8.3簡單幾何體的表面積與體積（學(xué)案）知識自測知識自測一．多面體的表面積與體積（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1.定義：2.求棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）多面體表面積：棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自底面積的和.（2）基本步驟①清楚各側(cè)面的形狀，求出每個側(cè)面的面積．②求出其底面的面積．③求和得到表面積．注意：組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理（二）棱柱、棱錐和棱臺的體積公式幾何體體積說明棱柱S為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐S為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺，S分別為棱臺的上底面面積與下底面面積，h為棱臺的高旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積名稱圖形表面積公式體積公式圓柱底面積：S底＝側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝V圓柱＝圓錐底面積：S底＝側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝V圓錐＝圓臺上底面面積：S上底＝下底面面積：S下底＝側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝V圓臺＝球S＝(R為球的半徑)V＝知識簡用知識簡用題型一多面體的表面積【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則這個棱柱的側(cè)面積是______．【例1-2】（2022春·全國·高一期末）已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【例1-3】（2022·高一課時練習(xí)）已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640題型二多面體的體積【例2-1】（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）所有棱長都為2的直三棱柱的體積為（

）A． B． C．6 D．2.（2022遼寧）已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．1 D．【例2-3】（2022春·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在正四棱臺中，，則該四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【例2-4】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為的正方體中，求三棱錐的體積．題型三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，求該圓柱的側(cè)面積表面積【例3-2】（2022·高一單元測試）已知一個圓錐的底面半徑為，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【例3-3】（2022春·陜西商洛·高一陜西省丹鳳中學(xué)?？计谀┮粋€圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是，則母線長為（

）A． B．2 C．3 D．題型四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4-1】．（2022春·重慶酉陽·高一校考階段練習(xí)）若一個圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022·高一課時練習(xí)）圓臺的上、下底面的面積分別是，，側(cè)面積是，則這個圓臺的體積是（

）A． B． C． D．【例4-3】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知球的表面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．題型五組合體的體積與表面積【例5-1】（2022春·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑米，母線長米，圓錐的高米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（

）A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米【例5-2】（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為9π，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B．16π C．18π D．8.3簡單幾何體的表面積與體積（學(xué)案）知識自測知識自測一．多面體的表面積與體積（一）棱柱、棱錐、棱臺的表面積1.定義：多面體的表面積是各個面的面積之和.2.求棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）多面體表面積：棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自底面積的和.（2）基本步驟①清楚各側(cè)面的形狀，求出每個側(cè)面的面積．②求出其底面的面積．③求和得到表面積．注意：組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理（二）棱柱、棱錐和棱臺的體積公式幾何體體積說明棱柱S為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐S為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺，S分別為棱臺的上底面面積與下底面面積，h為棱臺的高旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積名稱圖形表面積公式體積公式圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)V圓柱＝Sh＝πr2h圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)V圓臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h球S＝4πR2(R為球的半徑)V＝eq\f(4,3)πR3知識簡用知識簡用題型一多面體的表面積【例1-1】（2022·高一課時練習(xí)）底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則這個棱柱的側(cè)面積是______．【答案】8【解析】如圖所示：，，又，，解得：，所以棱柱的側(cè)面積.故答案為：8【例1-2】（2022春·全國·高一期末）已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4，四個側(cè)面是全等的正三角形，每個正三角形面積為，所以四棱錐的表面積為.故選：C【例1-3】（2022·高一課時練習(xí)）已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640【答案】B【解析】由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底分別為4和16，腰長為10的等腰梯形，∴等腰梯形的高為，∴等腰梯形的面積為，∴該棱臺的側(cè)面積為.故選：B.題型二多面體的體積【例2-1】（2022春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）所有棱長都為2的直三棱柱的體積為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【解析】由題意，直三棱柱的所有棱長都為，可得高為則底面正三角形的面積為，所以該直三棱柱的體積為.故選：B.2.（2022遼寧）已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，棱柱的底面面積為：．棱柱的體積為：．由三棱錐的體積的推導(dǎo)過程可知：三棱錐的體積為：．故選：C．【例2-3】（2022春·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在正四棱臺中，，則該四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出軸截面如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)檎睦馀_中，所以，，，即梯形為等腰梯形，所以，，所以，該四棱臺的體積為故選：B【例2-4】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為的正方體中，求三棱錐的體積．【答案】.【解析】在棱長為的正方體中，是三棱錐底面上的高，所以三棱錐的體積題型三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是圓柱的一條母線，已知，，，求該圓柱的側(cè)面積表面積【答案】側(cè)面積為，表面積為【解析】易知：，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，所以圓柱的側(cè)面積，圓柱的表面積．【例3-2】（2022·高一單元測試）已知一個圓錐的底面半徑為，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則，，即，解得，所以，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：D【例3-3】（2022春·陜西商洛·高一陜西省丹鳳中學(xué)?？计谀┮粋€圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是，則母線長為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【解析】設(shè)圓臺的母線長為，上、下底面半徑分別為，，則，因?yàn)閳A臺的側(cè)面積是，所以，解得，所以．故選：C．題型四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4-1】．（2022春·重慶酉陽·高一?？茧A段練習(xí)）若一個圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：C【例4-2】（2022·高一課時練習(xí)）圓臺的上、下底面的面積分別是，，側(cè)面積是，則這個圓臺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓臺的上、下底面的半徑分別為r，R，母線長為l，高為h.,由圓臺的上、下底面的面積分別是，，得所以，，由圓臺側(cè)面積公式可得，所以，所以，所以該圓臺的體積.故選：D.【例4-3】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知球的表面積為，則它的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球的表面積為，設(shè)球O的半徑為R，則有，解得，所以球的體積為.故選：A題型五組合體的體積與表面積【例5-1】（2022春·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑米，母線長米，圓錐的高米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（

）A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米【答案】D【解析】依題意得，圓柱的側(cè)面積，，，在中，，圓錐的側(cè)面積，該蒙古包的側(cè)面積，故選：D.【例5-2】（