專題08數(shù)列中的知識(shí)交匯和創(chuàng)新型問題

1.王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款100萬(wàn)元購(gòu)買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸,

分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等

數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款（包括

本金和利息）.

（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還15000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6500元，試

計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；

（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3%,.銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月收入的一

半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）參考數(shù)據(jù)

1.003119~1.428,1.OO3180~1.433,1.003121~1.437

【答案】（1）290000元

（2）王先生該筆貸款能夠獲批

【分析】（1）由題意，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，對(duì)數(shù)列求和可得所求利息;

（2）利用等比數(shù)列求和公式，求得王先生每月還貨額，與題目所給數(shù)據(jù)比較，得結(jié)論.

【詳解】（1）由題可知，等額本金還貨方式中，每月的還貸額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛an｝,Sn表示數(shù)列｛an｝的前

71項(xiàng)和.

150006500

則的=15000,a120=6500,故S^o=+x120=1290000.

故王先生該筆貸款的總利息為：1290000-1000000=290000元.

（2）設(shè)王先生每月還貨額為工元，則有

x+x(l+0.003)1+x(l+0,003)2+…+x(l+0,003)119=1000000x(1+O.OO3)120,

即若端F=1°°°°°°X(1+°Q03)】2。

1000000X(1+0.003)12°X0.003

故第=X9928.

1.OO3120-1

因?yàn)?928<23000x|=11500,故王先生該筆貸款能夠獲批.

2.佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡(jiǎn)單的方塊體作為核心要素，與

佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨(dú)特、類似一

個(gè)個(gè)方體錯(cuò)位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個(gè)高度相同的方體組成塔基，支托上部5個(gè)方體，

交錯(cuò)疊合成一個(gè)外形時(shí)尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個(gè)方體高度均為33.6米，中間第5個(gè)方體也為33.6米高，再往

上2個(gè)方體均為24米高，最上面的兩個(gè)方體均為19.2米高.

(1)請(qǐng)根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識(shí)，寫出一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，該數(shù)列以33.6為

首項(xiàng)，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項(xiàng)；

(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前加(me/V*)項(xiàng)

的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2%、

3a2、4a3、、(m+l)am((m+l)am表示高度為的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高度)，請(qǐng)問新堆疊坊

塔的高度是否超過310米？并說明理由.

【答案】(l)an=36—2.4n(答案不唯一，符合題意即可)

(2)可以，理由見詳解

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解，并檢驗(yàn)24和19.2是否符合；

(2)根據(jù)題意求S7,并與310比較大小，分析判斷.

【詳解】(1)由題意可知:aj=33.6,注意至U33.6-24=9.6,24—19.2=4.8,

取等差數(shù)列的公差d=一2.4,則an=33.6-2.4(n-1)=36—2.4n,

令an=36-2.4n=24,解得n=5,即24為第5項(xiàng)；

令an=36-2.4n=19.2,解得n=7,即19.2為第7項(xiàng)；

故an=36—2.4n符合題意.

(2)可以，理由如下：

由(1)可知：m<7?ai=33.6,a2=31.2,ag=28.8,a4=26.4,=24,a6=21.6,a7=19.2,

設(shè)數(shù)列｛（n+DaJ的前n項(xiàng)和為S.

VS7=2al+3a2+4a3+…+8a7=856,8>310,

故新堆疊坊塔的高度可以超過310米.

3.在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，某服裝市場(chǎng)上私營(yíng)個(gè)體商店中的商品所標(biāo)價(jià)格。與其實(shí)際價(jià)值6之間存在著相

當(dāng)大的差距.對(duì)購(gòu)物的消費(fèi)者來說，這個(gè)差距越小越好，而商家則相反，于是就有消費(fèi)者與商家的“討價(jià)還價(jià)”,

常見的方法是“對(duì)半還價(jià)法”，消費(fèi)者第一次減去定價(jià)的一半，商家第「次討價(jià)加上二者差價(jià)的一半;消費(fèi)者

第二次還價(jià)再減去二者差價(jià)的一半，商家第二次討價(jià)，再加上二者差價(jià)的一半，如此下去，可得表1:

表1

次數(shù)消費(fèi)者還價(jià)商家討價(jià)

11

第一次b]=2。=bi+，（a-瓦）

然

1

第二次

b2=C1一5?一瓦）1

=萬(wàn)2十萬(wàn)（。1一力2）

門

1

第三次

匕3=-'（。2-％1

=①十萬(wàn)（。2-久）

金

1

b=cn-l-2（0-1

n1

第〃次

=bn+3（cn_i

一如—1）

-bn）

消費(fèi)者每次的還價(jià)%5￡k）組成一個(gè)數(shù)列｛6n｝.

（1）寫出此數(shù)列的前三項(xiàng)，并猜測(cè)通項(xiàng)隔的表達(dá)式并求出limb；

n-?4-oon

（2）若實(shí)際價(jià)格b與定出a的價(jià)格之比為b:a=0.618:1,利用“對(duì)半還價(jià)法”討價(jià)還價(jià)，最終商家將能有百分之

幾的利潤(rùn)？

【答案】（1）答案見解析

（2）8%

【分析】（1）根據(jù)條件即可得到數(shù)列｛、｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可直接計(jì)算lim1；

（2）根據(jù)價(jià)格比得a,b關(guān)系，代入（1）中l(wèi)im,計(jì)算即可.

【詳解】⑴b1=ia,

1ZX1,11=(T)+G)2a+(一，a+a,

ub?=Ci—(Ci-Kbi)=-ad—a—a

z12v117248

c_c-

b3=21(2b2)=(—ga)+a+...+a+a,

觀察可得,

1(-5)+(-今a+-+(-l)a+a

bn-cn-l-2(d-1-bn_i)

1

+a

limb=黯{-梟［1+弓產(chǎn)力+a}=*a+a*a.

n-*oon

(2)因?yàn)閎:a=0.618:1,所以a="一,

2b-1.08b

3x0.618

故商家將有約8%的利潤(rùn).

4.近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營(yíng)銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年初的啟動(dòng)

資金為500萬(wàn)元，由于一些知名主播加入，平臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)40%,每年年底把除運(yùn)營(yíng)成本a

萬(wàn)元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.

（1）若a=100,在第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后，直播平臺(tái)的資金有多少萬(wàn)元？

（2）每年的運(yùn)營(yíng)成本最多控制在多少萬(wàn)元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底初除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)

元？（結(jié)果精確到0.1萬(wàn)元）

【答案】（1）936萬(wàn)元

（2）3000萬(wàn)元

【分析】（1）用an表示第n年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金，然后根據(jù)己知計(jì)算ai，a2，a3可得;

（2）由已知寫出藥.2戶3,…,a6,然后由a623000求得a的范圍,

【詳解】（1）記an為第n年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金，

則a】=500x1.4-100=600,

a2600x1.4-100=740

a3=740x1.4-100=936

故第3年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后直播平臺(tái)的資金為936萬(wàn)元.

(2)a1=500x1.4—a,

2

a2=(500x1.4—a)x1.4—a=500x1.4—1.4a—a

654

a6=500x1.4-(1.4+1.4+-+l)a

由a6>3000,得aW46.8,

故運(yùn)營(yíng)成本最多控制在46.8萬(wàn)元，

才能使得直播平臺(tái)在第6年年底扣除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)元.

5.甲、乙兩人同時(shí)分別入職A,B兩家公司，兩家公司的基礎(chǔ)工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：力公司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為

3700元，以后每年月基礎(chǔ)工資比上一年月基礎(chǔ)工資增加300元；B公司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為4000元，以

后每年月基礎(chǔ)工資都是上一年的月基礎(chǔ)工資的L05倍.

⑴分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎(chǔ)工資收入總量（精確到1元）

（2）設(shè)甲、乙兩人入職第九年的月基礎(chǔ)工資分別為冊(cè)、g元，記％=冊(cè)-%，討論數(shù)列｛cj的單調(diào)性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資，并說明理由.

【答案】（1）甲的基礎(chǔ)工資收入總量606000元；乙的基礎(chǔ)工資收入總量603739元

（2）單調(diào)性見解析；從第5年到第14年甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資；理由見解析

【分析】（1）易得甲的工資滿足等差數(shù)列，乙的工資滿足等比數(shù)列，再根據(jù)等差等比數(shù)列的求和公式求解

即可

（2）根據(jù)題意可得％=3400+300n-4000X1.05n-1,再求解J+I-7>0分析｛0｝的單調(diào)性，并計(jì)算J<

。時(shí)n的取值范圍即可

【詳解】（1）甲的基礎(chǔ)工資收入總量

Si=（3700xl0+|xl0x9x300）X12=606000元

乙的基礎(chǔ)工資收入總量

4000X（^）

111

(2)an=3700+300(n-1),bn=4000x1.05-

111n

cn=3400+300n-4000x1.05-,cn+1=3400+300(n+1)-4000x1.05,

111111

設(shè)Cn+i-cn=300-200x1.05->0,BP1.05-<1.5,解得1WnW8

所以當(dāng)lWnW8時(shí)，｛.｝遞增，當(dāng)nN9時(shí)，小遞減

又當(dāng)Cn<0,即3400+300n<4000*1.05-1,解得5WnW14,所以從第5年到第14年甲的月基礎(chǔ)工

資高于乙的月基礎(chǔ)工資.

6.治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬(wàn)噸，通過擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等

一系列措施，預(yù)計(jì)從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬(wàn)噸，從第6年開始，每年

的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)n(neN*)的表達(dá)式；

(2)設(shè)乙為從今年開始〃年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為現(xiàn)有的

治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由.

200-20n,l<n<5

【答案】⑴*=[ioox(y：n2$

(2)有效，理由見詳解

【分析】(1)分別求出當(dāng)nW5時(shí)和n26時(shí)的通項(xiàng)公式，即可得到年垃圾排放量的表達(dá)式；

(2)先根據(jù)An=^,利用作差法，可證明數(shù)列｛AJ為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)

【詳解】(1)設(shè)治理n年后，S市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列｛aj.

當(dāng)nW5時(shí)，｛aj是首項(xiàng)為ai=200—20=180,公差為一20的等差數(shù)列，

所以an=a1+(n-l)d=180-20(n-1)=200-20n；

當(dāng)nN5時(shí)，數(shù)列｛aj是以as為首項(xiàng)，公比為半的等比數(shù)列，

n-5

所以an=a5q-100x(：),

所以，治理n年后，S市的年垃圾排放量的表達(dá)式為

r200—20n,1<n<5

a=</3\n-5

n"xQ),n>6

(2)設(shè)Sn為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,

則A—,

出AA_Sn+1Sn_nSn+i—(n+l)Sn

出寸An+1-An-----——

_n(Sn+Hn+1)-(n+l)Sn

n(n+1)

=nan+l-Sn

n(n+1)

_(an+i-ai)+(an+i-a2)+，??+(an+i-an)

n(n+l)

由(1)知，

lWnW5時(shí)，an=200—20n,所以｛aj為遞減數(shù)列，

n

nN6時(shí)，an-100xg)"\所以｛aj為遞減數(shù)列，

且a6<a5>

所以｛an｝為遞減數(shù)列，

于是an+i—a1<0,an+i一a2<0,...,an+1—an<0

因此An+i-An<0,

所以數(shù)列｛AQ為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的

7.為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預(yù)防.規(guī)定每人每天定時(shí)服用一次，每次服用〃？

毫克.已知人的腎臟每24小時(shí)可以從體內(nèi)濾除這種藥物的80%,設(shè)第n次服藥后(濾除之前)這種藥物在人

體內(nèi)的含量是冊(cè)毫克，(即.

(1)已知771=12,求。2、。3；

(2)該藥物在人體的含量超過25毫克會(huì)產(chǎn)生毒副作用，若人需要長(zhǎng)期服用這種藥物，求加的最大值.

【答案】(l)a2=14.4,a3=14.88；

(2)20毫克

【分析】(1)由a?=m+a】?20%,a3=m+a2,20%計(jì)算可得.

(2)由每次服藥，藥物在人體內(nèi)的含量為本次服藥量加上前次含量的20%可得遞推關(guān)系式，變形后構(gòu)造一

個(gè)等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式后，由數(shù)列不等式恒成立及數(shù)列的單調(diào)性可得.

【詳解】(1)a2=m+a1?20%=12+12x0.2=14.4,a3=m+a2-20%=12+14.4x0.2=14.88；

(2)依題思，Hn+1=m

所以an+1-9m=1(an-3m),ai-|m=-；m,

所以聞―3m｝是等比數(shù)列，公比為春

所以an_]m=_*mxG)n\an=|m—

51.,25

嚴(yán)一；^111"Q,Cm<

44x5n-1

數(shù)列｛>忌川是遞增數(shù)列，且>$<￡所以冬=2。,

44x5n-14

即mW20,

所以m的最大值是20毫克.

8.保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署.2021年7月，國(guó)務(wù)院

辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關(guān)政

策或征求意見稿.為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地區(qū)計(jì)劃2021年新建住房40萬(wàn)平方米，其中有25萬(wàn)平方米是保

障性租賃住房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%,另外，每年新建住

房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬(wàn)平方米.

(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積(以2021年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475萬(wàn)

平方米？

(2)到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

【答案】(1)2030；

(2)2026.

【分析】(1)設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列缶"，由題意可知，｛aj是等差數(shù)列，其中ai=25,d=5,結(jié)

合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解.

(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列｛，｝,由題意可知，｛，｝是等比數(shù)列，其中E=40,q=1.08,則可得｛%｝的通

項(xiàng)公式，通過求解an>0.85bn不等式，即可求解.

【詳解】(1)設(shè)保障性租賃住房面積形成數(shù)列｛aj,

由題意可知，｛a"是等差數(shù)列，其中ai=25,d=5,

則Sn=25n+X5=1(5n2+45n),

令g(5n2+45n)N475,即H+9n-190》0,而n為正整數(shù)，解得n》10,

故到2030年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積(以2021年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475萬(wàn)

平方米；

（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列｛bQ,

由題意可知，｛bn｝是等比數(shù)列，其中bl=40,q=1.08,

則bn=40X(1.08)nT,

由題意知，an>0.85bn,則25+（n—l）x5>40x（1.08）nT,滿足上式不等式的最小正整數(shù)n=6,

故到2026年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.

9.某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬(wàn)張，其中燃油型汽車牌照10萬(wàn)張，電動(dòng)型汽車2萬(wàn)張，為了節(jié)能減排

和控制總量，從2013年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5

萬(wàn)張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬(wàn)張，以后每一年發(fā)放的電動(dòng)車的牌照的數(shù)量維持在這一年的

水平不變.

（1）記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構(gòu)成數(shù)列｛an｝,每年發(fā)放電動(dòng)型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成

數(shù)列｛%｝,完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

a2=

=

二10=9.5

bi人4=

匕2=3仇=_?

=2

（2）從2013年算起，累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬(wàn)張？

【答案】（1）表格見解析,

10.5—0.5n,n<20皿.2x(|)-,n<4)n￡N.

0,n>21n€N;bn

6.75,n>5

(2)2033年

【分析】（1）由已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，數(shù)列｛、｝是等比數(shù)列通過觀察得到結(jié)果（2）利用等差、等比求

和公式，分段將兩部分分組求和后列出不等式關(guān)系求出結(jié)果

【詳解】（1）由己知，由己知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，數(shù)列｛、｝是等比數(shù)列

因此列舉前四項(xiàng)可填表如下

31a2

a3=9a4=8.5

=10=9.5

也b4=

b2=3b3=4.5.

=26.75

由題意，當(dāng)1WnW20時(shí)an=10+(n-l)x(-0.5)=10.5-0.5n當(dāng)n221時(shí)，an=0

r因au此ran=[(10.5o—,0n.>5n2,1n<20ne「N太1*：

而根據(jù)題意+b4=15.25>15

n4

因此數(shù)列｛。｝的通項(xiàng)公式為,=[2*篇)-I，^,neN*

I6.75,n>5

(2)由(1)可知記Sn為數(shù)列hn｝的前n項(xiàng)和,Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和,設(shè)累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)為Mn,則Mn=

'/141n\[2-2x(|)n-

(一產(chǎn)7+丁)+

2

Sn+‘n-"(-評(píng)+等)+16.25+6.75X(n-4),5<n<2()“視

、105+124.25+6.75x(n-20),n>21

由題意，Mn>200,因止匕，可以得到當(dāng)n=20時(shí)Mn=229.25,所以當(dāng)n220時(shí)滿足要求

即2033年累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)開始超過200萬(wàn)張

10.市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：

①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；

②等額本息：每月的還款額均相同.

銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬，則2020年8月7日首

次還款）.已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%.

（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元，最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元，試

計(jì)算該筆貸款的總利息.

（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半.已知小張

家庭平均月收入為1萬(wàn)元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）.

參考數(shù)據(jù)：1,00424°?2.61.

（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪種還款方式.

【答案】（1）289200（元）；（2）小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款能夠獲批；（3）小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式.

【分析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；

（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設(shè)小張每月還款額為x元，由等比

數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；

(3)計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息，兩個(gè)利息比較即可判斷.

【詳解】(1)由題意可知，等額本金還款方式中，

每月的還款額構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛aj,

用Sn表示數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，

則a[=4900,a24o=2510,

則S240=240(490；+2510)=889200,

故小張的該筆貸款的總利息為889200-600000=289200(元).

(2)設(shè)小張每月還款額為x元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，

則x+x(l+0.004)+x(l+0,004)2+???+x(l+0.004)239=600000X(1+O.OO4)240,

所以x(匕=600000x1,OO4240,

\1-1.004)

目24XX

即nx=6-0-0-0-00-x-l.-00加4-°-x-0-.0-0-4x-6-00-0-0-0-2-.-61--0-.0-04-x3891,

1.004240-12.61-1

因?yàn)?891<10000x1=5000,

所以小張?jiān)摴P貸款能夠獲批.

(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為

3891X240-600000=333840(元)，

因?yàn)?33840>289200,

所以從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮，小張應(yīng)選擇等額本金的還款方式.

11.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，11月1日該

市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部門采取措施，

使該種病毒的傳播得到控制，從11月1(9WkW29,keN*)日起每天的新感染者比前一天的新感染者減

少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；

(2)若到11月30日止，該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問11月幾日，該市新感染者人

數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).

【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.

【分析】(1)根據(jù)題意數(shù)列｛aJQWnW9)是等差數(shù)列，a1=20,公差為50,又a1。=410,進(jìn)而根據(jù)等差

數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即可；

(2)11月k日新感染者人數(shù)最多，則當(dāng)lWnMk時(shí)，an=50n-20,當(dāng)k+lWnW30時(shí)，an=-20n+

70k-20,進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式求和解方程即可得答案.

【詳解】解：(1)記11月n日新感染者人數(shù)為a￡lWnW30),

則數(shù)列｛ajQWnW9)是等差數(shù)列，a1=30,公差為50,

又ai()=30+50x8-20=410,

則11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)為：

(a1+3,2H---Faj+a1。=(9x30H—--X50)+4,10=2480人；

(2)記11月n日新感染者人數(shù)為aKl<n<30),

11月k日新感染者人數(shù)最多，當(dāng)iWnWk時(shí)，an=50n-20.

當(dāng)k+1WnW30時(shí)，an=(50k-20)-20(n-k)=-20n+70k-20,

因?yàn)檫@30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人,

l(30+50k-20)k,[50k-40+(70k-620)](30-k).

/RyCr以h----------1-------------------------=iiyqun,

得一35k2+2135k-9900=11940,即k2-61k+624=0

解得k=13或k=48(舍)，

此時(shí)ai3=50x13-20=630

所以11月13日新感染者人數(shù)最多為630人.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)建模能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵

在于建立等差數(shù)列模型，當(dāng)lWnWk時(shí)，an=50n—20,當(dāng)k+lWnW30時(shí)，an20n+70k-20,

進(jìn)而求和解方程.

12.某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有/,B,C,。這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅有兩個(gè)

或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.已知測(cè)試過

程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇，每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為%

并且規(guī)定若第i(i=1,2,…,n-1)題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率為/第i(i=

1,2,…,7i-1)題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為

(1)若第二題只選了一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；

(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；

⑶若第"題只選擇2、C兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)丫表示第"題得分，求證：F(y)<

18

【答案】(1)分布列見解析；y

(3)證明見解析

【分析】(1)設(shè)事件C2表示正確選項(xiàng)為2個(gè)，事件C3表示正確選項(xiàng)為3個(gè)，Pn(C2)表示第n題正確選項(xiàng)為2

個(gè)的概率，Pn(C3)表示第n題正確選項(xiàng)為3個(gè)的概率.由全概率公式可求出P2(C2),繼而P2C3)可求，再由全

概率公式計(jì)算第二題得分分布列的各種情況，并根據(jù)公式計(jì)算期望；

(2)根據(jù)(1)中由第一題到第二題正確選項(xiàng)數(shù)概率的計(jì)算理解，由全概率公式可以得出一般性的結(jié)論

Pn+l(C2)=扎仁2)+|Pn(C3)化簡(jiǎn)可得Pn+l(C2)—*Pn(C2)-3可知,⑸)-為等比數(shù)列,求通項(xiàng)

可得Pn?)；

(3)根據(jù)(2)求出的Pn(C2)可得Pn(C3)=l-Pn(C2)，在利用全概率公式即可求得Y的分布列,計(jì)算出E(Y)=

"一套則結(jié)論可證.

【詳解】(1)設(shè)事件C2表示正確選項(xiàng)為2個(gè)，事件C3表示正確選項(xiàng)為3個(gè)，

Pn(C2)表示第n題正確選項(xiàng)為2個(gè)的概率，Pn(C3)表示第n題正確選項(xiàng)為3個(gè)的概率.

設(shè)事件C表示選項(xiàng)“C”為第二題的一個(gè)正確選項(xiàng)，用隨機(jī)變量X表示第二題得分.

依題得，X可能取值為0,2.

因?yàn)镻2C2)=3P1(C2)+|P1(C3)+=\P2C3)-1-P2(C2)

所以P(x=。=P(c|C2)P2(C2)+P(C|C3)P2(C3)=|x|+|xi=|x|+lxi=^

CJ5C?4153411

X+X=X+X=

P(X=2)=P(C|C2)P2(C2)+P(C|C3)P2(C3)=^9^9294918

所以X的分布列為：

Ejn0

0E

所以E(X)=0xZ+2xU=2.

k718189

(2)依題得，Pn+1(C2)=1Pn(C2)+1Pn(C3)=1Pn(C2)+1(l-Pn(C2))=I-1Pn(C2),

所以Pn+?2)-I1(Pn(C2)-J

所以｛Pn(C2)—I是以一!為首項(xiàng)，以一(為公比的等比數(shù)列.

所以Pn?)-六(一3)x(-31=5X(-1)n-PnCC2)=1+lX(-1)n-

=-x

(3)由(2)可知,Pn(C2)=1+1x,Pn(C3)=1-Pn(C2)|1I)?

依題得，Y可能取值為0,2,5.

P(Y=°)=…)+i).x(*dx(*x(-尹H+X-丁p(Y=

n

2)=0xPn(C2)+|xPn(C3)=1xg-1x(-Q)

P(Y=5)=/Pn(C2)+0xPn(C3)=)(鴻x(一J)屋+2x(-?，

所以￡(丫)=2><(:如(一歲)+5，信+2><(一丁人工一卷4一丁〈得

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高中階段的馬爾科夫鏈類型的概率問題解決關(guān)鍵是利用全概率公式找到概率的遞推式,

然后用數(shù)列手段去處理求解.

13.甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局,

雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲

勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.

(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；

⑶若P&=0,1,…,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，則「0=0,。6=1.證明：｛Pf+i—

Pj(i=0,l,2,…,5)為等比數(shù)列.

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=3.1.

(2)0.0525

⑶證明見解析

【分析】(1)求出X的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望;

(2)根據(jù)互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式可得結(jié)果；

(3)根據(jù)全概率公式和等比數(shù)列的定義可證.

【詳解】(1)X的所有可能取值為2,3,4,

P(X=2)=O.2,P(X=3)=0.5,P(X=4)=0.3,

則X的分布列為：

X234

P0.20.50.3

E(X)=2x0.2+3x0.5+4x0,3=3.1.

(2)當(dāng)四局比賽后，比賽結(jié)束且甲勝時(shí)，第四局比賽甲勝，前三局比賽甲2勝1和，

其概率為：-0.32?0.5-0.3=0.0405.

當(dāng)四局比賽后，比賽結(jié)束且乙勝時(shí)，第四局比賽乙勝，前三局比賽乙2勝1和，

其概率為:Cl-0.22-0.5-0.2=0.012,

所以四局比賽后，比賽結(jié)束的概率為0.0405+0.012=0.0525.

(3)因?yàn)锽(i=0,1,2,3,4,5,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率"，Po=0,

在甲所得籌碼為1枚時(shí)，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為0.3P2,

在甲所得籌碼為1枚時(shí)，下局平局且最終甲獲勝的概率為0.5P1，

在甲所得籌碼為1枚時(shí)，下局乙勝且最終甲獲勝的概率為O.2Po,

根據(jù)全概率公式得Pi=0,3P2+0.5Pi+O.2Po,

所以Pi=0.3P2+0,5P1+O.2Po,變形得0.3(P2-P。=0.20一P°),因?yàn)樨?P0>0，

所以忙也=2,同理可得也以=至包=占幺=±±=3,

Pl-Po3P2-P1P3-P2P4-P3P5-P43

所以｛Pi+i—PB(i=0,1,2,…,5)為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第(3)問中，正確理解題意，利用全概率公式得到數(shù)列｛PJ中相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

14.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前71項(xiàng)和為%,%=2,對(duì)任意的正整數(shù)幾，點(diǎn)(％+i，SQ均在函數(shù)f(%)=尢圖象上.

(1)證明：數(shù)列｛Sn｝是等比數(shù)列；

⑵問｛冊(cè)｝中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)由題意，得到Sn=an+i=Sn+1-Sn，求得2=2,結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求解；

(2)由⑴得到Sn=2L求得an曾;，，假設(shè)存在2Wm<n<p使得am，a.ap成等差數(shù)列，化

簡(jiǎn)得到2n+l-m學(xué)1+2P-m,即可求解.

【詳解】（1）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,點(diǎn)（an+i，Sn）均在函數(shù)長(zhǎng)乂）=乂圖象上,

可得Sn=an+1=Sn+x—Sn,即Sn+1=2Sn，

又因?yàn)閍1=2,可得Si=ai=2,

所以數(shù)列｛SJ表示首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

（2）解：不存在.

理由：由（1）得Sn=2?=2%

當(dāng)n22時(shí)，可得an=Sn-SnT=2n-2-1=2-1,

又因?yàn)檎f=2,所以an=[2^：；2，

反證法：因?yàn)閍i=a2,且從第二項(xiàng)起數(shù)列｛aj嚴(yán)格單調(diào)遞增，

假設(shè)存在2Wm<n<p使得am，an,ap成等差數(shù)列，

可得2an=am+ap,即2n=2m-1+2PT,

兩邊同除以2mT,可得2n+l-m=1+2p-m

m

因?yàn)?n+l-m是偶數(shù)，1+2P-m是奇數(shù)，所以2n+l-m1+2P-,

所以假設(shè)不成立，即不存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列.

15.如果數(shù)列｛an｝對(duì)任意的neN*,an+2-an+1>an+1-an,則稱｛%｝為“速增數(shù)列

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；

（2）若數(shù)列｛時(shí)｝為“速增數(shù)列”,且任意項(xiàng)0n6Z,ax=1,a2=3,耿=2023,求正整數(shù)k的最大值.

【答案】（l）an=2n（答案不唯一），證明見解析；

（2）63

【分析】<1)取an=2n,驗(yàn)證an+2-an+1>an+1-an即可;

(2)當(dāng)k22時(shí)，ak=2023=(ak-a1)+(a--ak_2)+…+(a3-a2)+(a2-a。+a1(根據(jù)速增數(shù)

列的定義可得a；；—ak_i>ak_i-ak-2>'"a3—a2>a2—a]=2,從而可得(ak—ak-D+3k-i—a"?)+

…+(a3—a2)+(a2—aj+a1Nk+k—1+…+3+2+1,進(jìn)而可求解.

【詳解】(1)取an=2%

n+1n+1n+1nn

則an+2-an+1=2n+2-2=2,an+1-an=2-2=2,

因?yàn)?"+l>2",所以an+2—an+1>an+1—an，

所以數(shù)列｛2號(hào)是“遞增數(shù)列”.

(2)當(dāng)k22時(shí)，

a

k=2023=(ak-ak-i)+(ak_!-ak_2)H----1-(a3-a2)+(a2-aQ+a1；

因?yàn)閿?shù)列｛aj為“速增數(shù)列”，

所以ak—Hk-1>ak-l-ak-2>,"a3—a2>a2_al=且an6Z,

aaaaa

所以3k—ak-i)+(k-i—ak-2)+…+(3-2)+(2一i)+a1>k+k—1+---+3+2+1,

即2023之旦羅,keZ,

當(dāng)k=63時(shí)，包羅=2016,

當(dāng)k=64時(shí)，^12=2080,

故正整數(shù)k的最大值為63.

16.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為治,若;W巴±lW2(>eN*),則稱｛冊(cè)｝是“緊密數(shù)列”.

2an

(1)若斯=尤手，判斷｛冊(cè)｝是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；

4

⑵若數(shù)列5｝前幾項(xiàng)和為%=-層+3辦判斷｛an｝是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝是公比為q的等比數(shù)歹U.若數(shù)列｛冊(cè)｝與｛Sn｝都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍.

【答案】(1)%。｝不是“緊密數(shù)列”，理由見解析

(2)數(shù)列｛aj是“緊密數(shù)列”，理由見解析

*1]

【分析】(1)利用“緊密數(shù)列”的定義判斷即可；

(2)利用a1,=LJ^n=：>?求得數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，再證得JW-W2,由此證得｛aj是“緊密數(shù)列”;

(3)先根據(jù)｛aj是“緊密數(shù)列”，求得q的一個(gè)取值范圍，對(duì)于｛SJ對(duì)q分成q=l、[wq<l和l<qW2

三種情況，利用;2列不等式組，由此求得q的取值范圍.

【詳解】(1)ai=1,a2=1,a3=g,v^=g<l,所以｛aj不是“緊密數(shù)列”;

(2)數(shù)列｛aj為“緊密”數(shù)列；理由如下：

數(shù)列｛aj的前項(xiàng)和Sn=：(n2+3n)(neN*),

當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=1x(l+3)=l；

4

22

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-S-i=kn+3n)-i[(n-I)+3(n—1)]="+[,

4-4-LZ

X|+1=1=aj,即a1=1滿足an=1n+因此=|n+1(neN*),

先+3_n+2_1

所以對(duì)任意neN*,管=--i---i..------1~|-----，

—ndn+ln+1

22

所以:<"=l+」7<2,

2ann+l

因此數(shù)列｛aj為“緊密”數(shù)列；

(3)因?yàn)閿?shù)列相戶是公比為q的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為兀,

當(dāng)q=1時(shí)，有Hn=a1,Sn—na1，

所以:W%±1=1式22式2=晦=1+工工2,滿足題意；

2an2Snnn

11-1

當(dāng)qH1時(shí).an=a,q,Sn=、竄J

因?yàn)榉玻秊椤熬o密"數(shù)列，所以3W登=qW2.即gWq<1或1<qW2,

當(dāng)片q<l時(shí)，2=寸>e=1，

Sn1_l-q"+1<l-q2n_(l+qn)(l-qn)_.

+-1+qn<2?,

i7一下F<=一一K-

所以;W2<2,滿足｛SJ為“緊密”數(shù)列；

zbn1-q

當(dāng)l<qW2時(shí)，|^=F=l+q>2,不滿足｛SQ為“緊密”數(shù)列；

E1-q

綜上，實(shí)數(shù)q的取值范圍是[fl]

17.已知｛冊(cè)｝和｛%｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)列，若｛冊(cè)｝和｛%｝都是遞增數(shù)列，且｛冊(cè)｝中任意兩個(gè)不同的項(xiàng)

的和不是｛6?｝中的項(xiàng)，則稱｛an｝被｛“｝屏蔽.已知數(shù)列｛cn｝滿足工+三+…+2匚=n(neN*).

Cc

12Cn

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛d“｝為首項(xiàng)與公比均為Cl+1的等比數(shù)列，求數(shù)列｛%?%｝的前幾項(xiàng)和S”，并判斷｛Sj能否被｛cn｝屏蔽，

請(qǐng)說明理由.

【答案】(l)Cn=2n-l

n+1

(2)Sn=(2n-3)-2+6,能，理由見解析

【分析】(1)利用作差法即可求得「；

(2)利用錯(cuò)位相減法求和，再根據(jù)題干定義判斷即可.

【詳解】(1)由工+N4---卜”I=口,令n=1,可得J=1,

cic2cn

、Q1

當(dāng)>tznN2n時(shí)-4-，—1.I-3-11-.-2-n-—-1=n,—1I-.-3-1---.1--2-n—-3=n-1,

C1c2%C1c2cn—1

上述兩式作差可得d=2n-1(n>2),

因?yàn)镴=1滿足上式，可知g=2n-1(n6N*).

(2)因?yàn)镃1=L所以dn=2n,所以Cn-dn=(2n-l>2n,

12n23n+1

Sn=1x2+3x2+???+(2n-1)-2,2Sn=1x2+3x2+…+(2n-1)-2,

3nn+1

作差得，-Sn=2+2X(22+2+???+2)-(2n-1)-2

=2+2x-(2n-1)-2n+1=-6+(3-2n)-2n+1.

所以Sn=(2n—3)-2n+i+6.

顯然，｛Sn｝是遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為偶數(shù)，

而遞增數(shù)列｛cj的各項(xiàng)均為奇數(shù)，所以｛SJ中的任意兩項(xiàng)的和均不是｛7｝中的項(xiàng)，

所以｛SJ能被｛0｝屏蔽.

18.設(shè)y=f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的久1、到eR(%i彳￡2)，<山二切均成立，

則稱y=f(x)是“平緩函數(shù)”.

(1)若/1Q)=島f,/2(X)=sinx,試判斷y=/\(x)和y=%(%)是否為"平緩函數(shù)”？并說明理由；(參考公

式:x>0時(shí)，sin久<x恒成立)

(2)若函數(shù)y=f(x)是“平緩函數(shù)"，且y=/(x)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的打、冷eR,均

有LH%)—/3)lW

(3)設(shè)y=或%)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=A-或久)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列

｛久/滿足：修=0,x?=g0n-i)5=2,3,4,…)，試證明:對(duì)任意的正整數(shù)九，9(嗎)<

A—1

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)利用y=f(x)是“平緩函數(shù)”判斷可得答案；

(2)設(shè)xi、x2G[0,1],分lx-X2|wg、％—X2I>g,根據(jù)y=f(x)為R上的“平緩函數(shù)”可得答案;

(3)由丫=g(x)為R上的“平緩函數(shù)”得|g(xj-g(X2)|<(lx]一X2I，對(duì)任意的n>2,利用|g(Xn)-g(xn_t)|<

l