總有一款PPT適合您【最新出品\精心整理\傾情奉獻\敬請珍惜】第一節(jié)歸納與演繹方法概述在人類認識客觀世界的發(fā)展歷程中，歸納和演繹作為兩種重要的思維方法，曾經(jīng)起著還必將繼續(xù)發(fā)揮巨大的功能和作用。一般說來，人們認識現(xiàn)實世界中事物的方式，有時候是由認識個別的和特殊的事物，進而認識一般的事物，這種認識方法稱為歸納；有時候又由認識一般的事物，過渡到認識特殊的和個別的事物，這種認識方法稱為演繹。這是人類認識運動的兩種方向相反的思維過程?！纠吭趯υS多個別的三角形的三個角進行度量和計算后，發(fā)現(xiàn)三個角的和總是于180o。通過歸納就會得到一個一般性認識：“三角形的三個內(nèi)角和等于180o”。有了這個一般性認識后，當人們要認識某一特殊的三角形比如等腰直角三角形的一個銳角是多少度時，我們就可以由這個一般的認識通過演繹而得到如下特殊的和個別的認識：“等腰直角三角形的銳角等于45o”。由此我們還看到，歸納和演繹決不是互相割裂和絕對對立的。它們雖然是互相區(qū)別、彼此對立的，然而它們又相互聯(lián)系、相互依存，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。這就是說，在人們的認識過程中，由個別、特殊到一般和由一般到特殊、個別，總是交錯進行著的。是認識的上升運動，它既不是單純的歸納，也不是單純的演繹。歸納幫助我們把對于許多個別事物的特殊屬性的認識發(fā)展為對于一類事物的共同屬性的認識。演繹把我們從歸納得出的一般結論作為根據(jù)，繼續(xù)研究那些尚未深入研究或者新出現(xiàn)的個別事物和其他特性，而這一研究也為進一步的歸納準備條件。因此，歸納為演繹提供了作為前提的基礎，而演繹又指導并進一步深化著歸納的進行。歸納和演繹就是這樣密切的聯(lián)系著和相互依賴著，互為條件和互相滲透著。在認識事物的過程中，應用歸納和演繹這兩種思維方法進行推理，所表現(xiàn)出來的思維形式，我們分別稱為歸納推理和演繹推理，也常稱為歸納法和演繹法。下面我們將分別闡述。第二節(jié)歸納方法1、歸納推理及其分類歸納推理是以某些個別的和特殊的判斷為前提，推出一個作為結論的一般性判斷的推理形式。【例】三角形三內(nèi)角和等于多少?(i)單稱判斷(個別的判斷)銳角三角形三內(nèi)角和等于180；直角三角形三內(nèi)角和等于180；鈍角三角形三內(nèi)角和等于180。(ii)特稱判斷(特殊的判斷)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形構成三角形全體。(iii)全稱判斷(一般的判斷)三角形內(nèi)角和等于180。本例說明：歸納是推理的一種特殊形式?！纠靠疾煊晒絝(n)=n2-n+41給出的數(shù)的性質(zhì)。

f(1)=12-1+41=41，是質(zhì)數(shù)；

f(2)=22-2+41=43，是質(zhì)數(shù)；

f(3)=32-3+41=47，是質(zhì)數(shù)，…… 結論：由公式f(n)=n2-n+41給出的數(shù)是質(zhì)數(shù)。本例說明：歸納常常需要通過試驗和觀察來得到一些個別的和特殊的判斷，以作為歸納的前提。 因此，試驗與觀察是歸納的基礎，而歸納則成為人們探索和發(fā)現(xiàn)真理的主要工具。 對于歸納(以及類比)推理在從事數(shù)學創(chuàng)造性科學研究活動過程中的作用，我國數(shù)學家徐利治用下圖作出了很好的闡述。從具體問題具體素材出發(fā)實驗歸納推廣形成普通命題(猜想)證明類比聯(lián)想預見 1742年，德國數(shù)學家哥德巴赫根據(jù)對某些大奇數(shù)的分解式的考察，如： 15=3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449，……，通過思考、分析而歸納得到一個猜想：任何大于5的奇數(shù)都可以分解為三個質(zhì)數(shù)之和。 他把這個猜想告訴瑞士數(shù)學家歐拉，歐拉在肯定他的猜想的同時，進行了新的試驗和觀察，經(jīng)過分析而歸納出一個更簡明的命題： 任何大于2的大偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，……，這個命題可以推出前一個命題。 然而它們還只是根據(jù)有限個個別的試驗和判斷所歸納得到的命題，還沒有經(jīng)過嚴格的證明，還只能稱為猜想。這個猜想被簡記為：大偶數(shù)=(1+1)。它吸引了許多數(shù)學家的注意。從哥德巴赫和歐拉開始至今，許多數(shù)學家前赴后繼，努力攻克這一世界性的數(shù)學難題，但遇到的困難仍很大。 為了對歸納推理進行較深入的研究，我們根據(jù)歸納過程中的特點，即根據(jù)歸納的前提是考察了一類對象的全體，還是僅僅考察它的部分，把它分為完全歸納法和不完全歸納法。2、不完全歸納法 不完全歸納法是以某類對象中個別的或特殊的部分對象具有(或不具有)某種屬性為前提，推出該類事物具有(或不具有)該屬性的一般結論的推理方法?！纠靠疾煜噜弮蓚€奇數(shù)(偶數(shù))的乘積與它們中間的數(shù)的關系。 1×3=3=22-1 2×4=8=32-1 3×5=15=42-1 4×6=24=52-1 結論：相鄰兩個奇數(shù)(偶數(shù))的乘積比它們中間的數(shù)的平方少1?！纠渴呤兰o法國著名數(shù)學家笛卡爾曾注意到，任意封閉凸多面體的面數(shù)、棱數(shù)、頂點數(shù)之間有著一定的關系： 四面體：頂點數(shù)4+面數(shù)4=棱數(shù)6+2 六面體：頂點數(shù)8+面數(shù)6=棱數(shù)12+2 八面體：頂點數(shù)6+面數(shù)8=棱數(shù)12+2 十二面體：頂點數(shù)20+面數(shù)12=棱數(shù)30+2二十面體：頂點數(shù)12+面數(shù)20=棱數(shù)30+2 結論：任意封閉凸多面體的頂點數(shù)V+面數(shù)F=棱數(shù)E+2。 這個公式的嚴格證明是由十八世紀最著名的數(shù)學家歐拉給出的，稱之為歐拉公式。 不完全歸納法由于沒有(或無法)窮舉考察對象的全體，因此它的結論帶有猜想的性質(zhì)，屬于似真推理(即當前提為真時僅是可能為真)。不完全歸納法所推出命題的正確性必須經(jīng)過嚴格的證明。 前面各例除“f(n)=n2-n+41給出的數(shù)是質(zhì)數(shù)”之外，我們都可以證明它是真的，而由于f(41)=412-41+41=412是合數(shù)，說明原來推論f(n)=n2-n+41給出的數(shù)是質(zhì)數(shù)是錯誤的。 對不完全歸納法所得結論具有猜想性，我國著名數(shù)學家華羅庚作過如下生動的說明： 從一個袋子里摸出來的第一個是紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們會出現(xiàn)一種猜想，是不是這個袋里的東西全部都是紅玻璃球?但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了。這時，我們會出現(xiàn)另一個猜想：是不是袋里的東西全部都是玻璃球? 但是，當有一次摸出來的是一個木球的時候，這個猜想又失敗了。那時，我們會出現(xiàn)第三個猜想：是不是袋里的東西都是球?這個猜想對不對，還必須繼續(xù)加以檢驗，直到把袋里的東西全部摸出來，才能見分曉。 雖然不完全歸納法屬于“似真推理”，它的結論帶有猜想性，然而它在科學研究、數(shù)學發(fā)展以及數(shù)學教學中，卻有著非凡的積極的作用。 這是因為由似真推理所得到的猜想，往往意味著發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。 當然，為了提高猜想的真確性，或者說為了更合理的猜想，在運用不完全歸納法時還應當注意更多地考察被歸納的對象。一類對象中 被考察的個別對象越多，范圍越廣，結淪的可靠性越大；另一方面，對于不完全歸納推得的結論，還應通過逆向思維，盡量搜集能否定自己猜想的反例，這樣將使我們對猜想的正確性有更深刻的認識。3、完全歸納法 完全歸納法是根據(jù)某類事物對象中每一個別對象或每一個子類情況都具有(或都不具有)某種屬性，概括出該類事物具有(或不具有)該屬性的一般性結論的推理方法?！纠孔C明自然數(shù)的平方的末位數(shù)不是2。 我們根據(jù)自然數(shù)末位數(shù)字的不同將自然數(shù)集分為十個子集，然后找出每一類子集里的自然數(shù)的平方的末位數(shù)字，如下表：自然數(shù)的末位數(shù)1234567890自然數(shù)的平方的末位或末兩位數(shù)1491625364964810此表說明：自然數(shù)的平方的末位數(shù)不是2。 完全歸納法是考察了某類事物的每個對象或每一特殊(子類)情況，然后得出的一般性結論。因此，只要前提是真的，那么結論也是真實的。所以完全歸納推理是一種必然推理。數(shù)學歸納法就是完全歸納法的一種。4、完全歸納法的作用 完全歸納法是認識客觀世界，獲取知識的方法。完全歸納法是從特殊到一般的推理，因為它是由對個別事物的認識上升到對一類事物的認識，由對局部的認識上升到對整體的認識，因而使我們認識事物前進了一步?！纠客ㄟ^對三類三角形的逐一一考察，概括三角形的一般性質(zhì)：三角形的三條高交于一點，從而使我們 對三角形的認識提高了一步。完全歸納法也是說明問題和證明問題的方法?！纠孔C明一個自然數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么這個自然數(shù)能被5整除?！咀C明】因為任何自然數(shù)可以表示為N=10A+b(其中b是個位數(shù)，A是個位以前的數(shù)字組成的數(shù))。 當b=0時，N=10A能被5整除， 當b=5時，N=10A+5能被5整除。 由此證明,一個自然數(shù)當個位數(shù)字為0或5時，能被5整除。本例就是運用完全歸納法來說明、證明問題的。 完全歸納法思考問題的原則是面面俱到，周詳縝密，這有助于發(fā)展思維的全面性，培養(yǎng)縝密思考問題的習慣和能力。 運用完全歸納法應當注意以下幾點：

⑴為使完全歸納推理的結論真實，應當注意完全歸納推理的每一個個別性前提的真實可靠。⑵完全歸納推理的前提必須是對一類對象全體所做的無遺漏的考察。⑶完全歸納推理考察的對象是有限個或有限個子類，而且用已有的手段是可以逐一進行考察的?！纠坑鴶?shù)學家格斯里于1852年提出了“四色定理”。這個定理是在地圖上要把所有的地區(qū)按照海洋和陸地上的不同國屬，用多種顏色加以區(qū)別，使相鄰的兩個地區(qū)有不同的顏色。只需四種顏色就可以滿足要求。要證明這一定理，須窮舉一切可能，這就要研究2000多個組合構形，進行200億次判斷。由于當時研究手段的限制，進行這種完全歸納式的證明是不可能的。計算機發(fā)明以后，1976年，美國數(shù)學家阿沛爾和哈肯用高速計算機運算1200個小時，終于證明了這一定理。5、在數(shù)學學習中注意培養(yǎng)歸納能力 現(xiàn)代數(shù)學教育思想對于傳統(tǒng)數(shù)學教育的一個主要的變革，在于認為“數(shù)學教學應當是數(shù)學活動的教學，即為數(shù)學知識的教學，而不僅僅是數(shù)學活動的結果”。因此，數(shù)學教學的主要任務在于指導進行數(shù)學思維，以形成和發(fā)展那些具有數(shù)學思維特點的智力活動結構，并促進數(shù)學發(fā)現(xiàn)。完成這一核心任務的一個很重要的方面就是要培養(yǎng)較強的歸納能力。 由于人的認知能力和知識基礎的限制，初學數(shù)學的許多公式、法則、定律大多從對特例的觀察、比較、分析開始，通過歸納明確其規(guī)律，得出一般的結論，并通過應用使結論得到進一步的驗證，而基本上不給予嚴格的證明。 因此，在學習中我們就要注意進行恰當?shù)膶嶒灒朴谶M行觀察、比較、分析和綜合，適時地歸納，啟發(fā)思維，達到能從個別和特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過歸納而得出一般的結論。歸納推理在數(shù)學中的廣泛應用使我們確信，長期堅持有意識地進行科學的歸納推理思維方法訓練，注重培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括能力，就能大大地增強歸納能力，提高數(shù)學思維的敏捷性和靈活性，促進數(shù)學猜想和發(fā)現(xiàn)能力的發(fā)展。第三節(jié)演繹方法1、演繹推理及其分類 演繹推理以是一個一般性判斷(或再加上一個特殊的判斷)為前提，推出一個作為結論的個別的或特殊的判斷的推理形式。【例】全稱判斷(一般的判斷)，表示物體(有)個數(shù)的數(shù)是自然數(shù)?！纠繂畏Q判斷(個別的判斷)，表示一個物體也沒有的數(shù)O，是自然數(shù)?！纠咳Q判斷(一般性判斷)，兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，則這兩個數(shù)互質(zhì)?！纠刻胤Q判斷(特殊的判斷)，2和3的最大公約數(shù)是1。【例】新的特稱判斷(新的特殊的判斷)，2和3是互質(zhì)數(shù)。 從例中不難看出，演繹推理的前提蘊涵著結論，它的前提與結論之間存在有必然性的聯(lián)系。因此，當前提為真時，它的結論必然為真。這是演繹推理的根本特點。而歸納推理的前提為真時，它的結論只能說是“似真”的，即可能為真。這是演繹推理和歸納推理的本質(zhì)區(qū)別。 演繹推理的“前提為真，結論必真”這一根本特點，決定了它是建立任何一門數(shù)學學科的主要工具。

數(shù)學科學就是一門演繹的科學，任何一門數(shù)學學科的理 論，都是由一組基本概念和關系(公理)出發(fā)，不斷形成新的概念，確立新的關 系，并通過演繹推理，按照邏輯順序，由上述基本概念、關系和公理推出新的判斷和推論，逐步建立起學科理論體系。 即使是自然科學，如天文學，從某些理論成果出發(fā)，由對天體運行軌道的計算，預見了海王星的存在，并由以后的觀測得到證實，充分說明了演繹推理也是自然科學以至一切科學研究活動的有力工具。 為了對演繹推理進行較深入的研究，我們根據(jù)演繹過程中的情況，即根據(jù)演繹的前提是簡單判斷，還是復合判斷，把它分為簡單判斷推理和復合判斷推理。

⑴簡單判斷推理又分為直接推理和間接推理，其中簡單判斷間接推理通常叫直言推理，它由三個直言判斷組成，所以又叫“直言三段論”，習慣上稱作“三段論”。三段論是演繹推理的主要形式。⑵復合判斷推理則包括聯(lián)言推理、選言推理、假言推理等。 下面我們將著重介紹之。2、三段論 三段論是以兩個直言判斷作前提而推出一個作為結論的直言判斷的推理。三段 論的三個直言判斷總共只包含有三個不同的概念作它們的主項或謂項，這三個不同的概念在三段論中分別稱作小項、大項和中項。在結論中作主項的概念叫小項，作謂項的叫大項，在結論中不出現(xiàn)卻在兩個前提中都出現(xiàn)的那個概念叫中項。包含有大項的叫大前提，包含有小項的叫小前提。我們看下面的推理?！纠颗紨?shù)能被2整除。(1) a是偶數(shù)。(2) a能被2整除。(結論) 這是一個三段論，它包含有三個概念：被2整除、a、偶數(shù)。結論中作謂項的“被2整除”是大項，作主項的“a”是小項，結論中不出現(xiàn)而在前提中出現(xiàn)兩次的“偶數(shù)”是中項。大項“被2整除”包含于前提(1)，(1)是大前提。小項“a”包含于前提(2)，(2)是小前提。 小項、大項、中項若分別用字母S、P、M表示，那么三段論的一般形式可表示為 M是P(大前提) S是M(小前提) 所以S是P(結論) 這一形式的另一種還未被區(qū)分出來的特征是中項的位置。本例中的中項是作大前提的主項和小前提的謂項。在三段論中，中項還可以有其他不同的位置。 三段論推理形式的有效性取決于它是否滿足以下五條規(guī)則：

⑴中項至少在一個前提里判定了全部外延。

⑵在前提中沒有判定全部外延的概念，在結論中也不能判定全部外延。

⑶從兩個否定前提不能得出結論。

⑷前提中有一個是否定的，其結論也是否定的。

⑸結論是否定的，其前提必須有一個是否定的。 三段論在實際應用中，人們常常把不言自明的部分略去不講。這種在表達中把 某一個眾所周知的命題略去，而僅在思維中存在著的三段論叫做省略三段論?！纠?258的各位數(shù)字之和能被3整除。所以3258能被3整除。 這是省略了大前提“各位數(shù)字之和能被3整除的數(shù)都能被3整除”的三段論?！纠恳驗閷斀窍嗟龋悦础螦=∠B。 這是省略了小前提“∠A和∠B都是對頂角”的三段論?！纠康鹊淄叩膬蓚€三角形的面積相等，而ΔABC和ΔAMN是等底同高的三角形。這是省略了結論“ΔABC和ΔAMN的面積相等”的三段論。 省略三段論不是一種特殊形式的三段論。它在思維上還是完整的三段論，只是在語言表達上把不需要重復的眾所周知的真理或普遍承認的前提略去，而達到更加簡練有力的修辭效果。3、在數(shù)學學習中培養(yǎng)演繹推理能力 演繹作為一種從一般到特殊的思維方法，它在數(shù)學教學中有著極其廣泛的應用。數(shù)學教學中陸