專題15函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題1．（2021·河北衡水中學(xué)高三月考）已知：（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，試分析，的根的個(gè)數(shù).2．（2021·河北唐山市第十中學(xué)高三期中）若．（1）當(dāng)．時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明．3．（2021·福建寧德一中高三期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.4．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：.5．（2021·福建省福州外國語學(xué)校高三月考）已知函數(shù)，a∈R（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的方程（2）若曲線y=f(x)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（1）求與的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）請?jiān)谙铝袃蓡栔羞x擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.8．（2021·山東德州一中高三期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若的解集為，求的值.9．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.10．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若是以為周期的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)的解析式.11．（2021·湖北石首市第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)且.（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）求滿足f（x）的實(shí)數(shù)的取值范圍.12．（2021·湖北武漢二中高三期中）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).13．（2021·湖南長郡中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數(shù)）．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個(gè)極值點(diǎn)、、.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：為定值.15．（2021·廣東深圳福田中學(xué)高三月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．16．（2021·廣東肇慶一中模擬）已知函數(shù).（1）若成立，求的值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.17．（2021·江蘇海安高級中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，（1）若在處取極值，求k的值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．18．（2021·重慶八中高三月考）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.專題15函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題1．（2021·河北衡水中學(xué)高三月考）已知：（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，試分析，的根的個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）無實(shí)根【解析】（1）由于在上遞增得：在上恒成立，即在上恒成立令，，則，故在上遞減，于是，故；（2），，故在上遞增，又，，故唯一，使得在上遞減，在上遞增.故且故，令，則故在上遞減當(dāng)時(shí)，由遞減知，故，即，從而有在上恒成立.故時(shí)，無實(shí)根.2．（2021·河北唐山市第十中學(xué)高三期中）若．（1）當(dāng)．時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)根，∴，且，解得，由題意得，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴3．（2021·福建寧德一中高三期中）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）見詳解【解析】（1）由，得，，令，得，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）證明：設(shè)，，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故恒成立.要證，只需證，因?yàn)?，所以，故只需證（因時(shí)，左邊小于右邊，所以可以帶等號），即.令，則，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，故.因此當(dāng)時(shí)，.4．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（（1）由，，可得，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得.所以.由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè).設(shè)，，可得，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則，，所以當(dāng)時(shí)，，且.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即.設(shè)，，則，則，即.所以，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即綜上，.5．（2021·福建省福州外國語學(xué)校高三月考）已知函數(shù)，a∈R（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的方程（2）若曲線y=f(x)與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，∴，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的方程為.（2）由得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令得，，∴單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，若曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).6．（2021·福建三明一中高三月考）已知函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．（1）求與的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋偎?，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，，所以，②聯(lián)立①②得，解得．（2）有解，即有解，令，設(shè)，則，因?yàn)?，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）請?jiān)谙铝袃蓡栔羞x擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）選擇①時(shí)，；選擇②時(shí)，【解析】（1）定義域?yàn)?，，在處取得極值，則，所以，此時(shí)，可以看出是個(gè)增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）①選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因?yàn)楹愠闪?，所以單調(diào)遞增，所以所以，令，.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，，故1，解得：故當(dāng)時(shí)，恒成立.②選擇若僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)根，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因?yàn)楹愠闪ⅲ詥握{(diào)遞增，所以=所以只需有兩個(gè)根，令，.，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，，要想有兩個(gè)根，只需，解得：，所以的取值范圍為8．（2021·山東德州一中高三期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若的解集為，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）是奇函數(shù)，則，即，即，則，得，解得：或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無意義，不符合題意；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，符合題意；所以，若，則，即，解得：，所以時(shí)，的取值范圍為.（2）由于，解得：，所以的定義域?yàn)?，若，即，得，變形得，即，，則可得方程的兩根分別為和，由題可知的解集為，即方程的兩個(gè)根為和，所以得，，解得：，所以.9．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).（1）若在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）2，答案見解析【解析】（1）由題，因?yàn)榍芯€方程為，即切線斜率為，，∴.（2）由題在上恒成立，∴在上恒成立，∴，由得，令，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，∴時(shí)，最大值為，又時(shí)，；時(shí)，，據(jù)此作出的大致圖象，由圖知：當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)有2個(gè).10．（2021·山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若是以為周期的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以所以，可?由得.因?yàn)?，所以，解得?由可得：，所以的取值范圍為（2）當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，因此.11．（2021·湖北石首市第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)且.（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；（2）求滿足f（x）的實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)時(shí)x的取值范圍是；當(dāng)時(shí)x的取值范圍是．【解析】（1）根據(jù)題意，，則有，解可得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋钟?，則是奇函數(shù)；（2）由得①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)x的取值范圍是；當(dāng)時(shí)x的取值范圍是．12．（2021·湖北武漢二中高三期中）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見解析（2）兩個(gè)【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或，，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，或，，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2），，，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，，設(shè)，，∴在單調(diào)遞減，∴，∴在成立，∵在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，取，設(shè)，，∴，，∴，，取，設(shè)，∴，∴，∴，，∴，，∴在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).13．（2021·湖南長郡中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若，存在公切線，求的范圍（表示不大于的最大的整數(shù)）．【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，在上恒成立．即在上恒成立．令，則，所以在上單調(diào)遞增．于是，所以．（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)公切線在上的切點(diǎn)為，則切線方程為：．設(shè)公切線在上的切點(diǎn)為，則切線方程為：，，又，．令．．又在上單調(diào)遞減，而，，滿足，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．，．14．（2021·湖南永州一中高三月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有三個(gè)極值點(diǎn)、、.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：為定值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）（i）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，則函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)、、.，且.①當(dāng)時(shí)，對任意的，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，此時(shí)函數(shù)有且只要一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則.若，即當(dāng)時(shí)，對任意的，且不恒為零.此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；若，即當(dāng)時(shí)，令，可得，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為.因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，故函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（ii）由（i）可知，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，則，因?yàn)?，從而，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，故，因此，.15．（2021·廣東深圳福田中學(xué)高三月考）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由已知定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.16．（2021·廣東肇慶一中模擬）已知函數(shù).（1）若成立，求的值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由得：，即；令，則；①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，有唯一解：；綜上所述：.（2）由題意得：，則，由（1）知：，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則；則當(dāng)時(shí)，，，，不妨設(shè)，要證，只需證，即證；，，，即證；，，即證，即證，令，則，只需證，即，令，則，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即，原不等式得證.17．（2021·江蘇海安高級中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，（1）若在處取極值，求k的值；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)樵谔幦O值，可得，解得，由時(shí)，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此在處取極大值，滿足題意．（2）由題意，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，即，，所以，可得要證，即證，即證，即證，不妨設(shè)，記，則，即證，即證，令，，可得，因此在上單調(diào)遞增，所以，即結(jié)論成立．18．（2021·重慶八中高三月考）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)