數(shù)學（理科）學校_____________班級_______________姓名______________考號___________本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）若復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則等于（A）0（B）1（C）-1（D）0或1（2）給出下列三個命題：①，；②，使得成立；③對于集合，若，則且.其中真命題的個數(shù)是（A）0（B）1（C）2（D）3（3）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（A）（B）（C）（D）（4）極坐標方程（）表示的圖形是（A）兩條直線（B）兩條射線（C）圓（D）一條直線和一條射線（5）已知正項數(shù)列中，，，，則等于（A）16（B）8（C）（D）4（6）已知雙曲線，過其右焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線交于兩點，為坐標原點.若，則雙曲線的離心率為（A）（B）（C）（D）（7）△外接圓的半徑為，圓心為，且，，則等于（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)是（A）4（B）3（C）2（D）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）（10）某地為了調(diào)查職業(yè)滿意度，決定用分層抽樣的方法從公務(wù)員、教師、自由職業(yè)者三個群體的相關(guān)人員中，抽取若干人組成調(diào)查小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表，則調(diào)查小組的總?cè)藬?shù)為；若從調(diào)查小組中的公務(wù)員和教師中隨機選人撰寫調(diào)查報告，則其中恰好有人來自公務(wù)員的概率為．相關(guān)人員數(shù)抽取人數(shù)公務(wù)員32教師48自由職業(yè)者644（11）在△中，若，則．（12）如圖，是半徑為的圓的直徑，點在的延長線上，是圓的切線，點在直徑上的射影是的中點，則=；．（13）已知點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點到直線距離的最大值為____________．（14）對任意，函數(shù)滿足，設(shè)，數(shù)列的前15項的和為，則．三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題共13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的值域．（16）（本小題共14分）如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點，四邊形是邊長為的正方形．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．（17）（本小題共13分）甲，乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．(18)（本小題共13分）已知函數(shù)()．（Ⅰ）若，求證：在上是增函數(shù)；（Ⅱ）求在[1，e]上的最小值．（19）（本小題共13分）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離比點到軸的距離大，設(shè)動點的軌跡為曲線，直線交曲線于兩點，是線段的中點，過點作軸的垂線交曲線于點．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：曲線在點處的切線與平行；（Ⅲ）若曲線上存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的取值范圍．（20）（本小題共14分）在單調(diào)遞增數(shù)列中，，不等式對任意都成立.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）判斷數(shù)列能否為等比數(shù)列？說明理由；（Ⅲ）設(shè)，，求證：對任意的，.北京市東城區(qū)2010-2011學年第二學期高三綜合練習（二）高三數(shù)學（理科）參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）D（7）C（8）A二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）（14）注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因為，且，所以，．因為．所以．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以，．因為，所以，當時，取最大值；當時，取最小值．所以函數(shù)的值域為．……13分（16）（共14分）（Ⅰ）證明：連結(jié)，與交于點，連結(jié)．因為，分別為和的中點，所以∥．又平面，平面，所以∥平面．……4分（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因為，為中點，所以．又，所以平面．又平面，所以．因為四邊形為正方形，，分別為，的中點，所以△≌△，．所以．所以．又，所以平面．……9分（Ⅲ）解：如圖，以的中點為原點，建立空間直角坐標系．則．由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個法向量．設(shè)為平面的一個法向量，，．由可得令，則．所以．從而．因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．……14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，故，解得或．又，所以．…6分（Ⅱ）依題意知的所有可能取值為2，4，6．，，，所以隨機變量的分布列為：所以的數(shù)學期望．………………13分（18）（共13分）（Ⅰ）證明：當時，，當時，，所以在上是增函數(shù)．………………5分（Ⅱ）解：，當，．若，則當時，，所以在上是增函數(shù)，又，故函數(shù)在上的最小值為．若，則當時，，所以在上是減函數(shù)，又，所以在上的最小值為．若，則當時，，此時是減函數(shù)；當時，，此時是增函數(shù)．又，所以在上的最小值為．綜上可知，當時，在上的最小值為1；當時，在上的最小值為；當時，在上的最小值為．………………13分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知，動點到定點的距離與動點到直線的距離相等．由拋物線定義可知，動點的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線．所以曲線的方程為．………………3分（Ⅱ）證明：設(shè)，．由得．所以，．設(shè)，則．因為軸，所以點的橫坐標為．由，可得所以當時，．所以曲線在點處的切線斜率為，與直線平行．………………8分（Ⅲ）解：由已知，．設(shè)直線的垂線為：．代入，可得（*）若存在兩點關(guān)于直線對稱，則，又在上，所以，．由方程（*）有兩個不等實根所以，即所以，解得或．………………13分（20）（共14分）（Ⅰ）解：因為是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，.令，，，所以.………………4分（Ⅱ）證明：數(shù)列不能為等比數(shù)列.用反證法證明：假設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，.因為單調(diào)遞增，所以.因為，都成立.所以，①因為，所以，使得當時，.