北師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)

《基本平面圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫(huà)法；

2.掌握?qǐng)A、扇形及多邊形的概念及相關(guān)計(jì)算；

3.初步學(xué)會(huì)應(yīng)用圖形與幾何的知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；

4.逐步掌握學(xué)過(guò)的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語(yǔ)句畫(huà)出相應(yīng)的圖形，會(huì)用語(yǔ)句描述簡(jiǎn)單

的圖形.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

線段的大小比較.

直線、射線、線段.

兩點(diǎn)確定一條直線,

兩點(diǎn)之間、線段最短.

基

本

平

面度分秒的換算

圖

形

多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、線段、射線、直線

1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系

類(lèi)別、直線射線

圖形AB'AB'AB1

①兩個(gè)大寫(xiě)字母(表①表示兩端點(diǎn)的兩

①兩個(gè)大寫(xiě)字母；

表示方法示端點(diǎn)的字母在前)；個(gè)大寫(xiě)字母;②一個(gè)

②一個(gè)小寫(xiě)字母

②一個(gè)小寫(xiě)字母小寫(xiě)字母

端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)1個(gè)2個(gè)

延伸性向兩方無(wú)限延伸向一方無(wú)限延伸不可延伸

性病兩點(diǎn)確定一條五歧兩點(diǎn)之間，段段最短

度-不可以不可以可以

作圖敘述過(guò)4、8作直線48以4為端點(diǎn)作射線48連接48

2.基本性質(zhì)

(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線.(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可

以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.

②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離.

3.畫(huà)一條線段等于已知線段

(1)度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度，再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.

(2)用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a,如下圖：

4.線段的比較與運(yùn)算

(1)線段的比較：

比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.

(2)線段的和與差：

如下圖，有AB+BC=AC,或AC=a+b；AD=AB-BDO

aAaBbC

°ADB

(3)線段的中點(diǎn)：

把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn).如下圖，有：AM=MB=-AB

2

AMB

要點(diǎn)詮釋:

①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段AB上，且有AM=」A3,則點(diǎn)M為線段

2

AB的中點(diǎn).

②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類(lèi)似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，

點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).

9????

AMNPB

AM=MN=NP=PB=-AB

4

要點(diǎn)二、角

1.角的度量

（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這

兩條射線是角的兩條邊；止匕外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

（2）角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，二是用角的頂

點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，三是用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；

②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.

（3）角度制及角度的換算

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60",以度、分、秒為單位的角的度量

制，叫做角度制.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.

②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用乘

法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度（即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化）時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.

③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一

成60.

（4）角的分類(lèi)：

NB銳角直角鈍角平角周角

范圍0<ZP<90°Ze=90°90°<Z3<180°ze=i8o°Z3=360°

(5)畫(huà)一個(gè)角等于已知角

(1)借助三角尺能畫(huà)出15°的倍數(shù)的角，在0?180°之間共能畫(huà)出11個(gè)角.

(2)借助量角器能畫(huà)出給定度數(shù)的角.

(3)用尺規(guī)作圖法.

2.角的比較與運(yùn)算

(1)角的比較方法：①度量法；②疊合法.

(2)角的平分線：

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如:

如下圖，因?yàn)?C是/A0B的平分線，所以/1=/2=工NA0B,或NAOB=2N1=2N2.

2

類(lèi)似地，還有角的三等分線等.

3.方位角

以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確

定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.

(2)北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫

做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.

(3)方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.

要點(diǎn)三、多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)

1.多邊形及正多邊形:多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平

面圖形.其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如下圖：

五邊形正六邊形

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)、n條邊，對(duì)角線的條數(shù)為迎二包.

2

(2)多邊形按邊數(shù)的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等.

2.圓及扇形：

(1)圓：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A

所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記

作“。0”，讀作“圓0”.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)簣A心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

(2)扇形：由一條弧AB和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑0A,0B所組成的圖形叫做扇形.

如下圖:

要點(diǎn)詮釋?zhuān)荷刃?AB的面積公式：=生￡=1笈；扇形(^的弧長(zhǎng)公式：/=竺四.

6,3602180

【典型例題】

類(lèi)型一、線段、射線、直線

◎1.下列判斷錯(cuò)誤的有()

①延長(zhǎng)射線0A;②直線比射線長(zhǎng)，射線比線段長(zhǎng)；③如果線段PA=PB,則點(diǎn)P是線段

AB的中點(diǎn)；④連接兩點(diǎn)間的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離.

A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】①由于射線向一方無(wú)限延伸，因此，不能延長(zhǎng)射線；②由于直線向兩方無(wú)限延伸，

射線向一方無(wú)限延伸，因此它們都是不能度量的，所以它們不存在相等或不相等的關(guān)系，而

線段是可以度量的，可以比較線段的長(zhǎng)短；③線段PA=PB,只有當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，才

是線段AB的中點(diǎn)，否則就不是；④兩點(diǎn)間的距離是表示大小的量，而線段是圖形，二者的

本質(zhì)屬性不同.

【總結(jié)升華】本題考查的是基本概念，要抓住概念間的本質(zhì)區(qū)別.

舉一反三：

【變式】平面上有五條直線，則這五條直線最多有交點(diǎn)，最少有個(gè)交點(diǎn).

【答案】10,0.

類(lèi)型二、角

▼2.(2016春?南充校級(jí)期中)如圖：若NAOB與/B0C是一對(duì)鄰補(bǔ)角，0D平分NA0B,

OE在NBOC內(nèi)部，并且NBOE=L/COE,ZDOE=72°.則NCOE的度數(shù)是.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)NEOB=x度，NE0C=2x度，把角用未知數(shù)表示出來(lái)，建立x的方程，用代數(shù)

方法解幾何問(wèn)題是一種常用的方法.

【答案】72°.

【解析】解：設(shè)NEOB=x,則NE0C=2x,

則NB0D=L(180°-3x),

2

則NBOE+NBOD=/DOE,

即x+1(180°-3x)=72°,

2

解得x=36°,

故/E0C=2x=72°.

故答案為：72°.

【總結(jié)升華】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，設(shè)未知數(shù)，把角用未知數(shù)表示出來(lái)，列方程組，

求解.角平分線的運(yùn)用，為解此題起了一個(gè)過(guò)渡的作用.

舉一反三：

【變式】(2014?陸川縣校級(jí)模擬)在同一平面內(nèi)，若/A0B=90°,ZB0C=40°,則NA0B的

平分線與NB0C的平分線的夾角等于.

【答案】25°或65°.

解：本題分兩種情況討論：

(1)當(dāng)0C在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖1,

圖1

ZA0B=90°,ZB0C=40°,0D,0E是/AOB的與NBOC的平分線，

/.ZAOD=ZDOB=1ZAOB=1X9O°=45°,ZBOE=ZEOC=lzBOC=1X400=20°,

2222

/.ZD0E=ZD0B-ZE0B=45°-20°=25°；

(2)當(dāng)OC在三角形外部時(shí)，如圖2,

c

ZA0B=90°,ZB0C=40°,OD,OE是NAOB的與NBOC的平分線，

AZAOD=ZDOB=1ZAOB=1X9O°=45°,ZB0E=ZEOC=1ZBOC=1X40°=20°,

2222

AZD0E=ZD0B+ZE0B=45°+20°=65°,

故答案為：25°或65°.

C3.（2015?深圳校級(jí)模擬）如圖，C島在A島的北偏東45。方向，C島在B島的北偏西

25°方向，則從C島看A、B兩島的視角NACB的度數(shù)是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求得NC的度數(shù)即可.

【答案】A

【解析】解：如圖，連接AB,

北

:兩正北方向平行，

ZCAB+ZCBA=180°-45°-25°=110°,

AZACB=180°-110°=70°.

【總結(jié)升華】本題考查了方向角，解決本題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì).

舉一反三：

【變式】考點(diǎn)辦公室設(shè)在校園中心。點(diǎn)，帶隊(duì)老師休息室A位于。點(diǎn)的北偏東45。，某考

室B位于0點(diǎn)南偏東60°,請(qǐng)?jiān)趫D⑴中畫(huà)出射線0A、0B,并計(jì)算NA0B的度數(shù).

北

o

西東

南

(1)

【答案】

解：如圖(2),以。為頂點(diǎn),正北方向線為始邊向東旋轉(zhuǎn)45°,得0A；以0為頂點(diǎn)，正南方

向線為始邊向東旋轉(zhuǎn)60°,得0B,則NA0B=180°-(45°+60°)=75。.

【答案與解析】

解：設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為x時(shí)，與分針第一次重合，依題意有

12x=90+x

解得工=史

11

答：時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，與分針第一次重合?

【總結(jié)升華】在相同時(shí)間里，分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是時(shí)針的12倍，此外此問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為追及

問(wèn)題來(lái)解決.

類(lèi)型三、利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算

1.方程的思想方法

3

.如圖所示，B、C是線段AD上的兩點(diǎn)，且CD=-A3,AC=35cm,BD=44cm,求

2

線段AD的長(zhǎng).

ABCD

【答案與解析】

3

解：設(shè)AB=xcm,則C￡)=—%cm

2

、3

BC=(35-x)cm或(44--x)cm

3

于是列方程，得35—x=44——%

2

解得：x=18,BPAB=？18(cm)

所以BC=35-x=35T8=17(cm)

33

CD=一九=—xl8=27(cm)

22

所以AD=AB+BC+CD=18+17+27=62(cm)

【總結(jié)升華】根據(jù)題中的線段關(guān)系，巧設(shè)未知數(shù)，列方程求解.

2.分類(lèi)的思想方法

6.同一直線上有A、B、C、D四點(diǎn)，己知AD=°DB,AC=-CB,且CD=4cm,求AB

95

的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再?gòu)膱D上直觀的看出各線段的關(guān)系及大小.

【答案與解析】

59

解：利用條件中的AD=—DB,AC=—CB,設(shè)DB=9x,CB=5y,

95

則AD=5x,AC=9y,分類(lèi)討論：

(1)當(dāng)點(diǎn)D,C均在線段AB上時(shí)，如圖所示：

-----------9y-----------?+,-5y

AB=AD+DB=14x,AB=AC+CB=14y,x=y

*.*CD=AC—AD=9y—5x=4x=4，x=l，AB=14x=14(cm).

Q

(2)當(dāng)點(diǎn)D,C均不在線段AB上時(shí)，如圖所示：方法同上，解得A5=—(cm).

7

112

(3)如圖所示,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上而點(diǎn)C不在線段AB上時(shí)，方法同上，解得AB=——(cm).

53

C

-DB5y

---------------L-------9y-----------------

(4)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上而點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，方法同上,解得AB=——(cm).

B

Q]]2

綜上可得：AB的長(zhǎng)為14cm,一cm,---cm.

753

【總結(jié)升華