人教版八年級下數(shù)學

參考答案與試題解析

一次函數(shù)綜合試卷（一）

一.解答題（共20小題）

1.小穎和小亮上山游玩，小穎乘坐纜車，小亮步行，兩人相約在山頂?shù)睦|車終

點會合.己知小亮行走到纜車終點的路程是纜車到山頂?shù)木€路長的2倍，小穎在

小亮出發(fā)后50分才乘上纜車，纜車的平均速度為180米/分.設(shè)小亮出發(fā)x分

后行走的路程為y米.圖中的折線表示小亮在整個行走過程中y隨x的變化關(guān)系.

（1）小亮行走的總路程是3600米,他途中休息了20分.

（2）分別求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度.

（3）當小穎到達纜車終點時，小亮離纜車終點的路程是多少？

（1）小亮到達山頂用時80分鐘，中途休息了20分鐘，行程為3600米；

（2）休息前30分鐘行走1950米，休息后30分鐘行走（3600-1950）米.

（3）求小穎到達纜車終點的時間，計算小亮行走路程，求離纜車終點的路程.

【解答】解：（1）根據(jù)圖象知：小亮行走的總路程是3600米，他途中休息了20

分鐘.

故答案為3600,20；...（2分）

（2）小亮休息前的速度為：剪_=65（米/分）…（4分）

30

小亮休息后的速度為：3600-1950=55（米/分）…（6分）

80-50

3600

（3）小穎所用時間：―乙—=io（分）…（8分）

180

小亮比小穎遲到80-50-10=20（分）...（9分）

...小穎到達終點時，小亮離纜車終點的路程為：20X55=1100（米）...（10分）

【點評】此題考查一次函數(shù)及其圖象的應(yīng)用，從圖象中獲取相關(guān)信息是關(guān)鍵.此

題第3問難度較大.

2.有甲、乙兩個長方體形的蓄水池，將甲池中的水以每小時6立方米的速度注

入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度y（米）與注水時間x（小時）之間的函

數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）求注水多長時間，乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍；

（2）求注水2小時時，乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多多少.

【分析】（1）先根據(jù)待定系數(shù)法，求得甲、乙兩個蓄水池中水的深度y（米）與

注水時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水

的深度的2倍，列出關(guān)于x的方程進行求解即可；

（2）設(shè)甲蓄水池的底面積為m,乙蓄水池的底面積為n,根據(jù)甲水池3個小時

深度下降2米，而乙水池深度升高3米，分別求得m和n的值，再求得2小時

后甲蓄水池的水量和乙蓄水池的水量，最后計算乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多

的量.

【解答】解:（1）設(shè)yxkx+b,把（0,2）,（3,0）代入得

（2=b

l0=3k+b

解得k=2,b=2,

3

??y甲=_^^~x+2,

3

設(shè)yzI=mx+n,把（0,1）,（3,4）代入得

（l=n

14=3m+n

解得m=l,n=l

??y乙=x+l,

當乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍時，有

x+l=2（2+2）

3

解得x=2

7

注水旦小時，乙蓄水池的深度是甲蓄水池的水的深度的2倍；

7

（2）設(shè)甲蓄水池的底面積為m,乙蓄水池的底面積為n,

根據(jù)圖象可知，甲水池3個小時深度下降2米，而乙水池深度升高3米，

?.?甲池中的水以每小時6立方米的速度注入乙池，

，2m=3X6,3n=3X6,

m=9,n=6,

，2小時后甲蓄水池的水量=01X丫甲=9（-1X2+2）=6（立方米），

3

2小時后乙蓄水池的水量力乂丫乙=6（2+1）=18（立方米），

二注水2小時時，乙蓄水池的水比甲蓄水池的水多：18-6=12（立方米）.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

的方法，根據(jù)圖象中提供的信息，求得甲、乙蓄水池的底面積是解決問題的關(guān)鍵.

3.甲、乙兩個倉庫要向A、B兩地運送水泥，已知甲庫可調(diào)出100噸水泥，乙

庫可調(diào)出80噸水泥，A地需要70噸水泥，B地需110噸水泥，兩庫到A、B兩

地的路程和運費如下表（表中運費欄“元/噸?千米"表示每噸水泥運送1km所需人

民幣）

路程（km）運費（元/噸?千米）

甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)?/p>

A地20151212

B地2520108

（1）設(shè)甲庫運往A地水泥x噸，求總運費y（元）關(guān)于x（噸）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當甲、乙兩庫各運往A、B兩地多少噸水泥時，總運費最??？最省的總運

費是多少？

【分析】（1）由甲庫運往A地水泥x噸,根據(jù)題意首先求得甲庫運往B地水泥（100

-x）噸，乙?guī)爝\往A地水泥（70-x）噸，乙?guī)爝\往B地水泥（10+x）噸，然后

根據(jù)表格求得總運費y（元）關(guān)于x（噸）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）中的一次函數(shù)解析式的增減性，即可知當x=70時，總運費y最

省，然后代入求解即可求得最省的總運費.

【解答】解：（1）設(shè)甲庫運往A地水泥x噸，則甲庫運往B地水泥（100-X）噸,

乙?guī)爝\往A地水泥（70-x）噸，乙?guī)爝\往B地水泥[80-（70-x）]=（10+x）

噸，

根據(jù)題意得：y=12X20x+10X25（100-x）+12X15X（70-x）+8X20（10+x）

=-30x+39200（04W70）,

，總運費y（元）關(guān)于x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-30x+39200；

（2）?.?一次函數(shù)y=-30x+39200中，k=-30<0,

的值隨x的增大而減小，

...當x=70時，總運費y最省，最省的總運費為37100元.

【點評】此題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用問題.此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理

解題意，讀懂表格，求得一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解.

4.為了抓住世博會的商機，某商店決定購進甲、乙兩種玩具.其中甲種玩具是

每件5元，乙種玩具是每件10元.

（1）若該商店決定拿出1000元錢全部用來購進這兩種玩具，考慮市場需要，要

求購進甲種玩具的數(shù)量不少于乙種玩具數(shù)量的6倍，且不超過乙種玩具數(shù)量的8

倍，那么該商店有幾種不同購進方案？

（2）若銷售每件甲種玩具可獲利3元，銷售每件乙種玩具可獲利4元，在第（1）

問的各種進貨方案中，哪種進貨方案獲利最大？最大利潤為多少？

【分析】（1）設(shè)甲種玩具買x件，乙種玩具買y件，則根據(jù)題意得出方程

5x+10y=1000和不等式組6yWxW8y,把方程代入不等式組即可得出20WyW25,

求出y的值即可；

（2）設(shè)利潤為W元，得出W=3x+4y,求出W=600-2y,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得

出y取最小值時W最大，求出y=20,即可求出x和W值.

【解答】（1）解：設(shè)甲種玩具買x件，乙種玩具買y件，由題意可知：

（5x+10y=1000①

j6y<x<8y（2）

解得：20WyW25,

lx,y為整數(shù),

，y=20,21,22,23,24,25共六種方案，

V5x=1000-10y>0,

.*.0<y<100,

???上述六種方案都滿足題意，

（2）解：設(shè)利潤為W元，則

W=3x+4y,

V5x+10y=1000,

x=200-2y,

，代入上式得：W=600-2y,

；-2<0,

AW隨著y的增大而減小，

當y=20時，W最大，

即此向'x=160時，W最大,

（元），

?*.Witt=600-2X20=560

答:當購進甲種玩具160個，購進乙兩種玩具20個時獲利最大，最大利潤為560

元.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和一下函數(shù)的性質(zhì)，不等式組，二元一次方

程等知識點，主要考查學生的理解能力和計算能力，題目比較好，有一定的難度.

5.某市準備購買一種新樹苗進行綠化，甲、乙兩個育苗基地對一次性購買樹苗

不低于1000株的用戶均實行優(yōu)惠.甲乙育苗基地優(yōu)惠方式如下表

育苗基原售優(yōu)惠政策

地價

甲4元/每株樹苗按原售價的七五折出售

株

乙4元/免收所購樹苗中200株的費用，其余樹苗按原售價的九折出

株售

（1）規(guī)定只能在甲或乙中的一處購買樹苗，設(shè)一次性購買x（x>lOOO,且x為

整數(shù)）株，在甲處購買，所花的費用為yi元；在乙處購買，所花的費用為丫2元.

①分別寫出yI、丫2與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

②若一次性購買1400株，在哪出購買所花的費用較少？為什么？

（2）若在甲、乙兩處共購買2500株，并分別享受相應(yīng)的優(yōu)惠方式，則應(yīng)在甲、

乙兩處分別購買多少株，才能使所花的費用最少？并求這個最少費用.

【分析】（1）①根據(jù)題意可得出兩個關(guān)系式；

②把x=1400代入兩個函數(shù)式計算，可得出花費少的地方；

（2）可設(shè)在乙處購買a株該種樹苗，所花錢數(shù)為W元，可列出W與a的函數(shù)

關(guān)系式，再根據(jù)題意列出關(guān)于a的不等式組，求a的范圍，然后利用一次函數(shù)的

性質(zhì)進行解答.

【解答】解：（1）由題意得，

yi=0.75X4x=3x,

（）

y2=0.9X4x-200=3.6x-720；

（2）應(yīng)在甲處育苗基地購買所花的費用少.

當x=1400時,yi=3X1400=4200；

y2=3.6X1400-720=4320.

Vyi<y2>

...在甲處購買費用少；

（3）設(shè)在乙處購買a株該種樹苗，則甲處購買（2500-a）株，所花錢數(shù)為W

元，

AW=3（2500-a）+3.6a-720=0,6a+6780,

v<fl000<a<2500

,11000<2500-a<250C

1000WaW1500,且a為整數(shù)，

V0.6>0,

.'.W隨a的增大而增大，

時，

，a=1000WjH，h=7380,

/.2500-1000=1500（株）.

答：至少需要花費7380元，應(yīng)在甲處購買1500株，在乙處購買1000株.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用和不等式組的應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)

用問題中，要注意自變量的取值范圍必須使實際問題有意義.

6.為了迎接2008年北京奧運會，大渡口區(qū)某中學組織了一次大型長跑比賽.甲、

乙兩人在比賽時，路程S（米）與時間t（分鐘）的關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象解

答下列問題：

（1）這次長跑比賽的全程是一米；先到達終點的人比另一人領(lǐng)先一分鐘；

（2）乙是學校田徑隊運動員，十分注意比賽技巧，比賽過程分起跑、途中跑、

沖刺跑三階段進行，經(jīng)歷了兩次加速過程.問第4分鐘時乙還落后甲多少米？

（3）假設(shè)乙在第一次加速后，始終保持這個速度繼續(xù)前進，那么甲、乙兩人誰

先到達終點？請說明理由；

(4)事實上乙追上甲的時間是多少分鐘？

【分析】(1)根據(jù)圖象即可得出所求的值；

(2)由圖可知第四分鐘時，乙走了1300米，只要求出甲的路程即可，根據(jù)甲到

終點時的數(shù)據(jù)可得出甲的速度，有了時間4分鐘就能求出甲的路程了；

(3)由題意可知在2到4t時，乙走了(1300-600)米，因此可計算出此時的

速度，有知道了剩下的路程為(2000-1300)米，那么剩下的時間就可以求出了.然

后和甲的剩下的時間進行比較，看能否同時到達；

(4)甲追上乙時兩者的路程是相同的，沖刺時乙的路程為(2000-1300)米，

時間為(5.4-4)t,那么可求出乙沖刺的速度，然后根據(jù)(2)中求出的乙落后

的距離，那么可求出追及用的時間再加上前面走的時間就能求出乙在第幾分鐘追

上甲了.

【解答】解：(1)2000米；0.6分鐘；

(2)甲的速度為200°」00°,

63

第4分鐘時甲行了I。。。X4=1333L

33

乙落后甲13331-1300=33^(米)；

33

(3)途中跑時乙速為(1300-600)4-(4-2)=350,

剩下的路程還需時(2000-1300)+350=2分鐘，

所以乙第一次加速后，若始終保持這個速度前進，那么甲、乙將同時到達；

(4)沖刺時乙速為(2000-1300)4-(5.4-4)=500,

由(2)知此沖刺前還落后甲332米，

3

則要追上甲還需時33工+(500-1000)=0.2分鐘，

33

即第4.2分鐘時乙追上甲.

【點評】一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題常出現(xiàn)于銷售、收費、行程等實際問題當中，借

助函數(shù)圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵.注意圖中的分段函數(shù)的意義.

7.上海和南京分別庫存某種機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援給蘇州10臺和長沙

8臺、已知從上海調(diào)運一臺機器到蘇州和長沙的運費分別為400元和800元；從

南京調(diào)運一臺機器到蘇州和長沙的運費分別為300元和500元；

(1)設(shè)上海運往蘇州機器x臺，求總運費y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量x的取值范圍；

(2)求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

【分析】(1)設(shè)上海運往蘇州機器x臺，則上海運長沙(12-x)臺，南京運蘇

州(10-x)臺，南京運長沙6-(10-x)=(x-4)臺；再根據(jù)運費單價列出函

數(shù)關(guān)系式，根據(jù)每次運出臺數(shù)為非負數(shù)，列不等式組求x的范圍.

(2)因為所求一次函數(shù)解析式中，一次項系數(shù)-200V0,x越大，y越小，為使

總運費最低，x應(yīng)取最大值.

【解答】解：

(1)y=400?x+800?(12-x)+300*(10-x)+500*(x-4)

=-200x+10600,

'12-x〉0

由10-x>0,解得4WxW10,且x為整數(shù)；

.x-4>0

(2)因為y=-200x+10600中，-200<0,

所以，當x=10時，總運費最低，

此時y=-200X10+10600=8600；

即：上呼往蘇州10臺，上海運往長沙2臺，南京運往長沙6臺時，運費最低

為8600元.

【點評】本題是一次函數(shù)的應(yīng)用問題，要根據(jù)題目所設(shè)自變量及機器臺數(shù)的數(shù)量

關(guān)系，表示其它三種調(diào)出臺數(shù)，同時要注意自變量的取值范圍必須使實際問題有

意義.

8.某種植物在氣溫0C以下持續(xù)時間超過3時.即遭受霜凍災害，需采取預防

措施.下圖是氣象臺發(fā)布的該地區(qū)氣象信息，預報次日0時?4時，4時?6時

的氣溫隨時間變化情況，其中0時?4時，4時?6時的圖象分別滿足一次函數(shù)

關(guān)系請你根據(jù)圖中信息，針對這種植物判斷次日是否需要采取防霜凍措施，并說

明理由？

【分析】根據(jù)題意需判斷氣溫0℃以下持續(xù)時間是否超過3時.由圖知需求兩函

數(shù)圖象與x軸交點之間的距離再作判斷.所以先運用待定系數(shù)法求解析式，再求

函數(shù)圖象與x軸的交點坐標.

【解答】解：設(shè)0時?4時的函數(shù)表達式為y=k1x+bi(1分)

bi二3

因為點（0,3）,（4,-3）在其圖象上，所以1.（2分）

4k[+b]=-3

解得「2,則其表達式為尸得乂+3-（3分）

、二3

令y=0.得0=-1x+3，則xi=2.（4分）

設(shè)4時~6時的函數(shù)表達式為y=kzx+b2（5分）

因為點（4,-3）,（6,5）在其圖象上，所以J22.（6分）

6k2+b2=5

解得[功-4,則其表達式為y=4x-19.（1分）

舊=-19

令y=0,得乂1S.（8分）

4

乂2-*1=號-2#<3?

所以不需要采取防冰措施.（9分）

【點評】此題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意是難點.

9.如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-x+b交y軸于點A（0,4）,交x軸

于點B.

（1）求直線AB的表達式和點B的坐標；

（2）直線I垂直平分OB交AB于點D,交x軸于點E,點P是直線I上一動點，

且在點D的上方，設(shè)點P的縱坐標為n.

①用含n的代數(shù)式表示4ABP的面積；

②當SAABP=8時，求點P的坐標；

③在②的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC,求點C的坐標.

【分析】（1）把點A的坐標代入直線解析式可求得b=4,則直線的解析式為y=

-x+4,令y=0可求得x=4,故此可求得點B的坐標；

（2）①由題I垂直平分OB可知OE=BE=2,將x=2代入直線AB的解析式可求得

點D的坐標,設(shè)點P的坐標為（2,n）,然后依據(jù)SAAPB=SAAPD+SABPD可得到^APB

的面積與n的函數(shù)關(guān)系式為SAApB=2n-4；

②由SAABP=8得到關(guān)于n的方程可求得n的值，從而得到點P的坐標；

③如圖1所示，過點C作CMLI,垂足為M,再過點B作BN_LCM于點N.設(shè)點

C的坐標為（p,q）,先證明△PCMgACBN,得到CM=BN,PM=CN,然后由CM=BN,

PM=CN列出關(guān)于p、q的方程組可求得p、q的值；如圖2所示，同理可求得點

C的坐標.

【解答】解：（1）二?把A（0,4）代入y=-x+b得b=4

二直線AB的函數(shù)表達式為：y=-x+4.

令y=0得：-x+4=0,解得：x=4

二點B的坐標為（4,0）.

（2）①垂直平分OB,

，OE=BE=2.

。將x=2代入y=-x+4得:y=-2+4=2.

.?.點D的坐標為（2,2）.

?點P的坐標為（2,n）,

/.PD=n-2.

?SAAPB=SAAPD+SABPD，

，SAABP=LPD?OE+LPD?BE=L(n-2)X2+1(n-2)X2=2n-4.

2222

②SAABP=8,

/.2n-4=8?解得：n=6.

.?.點P的坐標為(2,6).

③如圖1所示：過點C作CM_U,垂足為M,再過點B作BN_LCM于點N.

圖1

設(shè)點C（p,q）.

???△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊,

；.PC=CB,NPCM+NMCB=90°.

VCM1I,BN1CM,

.,.ZPMC=ZBNC=90°,ZMPC+ZPCM=90°.

/.ZMPC=ZNCB.

在△PCM和ACBN中，

'/PMC=/BNC=90°

<ZMPC=ZNCB，

PC=BC

.,.△PCM^ACBN.

，CM=BN,PM=CN.

....p-4=6-q,解得（P=6.

q=p-2Iq=4

.?.點C的坐標為（6,4）.

如圖2所示：過點C作CM_U,垂足為M,再過點B作BN_LCM于點N.

圖2

設(shè)點C（p,q）.

???△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊,

，PC=CB,ZPCM+ZMCB=90°.

VCM±I,BN±CM,

/.ZPMC=ZBNC=90°,ZMPC+ZPCM=90°.

AZMPC=ZNCB.

在△PCM和ACBN中，

，ZPMC=ZBNC=90°

<ZMPC=ZNCB，

PC=BC

/.△PCM^ACBN.

，CM=BN,PM=CN.

*P=6-q,解得（P=O.

Iq=2-pIq=2

.?.點C的坐標為（0,2）舍去.

綜上所述點C的坐標為（6,4）.

【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)

法求一次函數(shù)的解析式、割補法求面積、三角形的面積公式，全等三角形的性質(zhì)

可判斷，由CM=BN,PM=CN歹U出關(guān)于p、q的方程組是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，一次函數(shù)尸的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,以

線段AB為直角邊在第一或限內(nèi)作RSABC,且使NABC=30。；

（1）如果點P（m,返）在第二象限內(nèi)，試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB

2

的面積，并求當4APB與^ABC面積相等時m的值；

（2）如果aQAB是等腰三角形并且點Q在坐標軸上，請求出點Q所有可能的坐

標；

（3）是否存在實數(shù)a,b使一次函數(shù)7=二/3*+/§和y=ax+b的圖象關(guān)于直線y=x

對稱？若存在，求出金的值；若不存在，請說明理由.

a+b

【分析】（1）過點P作PDJ_X軸于D,根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標,

從而求出OA、0B,利用勾股定理列式求出AB,然后求出NABO=30。，再根據(jù)S

四邊形AOPB=S林形PDOB+SZ\AOB-S/XPDO列式整理即可得解；根據(jù)SAAPB=S四邊形AOPB-SAAOP

表示出aAPB的面積，再解直角三角形求出AC,然后求出4ABC的面積，列出

方程求解即可；

（2）分①點A是頂角頂點，AB是腰時，求出0Q的長度，②點B是頂角頂點，

AB是腰時，求出0Q的長度，然后寫出點Q的坐標，③AB是底邊時，分點Q在

y軸上和點Q在x軸上兩種情況，利用等邊三角形的性質(zhì)求解；

（3）求出A、B兩點關(guān)于直線y=x的對稱點的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式求出a、b,然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.

【解答】解：（1）如圖，過點P作PD_Lx軸于D,

?.?點P（m,返）在第二象限內(nèi)，

_2

/.PD=K,0D=-m,

2__

令y=0,則-

解得x=l,_

令x=0,貝ij丫=愿，

.,.點A（1,0）,B（0,V3）,

OA=1,0B=A/5，

由勾股定理得，AB=VOA2+OB2=7I2+（V3）2=2,

Z.ZABO=30°,

S四邊形AOPB二S梯形PDOB+S^AOB-SAPDO，

=lx（2/I+J3）（-m）+±X1XV3-1X（-m）X?

22222

=-?

22_

/.四邊形AOPB的面積=-1m+返；

22

SAAPB=S四邊形AOPB-SAAOP?

=-返m+返-Lx1X返，

2222

=-返m+2ZZ,

24

,/ZABC=30°,

，AC=AB*tan30°=2X,

_33

/.SAABC=—2

X2XV3_2V3>

233

,.?△APB與△ABC面積相等，

....叵"亙逅

243

解得m=-且

6

故，當4APB與aABC面積相等時，m=-i-；

6

（2）①點A是頂角頂點，AB是腰時，AQ=AB=2,

若點Q在x正半軸，則OQ=AO+AQ=l+2=3,

若點Q在x軸負半軸，則OQ=AQ-A0=2-1=1,

若點Q在y軸負半軸，則OQ=BO=?,_

.?.點Q的坐標為（3,0）或（-1,0）或（0,-V3）,

②點B是頂角頂點，AB是腰時，BQ=AB=2,

若點Q在y軸正半軸，則OQ=BO+BQ=F+2,

若點Q在y軸負半軸，則。Q=BQ-BO=2-百，

若點Q在x軸負半軸，則。Q=AO=1,_

二點Q的坐標為（0,折2）或（0,V3-2）或（-1，0）；

③AB是底邊時，若點Q在y軸上，則OQ=OA?tan30FX?Yl,

33

若點Q在x軸上，則OQ=AO=1,

，點Q的坐標為（0,叵）或（-1,0）,

3

綜上所述，^QAB是等腰三角形時，坐標軸上點Q的坐標為（3,0）(-1,

0）或（0,-A/3）或（0，揚2）或（0,V3-2）或（0,返）；

3

（3）VA（1,0）關(guān)于y=x的對稱點為（0,1）,

B（0,愿）關(guān)于y=x的對稱點為（料，0）,

.：b=l,

［如a+b=0'

fV3

解得a二萬，

.b=l

,等''I

?ab-J

二+1

=-V3（3+V3）

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標的

求解，勾股定理，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解

析式，二次根式的化簡，難點在于（2）根據(jù)三角形的腰長的不同分情況討論,

（3）點A、B關(guān)于直線y=x的對稱點的求解.

11.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的AB邊在x軸上，AB=3,AD=2,

經(jīng)過點C的直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點E、F.

（1）求：①點D的坐標；

②經(jīng)過點D,且與直線FC平行的直線的函數(shù)表達式；

（2）直線y=x-2上是否存在點P,使得aPDC為等腰直角三角形？若存在，求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）在平面直角坐標系內(nèi)確定點M,使得以點M、D、C、E為頂點的四邊形是

平行四邊形，請直接寫出點M的坐標.

【分析】（1）①設(shè)點C的坐標為（m,2）,根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，

代入直線解析式求解即可得到m的值，再根據(jù)矩形的長求出0A,然后寫出點D

的坐標即可；

②根據(jù)互相平行的直線的解析式的k值相等設(shè)出直線解析式為y=x+b,然后把點

D的坐標代入函數(shù)解析式求解即可；

（2）根據(jù)直線解析式求出4EBC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)可得NCEB=NECB=45。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDCE=NCEB=45。，然后判斷

出aPDC只能是以P、D為直角頂點的等腰直角三角形，再分①ND=90。時，根據(jù)

點P的橫坐標與點D的橫坐標相等，利用直線解析式求解即可；②NDPC=90。時，

作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點即為點P2,求出點P的橫坐標，再代

入直線解析式計算即可得解；

（3）根據(jù)平行四邊形平行且對邊相等，分DE、CE是對角線時，點M在x軸上,

求出0M的長度，然后寫出點M的坐標，CD是對角線時，求出平行四邊形的中

心的坐標，再求出點E關(guān)于中心的對稱點，即為點M.

【解答】解：（1）①設(shè)點C的坐標為（m,2）,

?.?點C在直線y=x-2上，

2=m-2,

m=4,

即點C的坐標為（4,2）,

???四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD=3,AD=BC=2,

.?.點D的坐標為（1,2）；

②設(shè)經(jīng)過點D且與FC平行的直線函數(shù)表達式為y=x+b,

將D（1,2）代入y=x+b,得b=l,

,經(jīng)過點D且與FC平行的直線函數(shù)表達式為y=x+l；

（2）存在.

???△EBC為等腰直角三角形，

，NCEB=NECB=45",

又YDC:〃AB,

，NDCE=NCEB=45°,

...△PDC只能是以P、D為直角頂點的等腰直角三角形，

如圖，①當ND=90。時，延長DA與直線y=x-2交于點Pi，

?點D的坐標為（1,2）,

...點Pi的橫坐標為1,

把x=l代入y=x-2得，y=-1,

...點Pi（l,-1）；

②當NDPC=90。時，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點即為點P2,

所以，點P2的橫坐標為上曳旦，

22

把x=$代入y=x-2得，y=—,

22

所以，點P2（1,1）,

22

綜上所述，符合條件的點P的坐標為（1,-1）或（§,1）；

22

(3)當y=0時,x-2=0,

解得x=2,

.\OE=2,

?.?以點M、D、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

...若DE是對角線，貝UEM=CD=3,

.,.OM=EM-0E=3-2=1,

此時，點M的坐標為（-1,0）,

若CE是對角線，則EM=CD=3,

0M=OE+EM=2+3=5,

此時，點M的坐標為（5,0）,

若CD是對角線，則平行四邊形的中心坐標為（§,2）,

2

設(shè)點M的坐標為（x,y）,

則必5,%=2,

222

解得x=3,y=4,

此時，點M的坐標為（3,4）,

綜上所述，點M的坐標為（-1,0）,（5,0）（3,4）.

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，

矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵，難點在于（2）（3）分情況討論.

12.如圖，直線y=-2x+7與x軸、y軸分別相交于點C、B,與直線丫=當相交于

2

點A.

（1）求A點坐標；

（2）如果在y軸上存在一點P,使aOAP是以O(shè)A為底邊的等腰三角形，則P點

坐標是（0,—）；

_6_

（3）在直線y=-2x+7上是否存在點Q,使AOAQ的面積等于6?若存在，請求

出Q點的坐標，若不存在，請說明理由.

【分析】（1）聯(lián)立方程，解方程即可求得;

（2）設(shè)P點坐標是（0,y）,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；

（3）分兩種情況：①當Q點在線段AB上：作QD_Ly軸于點D,則QD=x,根據(jù)

SAOBQ=S,\OAB-SAOAQ列出關(guān)于x的方程解方程求得即可；②當Q點在AC的延長線

上時，作QD_Lx軸于點D,則QD=-y,根據(jù)SA℃Q=SAOAQ-SAOAC列出關(guān)于y的方

程解方程求得即可.

y=-2x+7

x=2

【解答】解：（1）解方程組：3得:

y=7xy=3

，A點坐標是（2,3）；

（2）設(shè)P點坐標是（0,y）,

?.?△。AP是以O(shè)A為底邊的等腰三角形,

AOP=PA,

A224-(3-y)

解得y=驗，

6

，P點坐標是

故答案為（0,11）；

6

（3）存在；

由直線y=-2x+7可知B（0,7）,C（工，0）,

2

SAAQC=—X—X3=21<6,SAAOB=—X7X2=7>6，

2242

，Q點有兩個位置：Q在線段AB上和AC的延長線上，設(shè)點Q的坐標是（x,y）,

當Q點在線段AB上：作QD，y軸于點D,如圖①，則QD=x,

??SAOBQ=SAOAB-SAOAQ=7-6=1,

.?.1JOB?QD=1,即LX7X=1,

22

?“?A—2—,

7

把x=2代入y=-2x+7,y=—,

77

，Q的坐標是(2,啦)，

77

當Q點在AC的延長線上時，作QDLx軸于點D,如圖②則QD=-y,

??SAOCQ=SAOAQ-SAOAC=6_4二二,

44

，1JOC?QD=W,即L義工X(-y)=W,

24224

???vy———3,

7

把y=-3代入y=-2x+7,解得x=空，

77

，Q的坐標是（型，-3）,

77

綜上所述：點Q是坐標是（2,更）或（竺，-1）.

7777

【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了交點的求法，勾股定理的應(yīng)用，三角

形面積的求法等，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵.

13.已知直線y=-&<+4與x軸和y軸分別交與B、A兩點，另一直線經(jīng)過點B

3

和點D（11,6）.

（1）求AB、BD的長度，并證明4ABD是直角三角形；

（2）在x軸上找點C,使4ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求出C點坐標；

（3）一動點P速度為1個單位/秒，沿A--B--D運動到D點停止，另有一

動點Q從D點出發(fā)，以相同的速度沿D--B--A運動到A點停止，兩點同時

出發(fā)，PQ的長度為y（單位長），運動時間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】（1）令x=0,y=0分別求解即可得到點A、B的坐標，然后利用勾股定理

列式計算即可得到AB、BD,過點D作DH_Ly軸于H,然后求出DH、AH,再利

用勾股定理列式計算求出AD,然后根據(jù)勾股定理逆定理證明即可；

（2）設(shè)OC=x,根據(jù)等腰三角形兩腰相等利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）求出點P、Q相遇時的t值，然后分點P在AB上，點P、Q都在BD上重合

前和重合后兩種情況，點Q在AB上四種情況討論求解.

【解答】解:(1)令x=0,y=4,

令y=0,則-AX+4=0,

3

解得x=3,

所以，A(0,4),B(3,0),

由勾股定理得，

AB=Ay0A2+0B2=5,

BD=V(ll-3)2+62=1°，

過點D作DH_Ly軸于H,DH=11,AH=2,

由勾股定理得，^0=^22+112=V125>

VAB2=25,BD2=100,

.*.AB2+BD2=AD2,

.?.△ABD是直角三角形；

(2)設(shè)OC長為x,由等腰三角形以及勾股定理得到X?+42=(11-x)2+62,

解得x=應(yīng)，

22

所以，C(四，0)；

22

(3)設(shè)t秒時相遇，由題意得，t+t=5+10,

解得t=7.5,

點P在AB上時，0WtW5,PB=5-t,BQ=10-t,

PQ=M2+BQ2=y(5-t)2+(IOT產(chǎn)42t2-30t+125'

所以，y=V2t2-30t+125,

點P、Q都在BD上重合前，5VtW7.5,PQ=5+10-t-t=15-2t,

重合后，7.5<t^l0,PQ=t+t-5-10=2t-15,

所以，y=2t-15,

點Q在AB上時，10<t^l5,PB=t-5,BQ=t-10,

P^PB^BQWCt-B)2+(t-10)2=V2t2-30t+125,

所以，y=V2t2-30t+125-

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標軸的交點的求解

方法，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，難點在于（3）要分情況

討論.

14.如圖①所示，直線L：y=m（x+10）與x軸負半軸、y軸正半軸分別交于A、

B兩點.

（1）當OA=OB時，試確定直線L的解析式；

（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點，作直線0Q,

過A、B兩點分別作AMLOQ于M,BNLOQ于N,若AM=8,BN=6,求MN的

長；

（3）當m取不同的值時，點B在y軸正半軸上運動，分別以O(shè)B、AB為邊，點

B為直角頂點在第一、二象限內(nèi)作等腰直角^OBF和等腰直角AABE,連EF交y

軸于P點，如圖③.

問：當點B在y軸正半軸上運動時，試猜想PB的長是否為定值？若是，請求出

其值；若不是，說明理由.

【分析】（1）令y=0可求得x=-10,從而可求得點A的坐標，令x=0得y=10m,

由OA=OB可知點B的縱坐標為10,從而可求得m的值；

（2）依據(jù)AAS證明△AM。/AONB,由全等三角形的性質(zhì)可知ON=AM,OM=BN,

最后由MN=AM+BN可求得MN的長；

（3）過點E作EG，y軸于G點，先證明^ABO絲ZSEGB,從而得到BG=10,然后

證明4BFP絲ZXGEP,從而得到BP=GP=LBG.

2

【解答】解：(1)由題意知：A(-10,0),B(0,10m)

VOA=OB,

/.10m=10,即m=l.

AL的解析式y(tǒng)=x+10.

(2)VAM±OQ,BN_LOQ

ZAMO=ZBNO=90°

，NAOM+NMAO=90。

*/ZAOM+BON=90°

/.ZMAO=ZNOB

在△AMO和△ONB中，

"ZAM0=ZBN0

-ZMA0=ZN0B?

OA=OB

.,.△AM。絲△ONB.

，ON=AM,OM=BN.

VAM=8,BN=6,

，MN=AM+BN=14.

（3）PB的長為定值.

理由：如圖所示：過點E作EG，y軸于G點.

???△AEB為等腰直角三角形，

，AB=EB,ZABO+ZEBG=90°.

VEG±BG,

/.ZGEB+ZEBG=90°.

/.ZABO=ZGEB.

在“BO和AEGB中,

'NEGB=/B0A

<NAB0=NGEB，

AB=EB

.,.△ABO^AEGB.

BG=AO=10,OB=EG

VAOBF為等腰直角三角形，

/.OB=BF

，BF=EG.

在4BFP和4GEP中，

'NEGP二NFBP

<NEPG=NFPB，

EG=BF

.,.△BFP^AGEP.

；.BP=GP」BG=5.

2

【點評】本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了一次函數(shù)

圖象上點的坐標與解析式的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的

性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

15.如圖：直線y=kx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，四:L,點C（x,y）

OA2

是直線y=kx+3上與A、B不重合的動點.

（1）求直線y=kx+3的解析式;

（2）當點C運動到什么位置時aAOC的面積是6；

（3）過點C的另一直線CD與y軸相交于D點，是否存在點C使4BCD與AAOB

全等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）令x=0求出點B的坐標，從而得到0B的長度，再求出0A的長，

然后得到點A的坐標，再代入直線解析式計算即可得解；

（2）設(shè)點C到x軸的距離為h,根據(jù)三角形的面積求出h,然后分兩種情況表示

出點C的縱坐標,再代入直線解析式計算求出橫坐標，然后寫出點C的坐標即可;

（3）利用勾股定理列式求出AB,然后分①BC和B0是對應(yīng)邊時，根據(jù)全等三角

形對應(yīng)邊相等求出BC,過點C作CELy軸于E,利用/BCE的正弦求出BE的長,

再求出點C的縱坐標，然后代入直線解析式求解得到點C的橫坐標，從而得解;

②BD和B0是對應(yīng)邊時，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BD,再求出0D,即為

點C的縱坐標，然后代入直線解析式求解得到點C的橫坐標，從而得解.

【解答】解：（1）令x=0,則y=3,

.,.點B（0,3）,OB=3,

0B_l

OA2

，OA=2OB=2X3=6,

.".點A（6,0）,

把點A代入直線y=kx+3得,6k+3=0,

解得k=--,

2

二直線解析式為y=-￡x+3

（2）設(shè)點C到x軸的距離為h,

由題意得，Lx6h=6,

2

解得h=2,

.?.點C的縱坐標為2或-2,

--^x+3=2或-AJ（+3=-2,

22

解得x=2或x=10,

二點C的坐標為（2,2）或（10,-2）；

（3）如圖

由勾股定理得，Uh2+UB'Y62+3^

①BC和BO是對應(yīng)邊時，:△BCD與aAOB全等，

:.BC=BO=3,

過點C作CE，y軸于E,則CE〃OA,

/.ZBCE=ZBAO,

BE=BC?sinZBCE=3X二浦,

3755

.?.點C的縱坐標為3-逃，

5_

代入直線y=-4+3得，-4+3=3-曳￡

225

解得x=0度，

5_

此時，點C的坐標為Ci（嶇，3-逃）；

55

②BD和B0是對應(yīng)邊時，:△BCD與^AOB全等，

ABD=BO=3,

OD=3+3=6,

.?.點C的縱坐標為6,

代入直線y=-L+3得，-4+3=6,

22

解得x=-6,

此時，點C的坐標C2（-6,6）,

③易知J關(guān)于的中心對稱點，（-自叵，豆豆）也符合要求；

BC33+

__55_

綜上所述，點C（漢&,3-造）、（-6,6）或（-兔￡,3+邊）時，ABCD

5555

與△AOB全等.

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標軸交點的求解，

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，

全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，（2）難點在于點C的縱坐標有正數(shù)和負數(shù)兩種情

況，（3）難點在于0B的對應(yīng)邊有BC和BD兩種情況.

16.如圖①，已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以O(shè)A、0C為

邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.

（1）求點A、C的坐標；

（2）將^ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D,求直線CD的

解析式（圖②）；

（3）在坐標平面內(nèi)，是否存在點P（除點B外），使得△APC與^ABC全等？若

存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

即可求得A和

C的坐標；

（2）根據(jù)題意可知4ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后

即可求出CD的解析式；

（3）將點P在不同象限進行分類，根據(jù)全等三角形的判定方法找出所有全等三

角形，找出符合題意的點P的坐標.

【解答】解：（1）A（2,0）；C（0,4）（2分）

（2）由折疊知：CD=AD.設(shè)AD=x,貝UCD=x,BD=4-x,

根據(jù)題意得：（4-x）2+2?=x2解得：x上

2

此時，AD=2D（2,y）（2分）

設(shè)直線CD為y=kx+4,把D（2,代入得Nk+4（1分）

解得：k=上

4

二直線CD解析式為廣［^+4（1分）

（3）①當點P與點。重合時，△APC^^CBA,此時P（0,0）

②當點P在第一象限時，如圖，

SAAPC^ACBA得NACP=NCAB,

則點P在直線CD上.過P作PCUAD于點Q,

在RtAADP中，

AD/，PD=BD=4——?AP=BC=2

222

由ADXPQ=DPXAP得：|-pQ-3

.6

..PQ而

,,xp=2+:=1?，把■代入y=-^x+4得y=-1-

「55545

此時p增,1）

55

（也可通過Rt^APQ勾股定理求AQ長得到點P的縱坐標）

③當點P在第二象限時，如圖

同理可求得：CQ普

5

.?迎襲一

55

止匕時p（4,警）

55

綜合得，滿足條件的點P有三個，

分別為：P1（0,0）；PP（-1-,青）?

（寫對第一個（2分），二個（3分），3個且不多寫（4分），寫對4個且多寫得

（3分）.）

【點評】本題主要考查對于一次函數(shù)圖象的應(yīng)用以及等腰三角形和全等三角形的

判定的掌握.

17.如圖①，以四邊形AOCD的頂點0為原點建立直角坐標系，點A、C、D的

坐標分別為(0，2)、(2,0)、(2,2),點P(m,0)是x軸上一動點，m是大

于0的常數(shù)，以AP為一邊作正方形APQR(QR落在第一象限)，連接CQ.

(1)請判斷四邊形AOCD的形狀，