專題08解分式方程與分式方程應(yīng)用（19種題型解讀）【考點(diǎn)一解分式方程】分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.【易錯(cuò)易混】1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.【考點(diǎn)題型一】分式方程的判斷1．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列關(guān)于x的方程：①x?13=5，②1x=4x?1，③A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查分式方程的概念，根據(jù)分式方程概念對(duì)上述方程進(jìn)行判斷，即可解題．【詳解】解：①x?13=5，③3?xπ=x?1，④xa=1b?1故分式方程有1個(gè)，故選：A．2．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）下列關(guān)于x的方程中（1）1x=1；（2）2x+13=1+1?3x4；（3）xbA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)分式方程的定義逐個(gè)分析判斷即可．【詳解】1x2x+13關(guān)于x的方程xb+x關(guān)于x的方程xa?3=a+4分母2x+3yπ+1=0分母中綜上所述：是分式方程的有1個(gè)；故選：A．3．（21-22八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程?（1）x?2x（2）yπ（3）x3x?1（4）2m（5）2y（6）2x=1；（7）1x【答案】（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程；（2）（6）是整式方程．【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的字母的方程叫做分式方程即可判斷．【詳解】（1）x?2x（2）yπ（3）x3x?1（4）2m（5）2y（6）2x=1是整式方程；（7）1x【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分式方程的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型二】解分式方程4．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）解方程：(1)2x?5x?2(2)xx?2【答案】(1)x=4(2)無解【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：2x?5x?2去分母得：2x?5+3x?2去括號(hào)得：2x?5+3x?6=3x?3，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：2x=8，系數(shù)化為1得：x=4，檢驗(yàn)：把x=4代入x?2得：x?2=4?2=2≠0，∴x=4是原方程的解．（2）解：xx?2去分母得：xx+2去括號(hào)得：x2移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：2x=4，系數(shù)化為1得：x=2，檢驗(yàn)：把x=2代入x2?4得：∴x=2是原方程的增根，∴原方程無解．5．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）（1）當(dāng)x為何值時(shí)，分式3x?2與2（2）解方程：2xx?3【答案】（1）當(dāng)x=14時(shí)，分式3x?2與2【分析】本題主要考查了解分式方程，相反數(shù)的定義：（1）根據(jù)相反數(shù)的定義可得方程3x?2（2）按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解法，然后檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）由題意得，3x?2去分母得：36?x去括號(hào)得：18?3x+2x?4=0，移項(xiàng)得：?3x+2x=4?18，合并同類項(xiàng)得：?x=?14，系數(shù)化為1得：x=14，檢驗(yàn)，當(dāng)x=14時(shí)，x?26?x∴當(dāng)x=14時(shí)，分式3x?2與2（2）2x去分母得：2xx+3去括號(hào)得：2x移項(xiàng)得：2x合并同類項(xiàng)得：?3x=?9，系數(shù)化為1得：x=3，檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x?3=0，∴x=3是原方程的增根，∴原方程無解．6．（23-24八年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知方程yy2?9+13?y=【答案】x=?11【分析】本題考查的是一元次方程的解法，分式方程的解法，方程的解的含義，先解分式方程，再把解代入一元一次方程，再解方程即可．【詳解】解：方程yy2?9y?y解這個(gè)方程，得y=2．經(jīng)檢驗(yàn)，y=2是原分式方程的解，∴k=2．∴x+32去分母得：3x+3整理得：3x+9=2x+4?6，解得x=?11．7．（23-24八年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）解方程：1x+10【答案】x=?【分析】本題考查的是分式方程的解法，先把方程化為1x+10+1【詳解】解：整理方程得1x+10即1x+1方程兩邊乘x+1，得2x+2=1，解得x=?1經(jīng)檢驗(yàn)x=?18．（23-24八年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）閱讀下列材料：方程1x+1?1方程1x?1方程1x?1?1……(1)根據(jù)上述規(guī)律，可知解為x=5的方程為_________；(2)通過解分式方程說明你寫的方程是正確的．【答案】(1)1(2)見解析【分析】本題考查根據(jù)分式方程的特點(diǎn)與解的規(guī)律來寫分式方程，觀察所給的材料信息時(shí)，要注意從特殊形式到一般形式的規(guī)律與特征．（1）由具體的分式方程發(fā)現(xiàn)左右兩邊分母之差為1，再結(jié)合方程的解構(gòu)建方程即可；（2）先把方程的左右兩邊通分計(jì)算減法運(yùn)算，再去分母解方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：∵方程1x+1?1方程1x?1方程1x?1?1∴解為x=5的方程為：1（2）1方程可變形為x?4?x+3x?3∴?1∴x?3x?4∴x2解得x=5．檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(x?3)(x?4)(x?6)(x?7)≠0，∴x=5是原分式方程的解．【考點(diǎn)題型三】特殊方法解分式方程-換元法9．（22-23八年級(jí)下·上海浦東新·期末）用換元法解方程x2+1x+1A．設(shè)y=x2+1 B．設(shè)y=x+1 C．y=【答案】C【分析】設(shè)y=x2+1【詳解】解：x2+1x+1∴y+6整理得：y2故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用換元法解分式方程，熟練的換元是解本題的關(guān)鍵.10．（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）換元法解方程：x?1【答案】x=?【分析】本題考查了用換元法解分式方程，先把方程變形為x?1x+2【詳解】解：∵x?1x+2∴原方程為x?1設(shè)y=x?1x+2，原方程可化為方程兩邊同時(shí)乘以y，得y2解得，y=±3，經(jīng)檢驗(yàn)，y=±3都是原方程的解，當(dāng)y=3時(shí)，有x?1x+2=3，解得：當(dāng)y=?3時(shí)，有x?1經(jīng)檢驗(yàn)：x=?7∴原分式方程的解為x=?72或11．（21-22八年級(jí)下·上海普陀·期中）用換元法解方程組：1x+y【答案】x=?【分析】設(shè)1x+y=a，1x?y=b，得出2x?y=2b，進(jìn)而將原方程組化為關(guān)于a，b的二元一次方程組，解方程組求出a，b，可得1x+y【詳解】解：設(shè)1x+y=a，則原方程組可化為：a+2b=1①－②得：3b=?3解得：b=?1把b=?14代入②得：∴1x+y=3∴x+y=4③＋④，得2x＝?8解得x＝?4把x＝?43代入①，得y＝故原方程組的解為x=?4【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解分式方程以及解二元一次方程組，將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．12．（2020七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y﹣4方程兩邊同時(shí)乘以y得：y2﹣4=0，解得：y=±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y=±2都是方程y﹣4y∴當(dāng)y=2時(shí)，x?1x=2，解得：x=﹣1；當(dāng)y=﹣2時(shí)，x?1x=﹣2，解得：x=經(jīng)檢驗(yàn)：x=﹣1或x=13∴原分式方程的解為x=﹣1或x=13上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程x?1x+1?4x+4x?1=0中，設(shè)y=（2）模仿上述換元法解方程：x?1x+2【答案】（1）y?4y=0【分析】（1）根據(jù)換元法，可得答案；（2）根據(jù)分式的加減，可得：x?1x+2【詳解】（1）設(shè)y=x?1x+1，則原方程可化為：y?故答案為：y?4（2）原方程化為：x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，則原方程化為：方程兩邊同時(shí)乘以y得：y2﹣1=0，解得：y=±1，經(jīng)檢驗(yàn)：y=±1都是方程y?1當(dāng)y=1時(shí)，x?1x+2當(dāng)y=﹣1時(shí)，x?1x+2=﹣1，解得：x=?經(jīng)檢驗(yàn)：x=?1∴原分式方程的解為x=?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關(guān)鍵．注意將所得的解代入分式方程檢驗(yàn)分式方程是否有意義．【考點(diǎn)題型四】特殊方法解分式方程-裂項(xiàng)法13．（22-23八年級(jí)上·廣東珠?！て谀├钊A在計(jì)算時(shí)，探究出了一個(gè)“裂項(xiàng)”的方法，如：11×2(1)求15×6(2)證明：11×2(3)解方程：13x【答案】(1)3(2)見解析(3)x=【分析】（1）根據(jù)“裂項(xiàng)”的方法，計(jì)算即可；（2）根據(jù)“裂項(xiàng)”的方法，計(jì)算證明即可；（3）首先根據(jù)“裂項(xiàng)”的方法化簡(jiǎn)方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：1===3（2）證明：1=1?=1?=n∵n<n+1，∴nn+1∴11×2（3）解：11x1x12x12x12x49x9x=4x+4，5x=4，x=4檢驗(yàn)：x=4∴原方程的解為x=4【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算、解分式方程，解本題的關(guān)鍵在理解題意，充分利用運(yùn)算規(guī)律計(jì)算．14．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）因?yàn)?1×2所以11×2(1)在和式11×2+1(2)解方程：1x+1【答案】(1)19×10，(2)x=2000【分析】（1）根據(jù)已知式子的規(guī)律，即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律化簡(jiǎn)方程為1x+1【詳解】（1）解：依題意，在和式11×2+12×3+13×4故答案為19×10（2）原方程可化簡(jiǎn)為：1方程兩邊同時(shí)乘x+1x+2002，得：x+2002?解得：x=2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律題，解分式方程，找到規(guī)律，化簡(jiǎn)方程是解題的關(guān)鍵．15．（22-23八年級(jí)下·廣東廣州·開學(xué)考試）類比推理是一種推理方法，即根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，作出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡芟嗨频慕Y(jié)論．觸類旁通，即用類比的方法提出問題及尋求解決問題中的途徑和方法．觀察下列計(jì)算過程：1==1?這就是解稍復(fù)雜的計(jì)算中常用到的裂項(xiàng)相消法，即把每項(xiàng)恰當(dāng)拆分，使得其中部分分?jǐn)?shù)相互抵消，簡(jiǎn)化計(jì)算．閱讀下面一道例題的解答過程：因式分解：x解：我們可以將3x拆成x和2x即原式==x=在因式分解中，我們有時(shí)需要對(duì)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，其目的是使多項(xiàng)式能進(jìn)行因式分解，像這樣的方法稱為拆項(xiàng)法．請(qǐng)用類比的方法，解決以下問題：(1)①已知11×2=1?1②請(qǐng)你利用拆項(xiàng)法進(jìn)行因式分解：x2(2)若a,b滿足a2?2a+1+2a?b(3)受此啟發(fā)，解方程1x【答案】(1)①1n?1(2)20222023(3)x=?1【分析】（1）①類比題材即可得解，②類比題材即可因式分解；（2）根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性得a=1，b=2，然后代入所求式子利用裂項(xiàng)相消法即可求解；（3）利用拆項(xiàng)法因式分解后再利用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)方程，解化簡(jiǎn)后的分式方程即可．【詳解】（1）解：①∵1∴類比得1n故答案為：1n②x2故答案為：x+3x+2（2）解：∵a,b滿足a2?2a+1+∴a?1=0，2a?b=0，解得a=1，b=2，∴b?a=1>0，1=11×2=1?=2022（3）解：1x1x+41x+44xx2?12x=4，x=?1經(jīng)檢驗(yàn)，x=?1∴原方程的解為x=?1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、因式分解與解分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，理解裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用以及熟練求解分式方程．16．（22-23七年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）根據(jù)分式的減法法則，1n?1n+1=n+1n(n+1)?nn(n+1)=(1)1x(x+1)(2)仿照上面運(yùn)算將1x(x+2)(3)靈活利用規(guī)律解方程：1x(x+2)【答案】(1)2006(2)1(3)x=25【分析】（1）利用1n(n+1)（2）先計(jì)算1x?1（3）利用（2）的結(jié)論，將方程整理為12【詳解】（1）解：1====2006（2）∵1x∴1x（3）解：11212121解得：x=25，經(jīng)檢驗(yàn)x=25是原方程的解，∴x=25．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減法及解分式方程，解答的關(guān)鍵是讀懂材料，對(duì)所求的式子拆項(xiàng)．【考點(diǎn)題型五】由分式方程有解或無解的情況求未知數(shù)的值或取值范圍17．（23-24八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）若關(guān)于x的方程3x?a=22x?1有解，則A．3 B．2 C．13 D．【答案】D【分析】本題考查分式方程有解問題，根據(jù)無解即不是增根求出值即可得到有解的取值范圍；【詳解】解：兩邊同時(shí)乘以(x?a)(2x?1)得，6x?3=2x?2a，解得：x=3?2a∵方程3x?a∴當(dāng)x=3?2a4時(shí)即：3?2a4?a≠0，解得：a≠1故選：D．18．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）若分式方程xx?3=3mx+3+1【答案】m≠1且m≠0【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解求解參數(shù)，將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程有解，可得x≠3且x≠?3，代入求解即可．【詳解】解：由xx?3=化簡(jiǎn)可得：m?1由題意可得，m?1≠0，且x≠3且x≠?3，則x=3m+3m?1，即3m+3解得m≠0綜上m≠0且m≠1故答案為：m≠1且m≠019．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）若關(guān)于x的方程1x+1x+2=【答案】±1【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的無解求參數(shù)的值，是需要識(shí)記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【詳解】解：1x+2+x=2m，m=x+1，∵關(guān)于x的方程1x∴x=0或x+2=0，∴x=0或x=?2，∴m=±1．故答案為±120．（20-21八年級(jí)下·遼寧沈陽·期中）當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程2m?2x?1【答案】當(dāng)m≠?1，m≠12，【分析】方程兩邊同時(shí)乘(x?1)(x?2)，得2m?2=m(x?1)+(x?2)，進(jìn)行計(jì)算解得，x=3mm+1，根據(jù)方程有解得【詳解】解：2m?2方程兩邊同時(shí)乘(x?1)(x?2)，得2m?2=m(x?1)+(x?2)，整理，得m+1x=3m∵方程有解，∴m+1≠0，解得，x=3m∴m≠?1，由于分式方程有增根x=2及x=1，當(dāng)x=3mm+1=2當(dāng)x=3mm+1=1即當(dāng)m=2或m=1綜上，當(dāng)m≠?1，m≠12，【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握解分式方程的方法，正確計(jì)算．注意不要忽視增根的情況．21．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的分式方程x?ax?1?3【答案】3或?2或1【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的無解求參數(shù)的值，分兩種情況求解是解答本題的關(guān)鍵．①去分母后所得整式方程無解；②解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．將原方程化為整式方程，求出未知數(shù)的值代入該整式即可的到k的值．【詳解】解：方程兩邊都乘xx?1，得x整理，得a+2x=3?a當(dāng)a+2=0，3?a≠0，即a=?2時(shí)，方程①無解，則原方程無解；當(dāng)a+2≠0，即a≠?2時(shí)，∵原分式方程無解，∴xx?1=0，即x=0或把x=0代入①，得a=3，把x=1代入①，得a=1綜上，a的值為?2或3或12【考點(diǎn)題型六】由分式方程的增根求未知數(shù)的值22．（23-24八年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）按照解分式方程的一般步驟解關(guān)于x的分式方程k(x+1)(x?1)+7=1x?1，出現(xiàn)增根x=1，那么【答案】2【分析】本題考查了分式方程的增根、解分式方程，先將分式方程去分母，化為整式方程，再將增根代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：去分母得：k+7(x+1)(x?1)=x+1，將增根x=1代入得：k+7×1+1解得：k=2，故答案為：2．23．（22-23八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程2mx+1?m+1x2【答案】?2或?【分析】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的含義是解題的關(guān)鍵；先去分母，然后將分式方程的增根分別代入，進(jìn)一步求解即可．【詳解】∵該方程的最簡(jiǎn)公分母是xx+1∴該方程的增根為x=0或x=?1，把方程兩邊都乘xx+1得，2mx?(m+1)=x+1整理，得2m?1當(dāng)x=0時(shí)，2m?1×0=m+2解得m=?2；當(dāng)x=?1時(shí)，2m?1×解得m=?1∴實(shí)數(shù)m的值為?2或?124．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·期中）關(guān)于x的分式方程3xx?2+a2?x=1有增根x=b【答案】8【分析】本題考查了分式方程，根據(jù)增根x=b，得b=2，由3xx?2+a2?x=1【詳解】解：∵x的分式方程3xx?2+a∴x=b=23x3x?a=x?2a=2x+2=2×2+2=6∴a+b=6+2=8故答案為：825．（23-24八年級(jí)上·山東菏澤·期末）（1）若方程3xx?3（2）若方程3xx?3+5=m【答案】（1）x=3；（2）m=?9【分析】本題主要考查了分式方程有增根的情況；（1）根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進(jìn)行求解即可；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出m的值即可．【詳解】解：（1）∵分式方程有增根，∴x?3=0，∴x=3，故答案為：x=3；（2）3x去分母得：3x+5x?3移項(xiàng)得：3x+5x?15=?m，解得：x=∵分式方程有增根，∴x?3=0，即x=3，∴15?m8解得m=?9．【考點(diǎn)題型七】與解分式方程有關(guān)的污染/錯(cuò)解問題26．（23-24八年級(jí)上·河北保定·期末）嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解分式方程：xx?3(1)他把“◆”猜成5，請(qǐng)你解方程：xx?3(2)老師說：“你猜錯(cuò)了，我看到該題目的正確答案是此分式方程無解．”通過計(jì)算說明原題中“◆”是幾？【答案】(1)x=11(2)a=?3【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想．（1）分式方程變形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）設(shè)原題中“◆”是a，分式方程變形后去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解得到x=3，代入整式方程計(jì)算即可求出a的值．【詳解】（1）解：xx?3去分母得：x=2x?3解得x=11，檢驗(yàn)：當(dāng)x=11時(shí)，x?3≠0，∴分式方程的解為x=11；（2）解：設(shè)原題中“◆”是a，方程變形得：xx?3去分母得：x=2x?3由分式方程無解，得到x=3，把x=3代入整式方程得：a=?3．27．（22-23八年級(jí)上·湖南邵陽·期末）已知分式方程2x?1(1)若“■”表示的數(shù)為4，求分式方程的解；(2)小馬虎回憶說：由于抄題時(shí)等號(hào)右邊的數(shù)值抄錯(cuò)，導(dǎo)致找不到原題目，但可以肯定的是“■”是?1或0，試確定“■”表示的數(shù)．【答案】(1)x=(2)0【分析】（1）根據(jù)題意列出分式方程，求出解即可；（2）把?1和0分別代入方程，求出解判斷即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：2x?1去分母得：2?x=4x?4，解得：x=6檢驗(yàn)：把x=65代入得：∴分式方程的解為x=6（2）解：當(dāng)“■”是?1時(shí)，2x?1+x當(dāng)“■”是0時(shí)，2x?1+x1?x=0∴“■”表示的數(shù)是0．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．28．（22-23八年級(jí)上·河北承德·期末）老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題：2x+1甲同學(xué)：2=2x+1=2+x+5x+1=x+7x+1乙同學(xué)：2=2x?1=2x?2+x+5

第二步=3x+3

第三步(1)對(duì)于兩人的做法，下列判斷正確的是：（）A．甲對(duì)乙錯(cuò)

B．甲錯(cuò)乙對(duì)

C．甲乙都對(duì)

D．甲乙都錯(cuò)(2)若正確，說明每步做的依據(jù)；若錯(cuò)誤，則甲同學(xué)的解答從第___________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；乙同學(xué)的解答從第___________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；并重新寫出完成此題的正確解答過程．2(3)解分式方程，體會(huì)與分式化簡(jiǎn)的關(guān)系．2【答案】(1)D(2)一、二，3x?1(3)x=【分析】（1）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則對(duì)甲乙的解答過程進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則作答即可；（3）根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）甲同學(xué)：2x+1乙同學(xué)：2x+1故選：D；（2）由（1）可知?jiǎng)t甲同學(xué)的解答從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；乙同學(xué)的解答從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；正確的解答過程為：2====3故答案為：一、二、3x?1（3）2222x?2+x+5?4x?4?x?1=0，即：x=經(jīng)檢驗(yàn)，x=故原方程無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算以及解分式方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【考點(diǎn)題型八】由分式方程解的正負(fù)求參數(shù)的取值范圍29．（23-24八年級(jí)下·山西晉城·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程k?1x?5=2?x5?x的解為正數(shù)，則A．k>?9 B．k<?9C．k>?9且k≠6 D．k>6且k≠9【答案】C【分析】解分式方程k?1x?5=2?x5?x，根據(jù)“解為正數(shù)”得到k+93>0，解不等式，求出本題考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解題的關(guān)鍵是：熟記分式方程的增根．【詳解】解：k?1去分母，得：k?1=2(x?5)+x，解得：x=k+9∵解為正數(shù)，∴x>0，∴k+9解得：k>?9，∵x?5≠0，∴x≠5，∴k+9∴k≠6，∴k的取值范圍是k>?9且k≠6，故選：C．30．（23-24八年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程2x?1+a1?x=4【答案】a≤6且a≠2【分析】本題主要考查分式方程的解，注意分母不為0是解題的關(guān)鍵．表示出分式方程的解，由解為非負(fù)數(shù)確定出a的取值范圍．【詳解】解：分式方程整理得：2x?1去分母得：2?a=4x?4，解得x=6?a由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到6?a4≥0解得a≤6且a≠2．故答案為：a≤6且a≠2．31．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）關(guān)于x的分式方程mx?3+43?x=1【答案】m≥1且m≠4【分析】本題考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先算分式方程得出x=m?1且m≠4，結(jié)合解是非負(fù)數(shù)，列式m?1≥0，即可作答．【詳解】解：原方程去分母得：m?4=x?3，解得：x=m?1，∵x?3≠0，∴x≠3，∴m?1≠3，∴m≠4，∵關(guān)于x的分式方程mx?3∴x≥0，即m?1≥0，解得：m≥1，又∵m≠4，∴m的取值范圍是m≥1且m≠4故答案為：m≥1且m≠432．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知關(guān)于x的方程2mx?1x+2=1的解為負(fù)數(shù)，求m【答案】m<12【分析】此題考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解為負(fù)數(shù)，列出關(guān)于m的不等式組，求出不等式組的解集即可確定出m的范圍；利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【詳解】解：依題意，2mx?1則化為整式，得2mx?1=x+2則x=3∵方程有解，且解為負(fù)數(shù)，∴2m?1≠0解得m≠1則m<12且所以m的取值范圍為m<12且【考點(diǎn)題型九】分式方程的同解問題33．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）已知關(guān)于x的方程xk?2=1k的解與方程【答案】k的值為2【分析】本題考查解分式方程，分式方程的同解問題，先解出后一個(gè)分式方程，再將所得解代入前一個(gè)方程即可得解．注意檢驗(yàn)．【詳解】解：在方程2x+1x?1=1的兩邊同乘x?1，可得：解得x=?2．經(jīng)檢驗(yàn)，x=?2是方程2x+1x?1把x=?2代入方程xk?2=1解得k=2經(jīng)檢驗(yàn)，k=23是方程∴k的值為2334．（22-23八年級(jí)上·河北滄州·期中）已知方程axa+1?2【答案】?【分析】先解方程xx+1+2【詳解】解：化為整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1，化簡(jiǎn)得：x=﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x=﹣3，將x=-3代入axa+1解得a=?1經(jīng)檢驗(yàn)a=?1∴a=?1【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十】分式方程與不等式組綜合35．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·階段練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于y的不等式組2y?53≤y?13a?y+3≥0至少有3個(gè)整數(shù)解，且使得關(guān)于x的分式方程3A．?6 B．?9 C．?11 D．?14【答案】C【分析】本題考查求不等式組的解集，根據(jù)分式方程的解的情況，求參數(shù)；先根據(jù)不等式組的解集和分式方程的解的情況求出a的取值范圍，進(jìn)而求出a的整數(shù)解，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：2y?53≤y?13①∵不等式至少有3個(gè)整數(shù)解，∴?2≤a+3，∴a≥?5，∵3x∴3+ax=2x?1∴2?ax=5解得x=5∵方程的解為非負(fù)數(shù)，∴2?a>0，∴a<2，∵x≠0，x≠1，∴a≠?3，∴符合條件的整數(shù)a有?5，?4，?2，?1，0，1，∴所有符合條件的整數(shù)a的和為?11，故選：C．36．（23-24八年級(jí)上·四川德陽·期末）若關(guān)于的不等式組3x+54≤x+32x+12>x+aA．12 B．10 C．9 D．16【答案】A【分析】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無解可求得a的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據(jù)解為整數(shù)，且y?2≠0，即可求得滿足條件的所有整數(shù)a的值．【詳解】解：3x+5解不等式①，得x≤1．解不等式②，得x>a?1．因?yàn)殛P(guān)于x的不等式組3x+54a?1≥1．解得a≥2．解關(guān)于y的分式方程5?ay2?yy=6∵6a?1為整數(shù)，a≥2，6∴a=2或a=3或a=7．∴滿足條件的所有整數(shù)a的和=2+3+7=12．故選：A．37．（2023·四川瀘州·一模）已知方程3?aa?4?a=14?a，且關(guān)于x的不等式a≤x<b只有3個(gè)整數(shù)解，則【答案】1<b≤2【分析】此題考查了解分式方程，以及一元一次不等式的整數(shù)解．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到a的值，經(jīng)檢驗(yàn)確定出分式方程的解，根據(jù)已知不等式只有3個(gè)整數(shù)解，即可確定出b的范圍．【詳解】解：分式方程去分母得：3?a?aa?4整理，得：a2即a?4a+1解得：a=4或a=?1，經(jīng)檢驗(yàn)a=4是增根，故分式方程的解為a=?1，∵不等式a≤x<b只有3個(gè)整數(shù)解，∴1<b≤2，故答案為：1<b≤2．38．（23-24九年級(jí)上·重慶江北·期末）若實(shí)數(shù)a使關(guān)于x的不等式組2x3?4≤12x?75x?2a>61?x，有且僅有三個(gè)整數(shù)解，且使關(guān)于y【答案】?6【分析】本題考查解一元一次不等式組、解分式方程組，先解不等式組的解集，再根據(jù)已知不等式組解確定a的取值范圍；解分式方程得到【詳解】解：解不等式組2x3?4≤1∵該方程組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，∴0≤6+2a11<1解分式方程3?a1?y=∵該分式方程的解為正數(shù)，且y≠1，∴2?a>0，且2?a≠1，解得a<2且a≠1∴?3≤a<2且a≠1，∵a為整數(shù)，∴a的值為?3，?2，?1，0，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為?3?2?1+0=?6，故答案為：?6．【考點(diǎn)題型十一】與解方程有關(guān)的規(guī)律探究問題39．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．111……．(1)計(jì)算11×2(2)探究11×2+1(3)若11×3+13×5+【答案】(1)5(2)n(3)n=36【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探索，分式方程的求解，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)給出的式子將各式進(jìn)行拆開，然后得出答案；（2）根據(jù)給出的式子得出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)題意將式子進(jìn)行展開，然后列出關(guān)于n的分式方程，從而得出n的值即可．【詳解】（1）解：1=1?=1?=5故答案為：56（2）1=1?=1?=n故答案為：n（3）1==1由題意得：121?1解得：n=36，經(jīng)檢驗(yàn)n=36是原分式方程得解．40．（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·階段練習(xí)）觀察下列算式：①12×3=12?(1)由上式可以類似推出④式為：；(2)用含字母n的等式表示（1）中的一般規(guī)律（n為非零自然數(shù)）；(3)用以上方法解方程：1【答案】(1)1(2)它的一般規(guī)律是1n(n+1)=1(3)x=10【分析】此題考查了解分式方程，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類．（1）仿照已知等式推理得出下一個(gè)等式即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）利用拆項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)方程，求出解即可．【詳解】（1）解：∵①12×3=12?∴由上式可以類似推出④式為：15×6故答案為：15×6（2）解：根據(jù)題意可得：它的一般規(guī)律是1n(n+1)=1（3）解：將方程化為：1x即1x解得：x=10，經(jīng)檢驗(yàn)x=10是原分式方程的解，∴原方程的解為x=10．41．（22-23八年級(jí)上·河北石家莊·期末）解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8x+1（1）請(qǐng)完成上面的填空；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個(gè)方程和它的解；（3）請(qǐng)你用一個(gè)含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．【答案】35x+1=10x+1?1的解是x=4第【分析】本題考查分式方程的解以及規(guī)律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由題意把方程兩邊都乘以x+1把分式方程化為整式方程，然后求解即可；（2）由題意先觀察①②③④中的方程的解；根據(jù)前四個(gè)方程的規(guī)律可得第⑤個(gè)方程及其解；（3）根據(jù)題干中各個(gè)方程的規(guī)律，可寫出含正整數(shù)n的方程，求解即可．【詳解】解：（1）4去分母得4=8?x+1去括號(hào)得：4=8?x?1移項(xiàng)得：x=8?1?4，合并同類項(xiàng)得：x=3．檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x+1≠0，∴x=3是原方程的解，故答案為：3；（2）由題意得，第⑤個(gè)方程為5x+1=10故答案為：5x+1=10（3）①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8……，以此類推，可知，第n個(gè)方程為nx+1=2n故答案為：第n個(gè)方程為nx+1=2n【考點(diǎn)題型十二】與解方程有關(guān)的新定義問題42．（23-24八年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）定義運(yùn)算a△b=1a?1ab，如1△2=1?12【答案】4【分析】本題考查了新定義和解分式方程，根據(jù)定義，得x△?3【詳解】根據(jù)定義，x△整理得，1x去分母，得3+1=x，解得x=4，經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的根，故答案為：4．43．（2023·四川內(nèi)江·二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b=a?ba+b，例如5?35+3=14．若【答案】1【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：已知等式變形得：x+1?x?2x+1解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是分式方程的解，則x的值為1．故答案為：1．44．（22-23八年級(jí)上·貴州黔南·期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定(1)Tm?1,3m=．（用含(2)已知T3m,m?1=Tm?1,3m【答案】(1)4m+21?4m(2)?1【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)新定義可得關(guān)于m的分式方程，解方程即可求解；本題考查了新定義運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：Tm?1,3m故答案為：4m+21?4m（2）解：∵T3m,m?1∴2×3m?2m?1即4m+24m?1∴4m+2=?4m?2解得m=?1檢驗(yàn)：當(dāng)m=?12時(shí)，∴m=?1∴m的值?145．（23-24八年級(jí)上·四川廣安·期末）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”，例如：3x+1+3x1+x=(1)分式10x3+2x與15(2)設(shè)正數(shù)x，y互為倒數(shù)，求證：分式2xx+y2(3)若分式aa+4b2與2ba2+2b互為“1階分式”（其中【答案】(1)5(2)詳見解析(3)ab=【分析】（1）根據(jù)提議，計(jì)算10x3+2x與15（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進(jìn)行消元，然后通過分式的加法化簡(jiǎn)即可得解；（3）根據(jù)1階分式的要求對(duì)兩者相加進(jìn)行分式加法化簡(jiǎn)，通過通分化簡(jiǎn)即可得解．本題主要考查了分式的加減，熟練掌握分式的通分約分運(yùn)算知識(shí)是解決此類問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵10x3+2x分式10x3+2x與15（2）∵正數(shù)x，y互為倒數(shù)，∴y=1∴====2，∴分式2xx+y2（3）∵分式aa+4b2∴a去分母，得aa2a3∴2ab=4a∴4a2ab2ab?1∵a，b為正數(shù)，∴2ab?1=0，解得ab=1【考點(diǎn)二分式方程的應(yīng)用】用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;+1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.答：實(shí)際問題的答案.與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：【考點(diǎn)題型十三】分式方程實(shí)際應(yīng)用-行程問題46．（23-24八年級(jí)下·福建福州·開學(xué)考試）為落實(shí)“全民健身國(guó)家戰(zhàn)略，推動(dòng)健康中國(guó)建設(shè)”，我市體育局組織了系列的體育賽事，其中半程馬拉松（21.0975公里），他們約好一起去公園長(zhǎng)跑訓(xùn)練，跑完后，發(fā)現(xiàn)小林用52分鐘跑的路程和小李用57分鐘跑的路程一樣多，而小林的平均配速比小李的平均配速小0.5分鐘/公里，問這次訓(xùn)練小林和小李的平均配速各是多少分鐘/公里．（說明：“配速”是速度的一種，指每公里所花的時(shí)間，它是長(zhǎng)跑者關(guān)注的一項(xiàng)重要指標(biāo)）【答案】這次訓(xùn)練小林的平均配速為5.2分鐘/公里，小李的平均配速為5.7分鐘/公里．【分析】本題考查分式方程解決應(yīng)用問題，設(shè)這次訓(xùn)練小林的平均配速為x分鐘/公里，根據(jù)路程一樣多列式求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)這次訓(xùn)練小林的平均配速為x分鐘/公里，則這次訓(xùn)練小李的平均配速為(x+0.5)分鐘/公里，由題意可得，依題意得：52x解得：x=5.2，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5.2是原方程的解，∴5.2+0.5=5.7，答：這次訓(xùn)練小林的平均配速為5.2分鐘/公里，小李的平均配速為5.7分鐘/公里．47．（22-23八年級(jí)上·貴州黔南·期末）某校八年級(jí)組織學(xué)生去博物館參觀，年級(jí)主任通過騰訊地圖查找路線，系統(tǒng)推薦了兩種路線，分別為“大眾方案”和“快速方案”．“大眾方案”對(duì)應(yīng)的路程為100km，“快速方案”對(duì)應(yīng)的路程為128km．汽車在“快速方案”上的時(shí)速是“大眾方案”的【答案】汽車在“大眾方案”和“快速方案”上行駛的平均速度分別是40km/h【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)汽車在“大眾方案”上行駛的平均速度是xkm【詳解】解：設(shè)汽車在“大眾方案”上行駛的平均速度是xkm則汽車在“快速方案”上行駛的平均速度是1.6xkm根據(jù)題意得，100x整理得160?128=0.8x，解得x=40，經(jīng)檢驗(yàn)，x=40使得1.6x≠0，∴x=40是該方程的解，∴汽車在“快速方案”上行駛的平均速度是1.6×40=64（kmh答：汽車在“大眾方案”和“快速方案”上行駛的平均速度分別是40km/h【考點(diǎn)題型十四】分式方程實(shí)際應(yīng)用-工程問題48．（23-24八年級(jí)上·河北邯鄲·期末）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工需90天完成．甲隊(duì)先單獨(dú)施工30天，然后增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又合做了15天．總工程全部完成．求乙隊(duì)單獨(dú)施工需多少天完成．【答案】30天【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系總工程量=甲完成工作量+乙完成工作量列出關(guān)于x的分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工需x天完成，根據(jù)總工程量=甲完成工作量+乙完成工作量即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工需x天完成，根據(jù)題意得：3090解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是分式方程3090答：乙隊(duì)單獨(dú)施工需30天完成．49．（22-23八年級(jí)下·遼寧沈陽·期末）某地為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為600米的污水排放管道．鋪設(shè)240米后，為了盡量減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，后來每天的工效比原計(jì)劃增加了20%【答案】原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為20米．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．等量關(guān)系：鋪設(shè)240m的時(shí)間+鋪設(shè)(600?240)m的時(shí)間【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米管道，則鋪設(shè)240米后實(shí)際每天鋪設(shè)1.2x米，根據(jù)題意得：240x解得x=20，經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解，答：原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長(zhǎng)度為20米．【考點(diǎn)題型十五】分式方程實(shí)際應(yīng)用-銷售問題50．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·期中）某超市用6000元購(gòu)進(jìn)一批“紅富士”蘋果進(jìn)行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥13000元資金購(gòu)進(jìn)該品種蘋果，但這次的進(jìn)價(jià)比試銷時(shí)的進(jìn)價(jià)每千克多了0.5元，購(gòu)進(jìn)蘋果的質(zhì)量是試銷時(shí)的2倍．(1)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？(2)如果超市將該品種蘋果按每千克8元的定價(jià)出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的400千克按定價(jià)的7折（“7折”即定價(jià)的70%【答案】(1)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克6元(2)超市在這兩次蘋果銷售中共盈利4040元．【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確列出分式方程和算式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克x元，根據(jù)等量關(guān)系“本次數(shù)量=2×試銷時(shí)的數(shù)量”列出分方程求解即可．（2）先求出試銷時(shí)和第二次進(jìn)的蘋果數(shù)量，再根據(jù)“盈利=(【詳解】（1）解：設(shè)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克x元，依題意可得：13000x+0.5=6000經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，且符合題意．答：試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克6元．（2）解：試銷時(shí)購(gòu)進(jìn)蘋果的質(zhì)量為60006第二次購(gòu)進(jìn)蘋果的質(zhì)量為2×1000=2000（千克），盈利為1000+2000?400×8+400×8×0.7?6000?13000=4040答：超市在這兩次蘋果銷售中共盈利4040元．51．（22-23八年級(jí)上·新疆阿克蘇·期末）某商場(chǎng)第一次用11000元購(gòu)進(jìn)某款拼裝機(jī)器人進(jìn)行銷售，很快銷售一空，商家又用24000元第二次購(gòu)進(jìn)同款機(jī)器人，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元．求該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人多少個(gè)？【答案】100【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．【詳解】解：解：設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人x個(gè)，依題意得：11000x解得：x=100，經(jīng)檢驗(yàn)x=100是原分式方程的解，且符合題意，∴該商家第一次購(gòu)進(jìn)機(jī)器人100人．52．（23-24八年級(jí)上·重慶城口·期末）今年我縣臘肉一上市，臘肉店的王老板用3600元購(gòu)進(jìn)一批臘肉，很快售完；老板又用7800元購(gòu)進(jìn)第二批臘肉，所購(gòu)件數(shù)是第一批的2倍，但進(jìn)價(jià)比第一批每件多了5元．(1)第一批臘肉每件進(jìn)價(jià)多少元？(2)王老板以每件100元的價(jià)格銷售第二批臘肉，售出70%后，為了盡快售完，決定打折促銷，要使第二批臘肉的銷售利潤(rùn)不少于3480元，剩余的臘肉每件售價(jià)最少打幾折？（利潤(rùn)=售價(jià)?【答案】(1)第一批臘肉每件進(jìn)價(jià)為60元(2)剩余的臘肉每件售價(jià)最少打8折【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用．（1）設(shè)第一批臘肉每件進(jìn)價(jià)為x元，則第二批臘肉每件進(jìn)價(jià)為x+5元，根據(jù)“第二批臘肉所購(gòu)件數(shù)是第一批的2倍”列分式方程求解即可；（2）設(shè)剩余的臘肉每件售價(jià)打y折，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)?進(jìn)價(jià)，列一元一次不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一批臘肉每件進(jìn)價(jià)為x元，則第二批臘肉每件進(jìn)價(jià)為x+5元，由題意得：3600x解得：x=60，經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解，且符合題意，答：第一批臘肉每件進(jìn)價(jià)為60元；（2）解：設(shè)剩余的臘肉每件售價(jià)打y折，根據(jù)題意得：780060+5解得：y≥8，答：剩余的臘肉每件售價(jià)最少打8折．【考點(diǎn)題型十六】分式方程實(shí)際應(yīng)用-數(shù)字問題53．（21-22八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47，原來得兩位數(shù)是【答案】63【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗(yàn)并作答．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，則可列方程：10x+66×10+x整理得66x＝198，解得x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，則60+x＝63，故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．54．（20-21八年級(jí)上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】34【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，兩位數(shù)是10x+x+1，利用兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗(yàn)后求出兩位數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，則：10x+(x+1)?2x+1解方程得：x=3，經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是原方程的根，所以個(gè)位上的數(shù)字為：x+1＝3＋1＝4，所以這個(gè)兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．答：這個(gè)兩位數(shù)是34．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程．【考點(diǎn)題型十七】分式方程實(shí)際應(yīng)用-圖形問題55．（23-24九年級(jí)上·北京海淀·開學(xué)考試）列分式方程解應(yīng)用題．當(dāng)矩形（即長(zhǎng)方形）的短邊為長(zhǎng)邊的5?12倍時(shí)，裝裱前是一個(gè)長(zhǎng)為150厘米，寬為82厘米的矩形．現(xiàn)要在作品四周加上等寬的白色邊襯裝裱．為了使裝裱后的作品接近黃金矩形（注：

【答案】邊襯的寬度應(yīng)設(shè)置為10厘米【分析】根據(jù)裝裱后的矩形寬與長(zhǎng)之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度設(shè)置為x厘米，由題意得：82+2x150+2x解得：x=10，經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的解，答：邊襯的寬度應(yīng)設(shè)置為10厘米．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．56．（22-23八年級(jí)上·河南信陽·階段練習(xí)）如圖，甲和乙均是容積為90立方分米無蓋的長(zhǎng)方體盒子．

(1)甲盒子底面是邊長(zhǎng)為a分米的正方形，這個(gè)盒子的高是___________分米；這個(gè)盒子的表面積是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）(2)乙盒子底面是長(zhǎng)方形，甲盒子比乙盒子高5分米.選用2元/平方分米的材料，制作甲乙兩個(gè)盒子的底面，乙盒子底面材料費(fèi)用是甲盒子底面材料費(fèi)用的2倍，求乙盒子的高．【答案】(1)?=90a(2)5【分析】（1）長(zhǎng)方體體積為長(zhǎng)寬高的乘積，已知甲的地面是邊長(zhǎng)為a的正方形，就可以求出高，長(zhǎng)寬高已知即可表示表面積．（2）根據(jù)甲乙盒子的高的關(guān)系可以表示乙的高，根據(jù)地面材料費(fèi)求出乙的底面積（長(zhǎng)寬積），利用體積建立關(guān)于高的關(guān)系方程，求出乙的高．【詳解】（1）解：a2??=90，則?=90（2）解：設(shè)乙的高為x分米，甲的高為(x+5)分米．依題意得：90解得：x=5經(jīng)檢驗(yàn)x=5是此分式方程的解．答：乙盒子的高為5分米．【點(diǎn)睛】本題主要考了長(zhǎng)方體的體積及表面積的知識(shí)，利用公式建立分式方程模型是解題關(guān)鍵．57．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖1，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am(a>1)的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為(a?1)m(1)①“豐收1號(hào)”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量為__________kgm2；“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量為__________②高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？(2)如圖2，在試驗(yàn)田四周（圖2虛線部分）修建隔離網(wǎng)，“豐收1號(hào)”和“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田隔離網(wǎng)的總造價(jià)分別為1800元和3300元，且“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的隔離網(wǎng)每m造價(jià)是“豐收1號(hào)”小麥試驗(yàn)田的隔離網(wǎng)每m造價(jià)的2倍，求a值．【答案】(1)①500a2?1；500(2)a=12．【分析】本題主要考查了分式的應(yīng)用，明確題意，正確列式是解答本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)產(chǎn)量除以試驗(yàn)田面積即可作答；先得出a2?1?(a?1)2=2(a?1)>0，即有（2）根據(jù)（“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的隔離網(wǎng)每m造價(jià)是“豐收1號(hào)”小麥試驗(yàn)田的隔離網(wǎng)每m造價(jià)的2倍）列分式方程，求解即可．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為500a“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為500(a?1)∵(a?1)2∴a2∵a>1，∴a2∴a2∴1a∴500a∴“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量高；故答案為：500a2?1②∵500a∴500===a+1答：高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的a+1a?1（2）解：由題意得，2×1800解得a=12，經(jīng)檢驗(yàn)，a=12是原方程的解，且滿足題意．【考點(diǎn)題型十八】分式方程實(shí)際應(yīng)用-航行問題58．（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）一艘輪船沿江順流航行100千米和逆流航行60千米所有的時(shí)間相同．已知水流的速度是5千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度．【答案】輪船在靜水中的速度為20千米/時(shí)【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程計(jì)算即可；準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)．依題意得：100x+5解得：x=20，經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的解，且符合題意．

答：輪船在靜水中的速度為20千米/時(shí)．59．（23-24八年級(jí)上·天津南開·期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為20km/h，它以最大航速沿江順流航行100km(1)設(shè)江水的流速為xkm速度（kmh行駛路程（km）所用時(shí)間（h）輪船順流航行100輪船逆流航行60(2)列方程，并求出問題的解．【答案】(1)見詳解(2)10020+x=【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．（1）設(shè)江水的流速為xkm/h（2）根據(jù)“順流航行100km所用時(shí)間，與逆流航行60km所用時(shí)間相等”即可列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)江水的流速為xkm速度（kmh行駛路程（km）所用時(shí)間（h）輪船順流航行20+x100100輪船逆流航行20?x6060（2）解：設(shè)江水的流速為xkm10020+x方程兩邊同乘以20+x20?x10020?x解得x=5，檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，20+x20?x∴x=5是分式方程的解．答：江水的流速是5km【考點(diǎn)題型十九】分式方程實(shí)際應(yīng)用-方案問題60．（2024年遼寧省遼陽市二中協(xié)作校中考數(shù)學(xué)第一次模擬試題）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批足球和籃球，從體育商城了解到：足球單價(jià)比籃球單價(jià)少25元，用250元購(gòu)買足球與用375元購(gòu)買籃球的數(shù)量相等