是方程的解，是方程的解，故本選項符合題意；故選：．【點評】本題考查了方程的解，解無理方程和解分式方程等知識點，能求出方程的解是解此題的關(guān)鍵．【變式3-3】．（2023春?浦東新區(qū)期末）方程的解是．【分析】利用方程兩邊平方的辦法把無理方程轉(zhuǎn)化為二次方程，求解并檢驗即可．【解答】解：方程的兩邊平方，得，整理，得，解這個方程，得，．經(jīng)檢驗，是原方程的解．故答案為：．【點評】本題主要考查了無理方程，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-4】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）已知關(guān)于的方程有實數(shù)解，那么的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性，即可求解．【解答】解：，，，，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式值的特點．【變式3-5】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）（1）方程的解是；（2）方程的解是；（3）方程的解是；（4）方程組的解是．【分析】（1）先求出，然后再開立方計算即可；（2）先整體求出，再整體求出，進而求得即可；（3）先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性列式求解即可；（4）先用代入法，然后解一元二次方程即可解答．【解答】解：（1），，，故答案為：；（2），，，，，故答案為：，；（3），或且，，或且，，故答案為：；（4），由①可得③，將③代入可得：，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以該方程組的解為或．故答案為：或．【點評】本題主要考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根、解一元二次方程、二次根式有意義的條件，靈活運用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．【變式3-6】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）已知方程有一根為，那么．【分析】將代入求得的值即可．【解答】解：將代入可得：，所以，解得或，由，則．故答案為：3．【點評】本題主要考查了無理方程的根，使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的根．【變式3-7】．（2023春?楊浦區(qū)期中）解方程：．【分析】先移項得到，再把方程兩邊平方，整理得到，解得，，然后進行檢驗確定原方程的解．【解答】解：，，，整理得，解得，，檢驗：當(dāng)時，方程左邊，所以方程左邊方程右邊，不是原方程的解；當(dāng)時，方程左邊，所以方程左邊方程右邊，是原方程的解；所以原方程的解為．【點評】本題考查了無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解．解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗根．【變式3-8】．（2023春?楊浦區(qū)期末）解方程：【分析】無理方程左右兩邊平方，整理后再平方求出解，檢驗即可．【解答】解：兩邊平方得：，即，再兩邊平方得：，即，解得：，，經(jīng)檢驗和都是無理方程的解．【點評】此題考查了無理方程，無理方程求出解注意要檢驗．【變式3-9】．（2023春?普陀區(qū)期末）解方程：【分析】先把無理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后進行求解．【解答】解：，，，，，，或，或，檢驗：當(dāng)時，，不符合題意，所以舍去．當(dāng)時，，符合題意．所以原方程的解為：．【點評】本題主要考查了無理方程的知識、一元二次方程的知識，難度不大，轉(zhuǎn)換成一元二次方程是解答的關(guān)鍵．【變式3-10】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）解方程：．【分析】先把方程變形為，方程的兩邊平方得到整式方程，解整式方程并驗根即可．【解答】解：，．方程的兩邊平方，得，．．．解得：，．經(jīng)檢驗，0、都是原方程的解．原方程的解為：，．【點評】本題考查了解無理方程，掌握解無理方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-11】．（2023春?松江區(qū)期末）解方程：．【分析】移項后兩邊平方，解得出的一元二次方程，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：移項得：，，，，，經(jīng)檢驗：是原方程的根，是增根，所以原方程的根是：．【點評】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．【考查題型四】分式方程的增根【例4】．（2023秋?浦東新區(qū)期末）如果關(guān)于的方程有增根，則．【分析】先把分式方程化為整式方程解得，由于原方程的增根只能為2，于是把代入中求出對應(yīng)的的值即可．【解答】解：去分母得，解得，當(dāng)時，，解得，即當(dāng)時，方程有增根．故答案為：．【點評】本題考查了分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．【變式4-1】．（2023春?黃浦區(qū)期中）如果是方程的增根，那么的值為．【分析】先把方程去分母得到，由于是方程的增根，則把代入，然后解關(guān)于的方程即可得到的值．【解答】解：方程兩邊同乘以得，，是方程的增根，，．故答案為3．【點評】本題考查了分式方程的增根：把分式方程化為整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右兩邊不成立（或分母為，那么這個未知數(shù)的值叫分式方程的增根．【變式4-2】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）已知關(guān)于的方程有增根，那么．【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得值．【解答】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程，無解．故答案為：．【點評】本題主要考查分式方程的解法及增根問題，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法．【變式4-3】．（2023春?寶山區(qū)校級期中）當(dāng)，方程會產(chǎn)生增根．【分析】用含的代數(shù)式表示的值，通過或時為增根求的值．【解答】解：方程兩邊同時乘以得，，方程有增根，或，把代入，解得，把代入，解得，故答案為：或5．【點評】本題考查分式方程增根問題，解題關(guān)鍵是將原式化簡，分別代入為增根的值．【變式4-4】．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，整理得：，即，解得：或，經(jīng)檢驗是增根，分式方程的解為．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．【考查題型五】由實際問題抽象出分式方程【例5】．（2023春?靜安區(qū)校級期中）某鐵路隧道嚴(yán)重破壞．為搶修其中一段120米的鐵路，施工隊每天比原計劃多修5米，結(jié)果提前4天開通列車．原計劃每天修多少米？設(shè)原計劃每天修米，所列方程正確的是A． B． C． D．【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根據(jù)時間來列等量關(guān)系的．關(guān)鍵描述語是：“提前4天開通了列車”；等量關(guān)系為：原來所用的時間實際所用的時間．【解答】解：原來所用的時間為：，實際所用的時間為：．所列方程為：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程．題中一般有三個量，已知一個量，求一個量，一定是根據(jù)另一個量來列等量關(guān)系的．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）甲乙兩隊要限期完成某工程，甲隊獨做提前2天完成，乙隊獨做要延期5天，現(xiàn)在兩隊合作3天后余下的由乙隊獨做，正好如期完工，設(shè)工程期限為天，那么可列方程為A． B． C． D．【分析】設(shè)工作總量為1，工程期限為天，可得甲、乙兩工程隊的工作效率，然后根據(jù)等量關(guān)系“兩隊合作3天后余下的由乙隊獨做，正好如期完工”即可列出方程．【解答】解：設(shè)工作總量為1，工程期限為天，那么甲工程隊的工作效率為，乙工程隊的工作效率為．根據(jù)題意，所列方程為，化簡得．故選：．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】．（2023春?寶山區(qū)期末）上海市16個區(qū)共約1326條健身步道和綠道，甲、乙兩人沿著總長度為9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分鐘走完全程．如果設(shè)乙的速度為千米時，那么下列方程中正確的是A． B． C． D．【分析】由甲、乙速度之間的關(guān)系可得出甲的速度為，利用時間路程速度，結(jié)合甲比乙提前15分鐘走完全程，即可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【解答】解：甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度為，甲的速度為．依題意得：．故選：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】．（2023春?寶山區(qū)校級期中）某區(qū)為殘疾人辦實事，在一道路改造工程中，為盲人修建一條長3000米的盲道，在實際施工中，由于增加了施工人員，每天可以比原計劃多修建250米，結(jié)果提前2天完成工程，設(shè)實際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得方程A． B． C． D．【分析】直接利用每天修建的盲道比原計劃多250米，結(jié)果提前2天完成工程，得出方程即可．【解答】解：設(shè)實際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得：，解得：（不合題意舍去），，經(jīng)檢驗是原方程的根，答：實際每天修建盲道750米．故選：．【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【考查題型六】分式方程的應(yīng)用（共18小題）【例6】．（2023春?楊浦區(qū)期末）近年來，我國逐步完善養(yǎng)老金保險制度．甲、乙兩人計劃分別繳納養(yǎng)老保險金12萬元和8萬元，雖然甲計劃每年比乙計劃每年多繳納養(yǎng)老保險金0.1萬元，但是甲計劃繳納養(yǎng)老保險金的年數(shù)還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計劃繳納養(yǎng)老保險金的年數(shù)都不超過20年，求甲計劃每年繳納養(yǎng)老保險金多少萬元？【分析】設(shè)甲計劃每年繳納養(yǎng)老保險金萬元，則乙計劃每年繳納養(yǎng)老保險金萬元，根據(jù)甲計劃繳納養(yǎng)老保險金的年數(shù)比乙要多4年，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲計劃每年繳納養(yǎng)老保險金萬元，則乙計劃每年繳納養(yǎng)老保險金萬元，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，均為所列方程的解，不符合題意，舍去，符合題意．答：甲計劃每年繳納養(yǎng)老保險金0.6萬元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】．（2023春?普陀區(qū)期末）、兩地相距360千米，一輛汽車準(zhǔn)備從地開往地，但由于任務(wù)緊急，現(xiàn)在實際行駛的速度每小時比原計劃快20千米，所以提前3小時到達地．求汽車原計劃的速度．【分析】設(shè)汽車原計劃的速度為千米時，則汽車實際行駛的速度為千米時，利用時間路程速度，結(jié)合實際比原計劃提前3小時到達地，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)汽車原計劃的速度為千米時，則汽車實際行駛的速度為千米時，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，均為所列方程的解，符合題意，不符合題意，舍去．答：汽車原計劃的速度為40千米時．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】．（2023春?長寧區(qū)期末）小明和小智從學(xué)校出發(fā)，到距學(xué)校路程12千米的自然博物館，小明騎自行車先走，過了15分鐘，小智乘汽車按相同路線追趕小明，結(jié)果他們同時到達目的地，已知汽車的速度是小明騎車速度的2倍多20千米小時，求小明騎車的速度是每小時多少千米．【分析】設(shè)小明騎車的速度是千米小時，則汽車的速度是千米小時，利用時間路程速度，結(jié)合小明比小智多用了15分鐘，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小明騎車的速度是千米小時，則汽車的速度是千米小時，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，均為所列方程的解，符合題意，不符合題意，舍去．答：小明騎車的速度是30千米小時．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】．（2023春?長寧區(qū)校級期中）我國手機產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)建成后，下載完一部大小的電影，使用手機比手機少花190秒．已知使用手機比手機每秒多下載，求使用手機每秒下載多少？【分析】設(shè)使用手機每秒下載，則使用手機每秒下載，根據(jù)“下載完一部大小的電影，使用手機比手機少花190秒”，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)使用手機每秒下載，則使用手機每秒下載，根據(jù)題意得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，均為所列方程的解，符合題意，不符合題意，舍去．答：使用手機每秒下載．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】．（2023春?松江區(qū)期末）松江區(qū)于4月22日，舉辦“”上海余山半程馬拉松比賽．主辦方打算為參賽選手定制一批護膝，并交由廠家完成．已知廠家要在規(guī)定的天數(shù)內(nèi)生產(chǎn)3600對護膝，但由于參賽選手臨時增加，不但要求廠家在原計劃基礎(chǔ)上增加的總量，而且還要比原計劃提前3天完成．經(jīng)預(yù)測，要完成新計劃，平均每天的生產(chǎn)總量要比原計劃多20對，求原計劃每天生產(chǎn)多少對護膝．【分析】設(shè)原計劃每天生產(chǎn)對護膝，實際每天生產(chǎn)對護膝，利用工作時間工作總量工作效率，結(jié)合實際比計劃提前3天完成，可列出關(guān)于的分式方程，解答檢驗即可．【解答】解：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)對護膝，則實際每天生產(chǎn)對護膝，根據(jù)題意，可列方程，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，是原方程的解，答：原計劃每天生產(chǎn)100對護膝．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-5】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）甲、乙兩位同學(xué)同時從學(xué)校出發(fā)，騎自行車前往距離學(xué)校10千米的郊野公園．已知甲同學(xué)比乙同學(xué)平均每小時多騎行2千米，甲同學(xué)在路上因事耽擱了15分鐘，結(jié)果兩人同時到達公園．問：甲、乙兩位同學(xué)平均每小時各騎行多少千米？【分析】設(shè)乙平均每小時騎行千米，則甲平均每小時騎行千米，根據(jù)題意可得，同樣20千米的距離，乙比甲多走30分鐘，據(jù)此列方程求解．【解答】解：設(shè)乙平均每小時騎行千米，則甲平均每小時騎行千米，由題意得，，解得：，，經(jīng)檢驗：，都是原方程的根，但，不符合題意，故舍去，則甲平均每小時騎行千米．答：甲平均每小時騎行10千米，乙平均每小時騎行8千米．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗．【變式6-6】．（2023春?靜安區(qū)期末）某公司先從甲地用9000元購買了一批商品，后發(fā)現(xiàn)乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元從乙地補購了一批同樣的商品．公司按每件200元售完這兩批商品后，共賺了11000元．（1）設(shè)該公司從甲地購進件商品，請用含字母的代數(shù)式表示從乙地購進的商品件數(shù)是；（2）如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求該公司分別從甲乙兩地購進這種商品各多少件．【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解；（2）根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：（1）設(shè)從乙地購進的商品件數(shù)是，則：，解得：，故答案為：；（2）由題意得：，解得：或（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，，答：公司從甲地購進商品80件，從乙兩地購進商品100件．【點評】本題考查了方程的應(yīng)用，理解題意找出相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-7】．（2023春?徐匯區(qū)校級期末）在一次捐款活動中，區(qū)慈善基金會對甲、乙兩個單位捐款情況進行了統(tǒng)計，得到如下三條信息：（1）乙單位捐款數(shù)比甲單位多一倍；（2）乙單位平均每人的捐款數(shù)比甲單位平均每人的捐款數(shù)少100元；（3）甲單位的人數(shù)是乙單位的．你能根據(jù)以上信息，求出這兩個單位總的平均每人捐款數(shù)嗎？【分析】設(shè)甲單位平均每人的捐款元，則乙單位平均每人的捐款元，然后根據(jù)單位的人數(shù)是乙單位的四分之一列方程求解．【解答】解：設(shè)甲單位平均每人的捐款元，則乙單位平均每人的捐款元，根據(jù)題意得，，解得，；甲單位平均每人的捐款200元，乙單位平均每人的捐款100元，甲單位30人，乙單位120人，這兩個單位總的平均每人捐款數(shù)元，答：這兩個單位總的平均每人捐款數(shù)為120元．【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出甲單位的人數(shù)的平均捐款，表示出乙，然后以人數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．【變式6-8】．（2023春?黃浦區(qū)期末）某書店兩次從圖書批發(fā)市場購進某種圖書，每次都用2000元．其中第二次購進這種書每本的批發(fā)價比第一次每本的批發(fā)價降低了2元，且比第一次購進的書多了50本，求第一次購書時每本的批發(fā)價．【分析】本題首先依題意可知等量關(guān)系為第一次購書的本數(shù)第二次購書的本數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后求出結(jié)果檢驗并作答．【解答】解：設(shè)第一次購書時每本的批發(fā)價為元．（1分）根據(jù)題意得，（3分）化簡方程得，（1分）解得，．（1分）經(jīng)檢驗，，都是方程的根，但不合題意，舍去．（1分）答：第一次購書時每本的批發(fā)價為10元．（1分）【點評】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．【變式6-9】．（2023春?長寧區(qū)校級月考）某廠家接到定制5400套防護服任務(wù)，可以選擇甲、乙兩條流水線中的一條承擔(dān)此任務(wù)，已知乙流水線每天比甲流水線多加工90套防護服，甲流水線加工這批防護服所花的時間比乙流水線多10天，且甲、乙兩條流水線每天的生產(chǎn)成本分別為0.6萬元與0.8萬元，問廠家選擇哪條流水線可使生產(chǎn)成本較??？為什么？【分析】設(shè)甲流水線每天加工套防護服，則乙流水線每天加工套防護服，再根據(jù)“甲流水線加工這批防護服所花的時間比乙流水線多10天”求得甲、乙每天的生產(chǎn)量，再分別求出甲、乙的生產(chǎn)成本，最后比較即可解答．【解答】解：設(shè)甲流水線每天加工套防護服，則乙流水線每天加工套防護服，則，解得：或，經(jīng)檢驗：是分式方程的根，且符合題意；不符合題意舍去，則乙流水線每天加工270套防護服，所以甲需要天，乙需要天，所以甲、乙兩條流水線每天的生產(chǎn)成本分別為18萬元和16萬元．所以乙流水線成本較小．【點評】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-10】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）某文具廠加工一種學(xué)習(xí)用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術(shù)，使每天比原來多加工25套，結(jié)果提前了3天完成任務(wù)．求該文具廠原來每天加工多少套這樣的學(xué)習(xí)用具．【分析】設(shè)該文具廠原來每天加工套這樣的學(xué)習(xí)用具，根據(jù)某文具廠加工一種學(xué)習(xí)用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術(shù)，使每天比原來多加工25套，結(jié)果提前了3天完成任務(wù)，可列方程求解．【解答】解：設(shè)該文具廠原來每天加工套這樣的學(xué)習(xí)用具，（1分）根據(jù)題意得：（3分）整理得：（2分）解得：，（2分）經(jīng)檢驗，，均是原方程的解，但不符合題意，舍去．（1分）答：該文具廠原來每天加工100套這樣的學(xué)習(xí)用具．（1分）【點評】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是以時間作為等量關(guān)系，根據(jù)天數(shù)加工的套數(shù)除以每天加工的套數(shù)列方程求解即可．【變式6-11】．（2022春?閔行區(qū)校級期末）某工程隊承擔(dān)了修建地鐵兩個站點間2400米的隧道工程任務(wù)，由于采用了新技術(shù)，現(xiàn)在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務(wù)．（1）求完成此項工程原計劃每個月掘進多少米？（2）如果每天的施工費用為2.5萬元，那么該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需多少萬元？（每個月按30天算）【分析】（1）設(shè)完成此項工程原計劃每個月掘進米，則現(xiàn)在每個月掘進米．由題意：現(xiàn)在每個月比原計劃多掘進了180米，因而比原計劃提前3個月完成任務(wù)．列出分式方程，解方程即可；（2）由每天的施工費用天數(shù)，列式計算即可．【解答】解：（1）設(shè)完成此項工程原計劃每個月掘進米，則現(xiàn)在每個月掘進米．根據(jù)題意，得：，整理，得：．解得：，．經(jīng)檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去．答：完成此項工程原計劃每個月掘進300米．（2）（萬元）．答：該工程隊現(xiàn)在完成此項工程共需375萬元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式6-12】．（2022春?靜安區(qū)期中）某市為了美化環(huán)境，計劃在一定的時間內(nèi)完成綠化面積200萬畝的任務(wù)，后來市政府調(diào)整了原定計劃，不但綠化面積在原計劃的基礎(chǔ)上增加，而且要提前1年完成任務(wù)．經(jīng)測算，要完成新的計劃，平均每年的綠化面積必須比原計劃多20萬畝，求原計劃平均每年的綠化面積．【分析】本題的相等關(guān)系是：原計劃完成綠化時間實際完成綠化實際．設(shè)原計劃平均每年完成綠化面積萬畝，則原計劃完成綠化完成時間年，實際完成綠化完成時間：年，列出分式方程求解．【解答】解：設(shè)原計劃平均每年完成綠化面積萬畝，根據(jù)題意，可列出方程，去分母整理得：解得：，（2分）經(jīng)檢驗：，都是原分式方程的根，因為綠化面積不能為負(fù)，所以?。穑涸媱澠骄磕晖瓿删G化面積40萬畝．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用．分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．列分式方程解應(yīng)用題的檢驗要分兩步：第一步檢驗它是否是原方程的根，第二步檢驗它是否符合實際問題．【變式6-13】．（2022春?普陀區(qū)校級期中）小王開車從甲地到乙地，去時走線路，全程約100千米，返回時走線路，全程約60千米．小王開車去時的平均速度比返回時的平均速度快20千米小時，所