小學(xué)奧數(shù)四年級第7講列舉求解

在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到這樣一些問題：收銀員要找6角錢，有幾種找法?3人見面，每人都要和其他人握一次手，一共要握幾次手？解答這類問題，我們可以運(yùn)用列舉的方法，并從中找出一些解題的規(guī)律。

有些題目，因其所求問題的答案有多種，直接列式解答比較困難，在這種情況下，我們不妨采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的要求，通過一一列舉各種情況最終達(dá)到解答整個問題的方法叫做列舉法。一、知識要點(diǎn)二、精講精練【例1】小明帶了1張10元、3張5元紙幣和8枚1元硬幣到書店買了一本16元的書如果不想被找零，那么他有幾種支付方案？【分析與解答】若不按一定的順序思考，可能會出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，因此，我們可以用列舉法，按照從大到小的順序把情況一一列舉出來。先用10元，再用5元，最后用1元。為了使結(jié)果更加清晰，我們可以利用表格進(jìn)行整理。我來解答：由表格可知，小明共有4種支付方案。小結(jié)與提示

使用列舉法之前，一定要確定好順序，做到不重復(fù)、不遺漏?！揪毩?xí)1】P49

小紅有一些郵票：1張120分，1張80分，4張40分，10張10分。周末她寄了一封信給好朋友，需要200分郵資。小紅有幾種貼郵票的方案？實(shí)踐與應(yīng)用【例2】小勇是崇川小學(xué)的一名學(xué)生。今天放學(xué)后，他要去商店幫媽媽買醬油。從學(xué)校到商店有2條路可走，從商店到家有3條路可走。小勇一共有幾種不同的走法？【分析與解答】

為了幫助理解，我們可以畫一個簡單的示意圖，并給每條路標(biāo)上序號。依據(jù)從學(xué)校到商店的路線分類：如果選用①號路線，那么到家就有①③、①④、①⑤3種走法；如果選用②號路線，那么到家就有②③、②④、②⑤3種走法。因此，一共就是6種走法，列舉如下：第一種走法：學(xué)校①

→商店③→家第二種走法：學(xué)校①→商店④→家第三種走法：學(xué)校①→商店⑤→家第四種走法：學(xué)校②→商店③→家第五種走法：學(xué)校②→商店④→家第六種走法：學(xué)校②

→商店⑤→家我來解答：一共有6種不同的走法。小結(jié)與提示

列舉時，我們可以先分類討論，列舉出每一類的全部情況，再將每種情況相加。【練習(xí)2】P50

小華和林林都是崇川小學(xué)的學(xué)生。周末，林林請小華去他家做客。從小華家去林林家一定會經(jīng)過學(xué)校，從小華家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到林林家有2條路可走。么從小華家到林林家一共有幾條路線呢？實(shí)踐與應(yīng)用【例3】有2，0，5，9四張數(shù)字卡片，從中任音排出三張組成一個三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的三位數(shù)？【分析與解答】

百位是三位數(shù)的最高位，最高位不能排0，所以百位有2，5，9三個數(shù)字可選。這里我們?nèi)耘f可以分類討論。共可以分為三類：百位上是2，百位上是5，百位上是9。百位上確定后，十位上的數(shù)字可以從剩下的三個數(shù)字中選，最后個位上有兩個數(shù)字可選。第一類，百位上是2:205209250259290295第二類，百位上是5:502509520529590592第三類，百位上是9:902905920925950952我來解答一共可以排出3×6=18個不同的三位數(shù)。小結(jié)與提示有些問題還要考慮實(shí)際情況，比如0不可以作最高位?！揪毩?xí)3】P51

有0，1，6，8四張數(shù)字卡片，現(xiàn)從中任意選出三張排成一個三位數(shù)，一共可以排成多少個不同的三位數(shù)？實(shí)踐與應(yīng)用【例4】崇川小學(xué)一年一度的羽毛球爭霸賽開始啦。3支隊(duì)最終進(jìn)入單循環(huán)賽(每兩隊(duì)之間比賽1次稱為1場)。這3支隊(duì)一共需要比賽多少場？如果是4支隊(duì),那么需要比賽多少場？【分析與解答】

假設(shè)這3支隊(duì)分別為A，B，C隊(duì)，那么根據(jù)規(guī)則，每支隊(duì)都要和其他隊(duì)比賽一場。A隊(duì)要和B隊(duì)、C隊(duì)各比一場，共2場；接著因?yàn)锽隊(duì)已經(jīng)和A隊(duì)比過了，所以B隊(duì)只要再和C隊(duì)比一場，共1場；而C隊(duì)已經(jīng)和A隊(duì)、B隊(duì)都比過了。所以需要比賽2+1=3場。4支隊(duì)可以假設(shè)為A，B，C，D隊(duì)，方法和3支隊(duì)類似。我們可以畫圖來表示。ABCD3+2+1=6(場)我來解答：3支隊(duì)需要比賽2+1=3場；4支隊(duì)需要比賽3+2+1=6場。小結(jié)與提示

這種單循環(huán)賽的題目很常見，類似的還有互相握手、打電話等，我們可以利用畫圖法列舉出各種情況?！揪毩?xí)4】P52

在一場乒乓球比賽中,有5支隊(duì)進(jìn)入了單循環(huán)賽。這5支隊(duì)一共需要比賽多少場？如果是6支隊(duì)呢?實(shí)踐與應(yīng)用【例5】若把這四個數(shù)字由小到大排成一行，在四個數(shù)字中間任意插入“+”，可以得到多少種不同的算式？(最少插入一個“+”)

【分析與解答】

我們可以按插入加號的個數(shù)，從少到多進(jìn)行分類。若插入一個“+”，則有2+467，24+67，246+7共3種情況；若插入兩個“+”，則有2+4+67，2+46+7，24+6+7共3種情況；若插入三個“+”，則有2+4+6+7共1種情況。所以一共可以得到3+3+1=7種不同的算式。我來解答：可以得到7種不同的算式。小結(jié)與提示

列舉法最關(guān)鍵的就是分類，我們要根據(jù)題意準(zhǔn)確判斷，才能快速得出結(jié)論。【練習(xí)5】P53

若把4，5，7，8，9這五個數(shù)字由小到大排成一行，在五個數(shù)字中間任意插入若干個(個數(shù)不固定)“+”，可以得到多少種不同的算式？(最少插入一個“+”)實(shí)踐與應(yīng)用課堂小結(jié)

同學(xué)們，列舉法是一種樸素又自然的解題方法，它在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解答問題的過程中起到了很大的作用。

用列舉法時需要掌握以下三點(diǎn)：1.列舉時應(yīng)注意有條理地列舉，不能雜亂無章地羅列；2.根據(jù)題意，按范圍和各種情況分類考慮，做到既不重復(fù)又不遺漏；3.排除不符合條件的情況，不斷縮小列舉的范圍。【例題1】從南通到上海有兩條路可走，從上海到南京有3條路可走。王叔叔從南通經(jīng)過上海到南京去，有幾種走法？【思路導(dǎo)航】

為了幫助理解，先畫一個線路示意圖，并用①、②、③、④、⑤表示其中的5條路。我們把王叔叔的各種走法一一列舉如下：根據(jù)以上列舉可以發(fā)現(xiàn)，從南通經(jīng)過①到上海再到南京有3種方法，從南通經(jīng)過②到上海再到南京也有3種方法，共有兩個3種方法，即3×2=6（種）。三、拔高提升【例題2】用紅、黃、藍(lán)三種信號燈組成一種信號，可以組成多少種不同的信號？【思路導(dǎo)航】要使信號不同，就要求每一種信號顏色的順序不同，我們把這些不同的信號一一列舉如下：從上面的排列中可以發(fā)現(xiàn)，紅色信號燈排在第一位置時，有兩種不同的信號，黃色信號燈排在第一位置時，也有兩種不同的信號，藍(lán)色信號燈排在第一位置時，也有兩種不同的信號。因此，共有2×3=6種不同的排法。【例題3】有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0。從中挑出兩張排成一個兩位數(shù)，一共可以排成多少個兩位數(shù)？【思路導(dǎo)航】排成時要注意“0”不能排在最高位，下面我們進(jìn)行分類考慮。（1）十位上排6，個位上有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)共有兩個：60，63；（2）十位上排3.個位上也有兩個數(shù)字可選，這樣的數(shù)也有兩個：30，60。從以上列舉容易發(fā)現(xiàn)，一共可以排成2×2=4（個）兩位數(shù)?！纠}4】從1～～8這八個數(shù)字中，每次取出兩個數(shù)字，要使它們的和大于8，有多少種取法？【思路導(dǎo)航】為了既不重復(fù)，又不遺漏地統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，應(yīng)該按一定的順序來分類列舉，可以按“幾＋8、幾＋7、幾＋5、幾＋6、幾＋5”的順序來思考。1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7個；2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5個；3＋6、4＋6、5＋6，共3個；4＋5共1個。這樣，兩個數(shù)的和大于8的算式共有7＋5＋3＋1=16（個），所以，共有16種不同的取法?！纠}5】在一次足球比賽中，4個隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，需要比賽多少場？（兩個隊(duì)之間比賽一次稱為1場）【思路導(dǎo)航】4個隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，也就