專題05基本不等式（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合2022年新Ⅰ卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形2022年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)2021年新Ⅰ卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)2020年新Ⅰ卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何2020年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”2.能正確處理常數(shù)“1”求最值3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。知識講解基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達為：（積定和最小）應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號基本不等式的推論2當(dāng)且僅當(dāng)時取等號其他結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y為正實數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．注意2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤．注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．考點一、直接用基本不等式求最值1．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，則的最小值為___________.2．（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的最小值為______.1．（2023·山西大同·大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為_____________.考點二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值1．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）若，，，則的最小值為______．1．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是___________.2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）設(shè)且，則的最小值為_________．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎?，則的最小值為______．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考一模）若，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C．1 D．考點三、變形為分式的“分母”形式求最值1．2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．121．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．2．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）已知，若的最小值大于7，寫出滿足條件的一個a的值：__________．3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．94．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.考點四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A．1 B． C．2 D．1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最小值為___________.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為非零實數(shù)，，均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．考點五、條件等式變形求最值1.（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．2．（2020年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．3．（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，若，則的最小值為_____________.2．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．2．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤?，則的最小值是___________.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．考點六、構(gòu)造法或換元法求最值1．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，，，則的最小值為（

）A． B．2 C．6 D．2．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的小值為______．1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．2．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最大值為____________．考點七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．1．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．2．（多選）（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．考點八、基本不等式的實際應(yīng)用問題1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┘?、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．2．（多選）（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）設(shè)a，b為兩個正數(shù)，定義a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D．H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點九、基本不等式多選題綜合1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)均為正數(shù)，且，則（

）A． B．當(dāng)時，可能成立C． D．3．（2023·江蘇·二模）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．363．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·吉林四平·四平市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題5．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)校考三模）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）,則下列命題中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題8．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為______．9．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b為兩個正實數(shù)，且，則的最大值為__________．10．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┮阎秦?fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________.【能力提升】1．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．92．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．二、多選題3．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)校考三模）若，且，則（

）A． B．C． D．5．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4三、填空題6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.7．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，則的最小值為______.8．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若，則的值可以是__________．9．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，，則的最小值為________．10．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為___________.【真題感知】1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．62．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空題3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．4．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．三、解答題6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．專題05基本不等式（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新Ⅰ卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合2022年新Ⅰ卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形2022年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)2021年新Ⅰ卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)2020年新Ⅰ卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何2020年新Ⅱ卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”2.能正確處理常數(shù)“1”求最值3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。知識講解基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達為：（積定和最?。?yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號基本不等式的推論2當(dāng)且僅當(dāng)時取等號其他結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y為正實數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．注意2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤．注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．考點一、直接用基本不等式求最值1．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，則的最小值為___________.【答案】【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為：.2．（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）的最小值為______.【答案】9【分析】利用基本不等式解出最小值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為9.故答案為：91．（2023·山西大同·大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)將分離出來，基本不等式求最值即可求解.【詳解】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為_____________.【答案】/【分析】利用重要不等式，轉(zhuǎn)化為不等式，求的最大值.【詳解】因為，所以，即，當(dāng)時，等號成立，所以的最大值是.故答案為：考點二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值1．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為正數(shù)滿足，所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，當(dāng)時，取得的最小值為.故選：A.2．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）若，，，則的最小值為______．【答案】8【分析】由已知條件變形，然后利用基本不等式求解.【詳解】若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為8.故答案為：8.1．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是___________.【答案】4【分析】把化為，再利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式即可得到答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號，故的最小值是4，故答案為：.2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）設(shè)且，則的最小值為_________．【答案】【分析】由已知條件可知，且，再展開，并利用基本不等式求其最小值.【詳解】因為，所以，，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取得最小值．故答案為：.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知，且，則的最小值為______．【答案】2【分析】根據(jù)基本不等式湊項法和“1”的巧用即可求得最值.【詳解】因為，所以，又，所以則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？家荒＃┤?，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C．1 D．【答案】C【分析】由基本不等式得，進而結(jié)合已知條件得的最小值為.【詳解】解：因為，所以，因為所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即的最小值為.故選：C考點三、變形為分式的“分母”形式求最值1．2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】運用基本不等式的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選：B2．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以的最小值為.故選：D1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預(yù)測）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．【答案】/【分析】將化為，和相乘，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】因為都是正數(shù)，且，則,則,當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即，時取等號，故答案為：2．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）已知，若的最小值大于7，寫出滿足條件的一個a的值：__________．【答案】4（答案不唯一，只要即可）.【分析】根據(jù)基本不等式求出的最小值，得到不等式，得到，寫出一個符合要求的a的值即可.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，由，得．故答案為：4（答案不唯一，只要即可）.3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)“乘1法”，運用基本不等式即可求解.【詳解】依題意，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故選：C.4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.【答案】/0.5【分析】運用基本式中的“1”的活用，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.故答案為：.考點四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】兩次應(yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號成立的條件列方程求解即可.【詳解】因為實數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；所以當(dāng)且時，取得最小值4，此時解得，故選：D.1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最小值為___________.【答案】8【分析】，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：82．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為非零實數(shù)，，均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因為為非零實數(shù)，，，均為正實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，則的最大值為．故選：B．考點五、條件等式變形求最值（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．2．（2020年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).3．（2023·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，，若，則的最小值為_____________.【答案】4【分析】因為，，將化為，利用基本不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式解決.【詳解】因為，，且，所以，即，化簡得，，解得：或，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，所以的最小值為4.故答案為：42．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進行求解即可.【詳解】，因為a，b，c均為正數(shù)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選：C1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先利用條件得到，再利用均值不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又a，b，c均為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，故選：A.2．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤簦瑒t的最小值是___________.【答案】2【分析】根據(jù)，結(jié)合已知解不等式即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值是2.故答案為：2.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式進行化簡求解即可.【詳解】因為a，b，c均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號同時成立.故答案為：.考點六、構(gòu)造法或換元法求最值1．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，，，則的最小值為（

）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】基本不等式乘1法，構(gòu)造法解決即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，（應(yīng)用基本不等式時注意等號成立的條件）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，故最小值為，故選：D2．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y滿足，則的小值為______．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立，則的小值為.故答案為：9.1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為______．【答案】【分析】分析可得原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】∵，則，原題意等價于對任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，∴，解得．故正實數(shù)的取值集合為.故答案為：．2．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再利用均值不等式即可求解.【詳解】由，得，令，則在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為是正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則的最大值為____________．【答案】/【分析】由，再利用基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，取等號，所以的最大值為.故答案為：.考點七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式的性質(zhì)判斷A、B，根據(jù)基本不等式可判斷C、D.【詳解】因為且，所以或，對A：若，則，若，則，A錯誤；對B：∵，，∴，B錯誤；對C：由或，知且，∴，C正確；對D：當(dāng)時，有，從而當(dāng)，則且，∴，D錯誤.故選：C2．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.1．（多選）（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用作差法與基本不等式，分別判斷各不等式.【詳解】A選項：由選項可知與同號，當(dāng)且時，由基本不等式可知恒成立，當(dāng)且時，，時，該不等式不成立，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)時，，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時，原不等式恒成立，故B選項正確；C選項：當(dāng)時，，即，恒成立，當(dāng)時，，即，，故C選項錯誤；D選項：由重要不等式可知，，恒成立，故D選項正確；故選：BD.2．（多選）（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】作差法比較A、B、D的大小，利用基本不等式判斷C即可.【詳解】，則，A對；，而，所以，即，B錯；且，僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，而，故，C對；，而，所以，即，D對.故選：ACD考點八、基本不等式的實際應(yīng)用問題1．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┘住⒁覂擅緳C的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算【答案】A【分析】根據(jù)題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據(jù)不等式即可求解.【詳解】設(shè)兩次的單價分別是元/升，甲加兩次油的平均單價為，單位：元/升，乙每次加油升，加兩次油的平均單價為，單位：元/升，因為，，，所以，即，即甲的平均單價低，甲更合算.故選：A1．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C2．（多選）（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）設(shè)a，b為兩個正數(shù)，定義a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為．上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D．H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p為有理數(shù)．下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個選項.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，當(dāng)時，由C可知，，故D不正確.故選：AB考點九、基本不等式多選題綜合1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A將兩邊平方即可；對于B舉反例即可；對于C作差通分即可；對于D用基本不等式即可.【詳解】由可知，所以A項正確；當(dāng)時，不成立，B項錯誤；由0得，所以，所以，C項正確；1)，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時取得等號，D項正確．故選：ACD．1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故C正確；對于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到等號，故D錯誤．故選：ABC.2．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)均為正數(shù)，且，則（

）A． B．當(dāng)時，可能成立C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式相關(guān)公式逐項分析即可求解.【詳解】對于A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，所以，所以A選項正確；對于B：若，則，因為為正數(shù)，所以，所以B選項錯誤；對于C：由，且為正數(shù)，得，則，即，所以C選項正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以D選項正確．故選：ACD.3．（2023·江蘇·二模）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A利用基本不等式可判斷；對于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于C可用特殊值法判斷；對于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】，，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故A正確；，，且，，故B正確；則，故D正確；取，則，故C錯誤.故選：ABD．【基礎(chǔ)過關(guān)】1．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，把方程化為，根據(jù)方程有解，利用，求得，進而求得的最大值.【詳解】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.2．（2023·海南海口·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．36【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可；【詳解】解：因為，所以．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以，的最小值為27．故選：C3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因為，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的最小值為.故選：D4．（2023·吉林四平·四平市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；當(dāng)時可得必要性不成立，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本不等式可得，即，可得，所以充分性不成立；若，可令滿足，此時；即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D二、多選題5．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┤?，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；對于C，利用，求出，結(jié)合的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以A正確；對于B，，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以B錯誤；對于C，，，所以，則，并且時等號成立.，所以C正確；對于D，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以D正確.故選：ACD.6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】作差法比較A、B、D的大小，利用基本不等式判斷C即可.【詳解】，則，A對；，而，所以，即，B錯；且，僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，故，C對；，而，所以，即，D對.故選：ACD7．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）,則下列命題中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、C、D的正誤，利用基本不等式判斷B的正誤.【詳解】對于A：若，則無意義，故A錯誤；對于B：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C：由于不確定的符號，故無法判斷，例如，則，故C錯誤；對于D：若，則，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題8．（2023·吉林延邊·統(tǒng)考二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為______．【答案】/0.75【分析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合基本不等式中“1”的用法計算即可求解.【詳解】由，，得，由，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立.故當(dāng)，時取得最小值16.故答案為：.9．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知a，b為兩個正實數(shù)，且，則的最大值為__________．【答案】【分析】對平方后，由基本不等式求解.【詳解】因為a，b為兩個正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最大值為.故答案為：10．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】4【分析】根據(jù)題意，再構(gòu)造等式利用基本不等式求解即可.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故答案為：4【能力提升】1．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】化簡已知式可得，因為，由基本不等式求解即可.【詳解】，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等.故選：C.2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先利用條件得到，再利用均值不等式即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又a，b，c均為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即，故選：A.二、多選題3．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判斷A，C選項,特殊值法判斷B，D選項錯誤.【詳解】因為，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ蔄正確，當(dāng),,則,故B錯誤；因為，所以，故C正確;當(dāng)時,則，故D錯誤；故選：AC.4．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┤?，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式判斷A、B、D，消元、結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】因為，且，對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，故B正確；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)、時取等號，故C不正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ABD5．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故錯誤；因為，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；由得，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；令，則，所以的最小值不是4，D錯誤.故選：BC.三、填空題6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】18【分析】對等式進行變形，再根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，則，又，是正數(shù)，所以，當(dāng)取得等號，即且時取等號，所以的最小值為，故答案為：.7．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，則的最小值為______.【答案】6【分析】對式子進行變形，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即取等號，所以的最小值為6.故答案為：68．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若，則的值可以是__________．【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因為，所以．因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則.故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）9．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，，則的最小值為________．【答案】【分析】由已知可得，結(jié)合基本不等式求的最小值，再求的最小值.【詳解】因為，，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以的最小值為.故答案為：.10．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為___________.【答案】/【分析】由基本不等式求解即可.【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.【真題感知】1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．【點睛】2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.二、填空題3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.4．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知，則的最小值是_______．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．