第06講函數(shù)的零點(diǎn)精講一、知識(shí)梳理1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于一般函數(shù)，我們把使得成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．提醒：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，類(lèi)似于函數(shù)極值點(diǎn)也不是點(diǎn)一樣，是一個(gè)實(shí)數(shù)。2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方程的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，三者互相可以轉(zhuǎn)化。即方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根.注：①上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).②若函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，且在上存在零點(diǎn)，且單調(diào)，則。4、二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：①確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證．②求區(qū)間的中點(diǎn)c．③計(jì)算，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：a．若（此時(shí)），則c就是函數(shù)的零點(diǎn)．b．若（此時(shí)），則令b．c．若（此時(shí)，則令a．④判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)近似值a（或b）；否則重復(fù)步驟②～④．5、常用結(jié)論①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；③函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；④函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).⑤若周期函數(shù)存在零點(diǎn)，則在定義域上零點(diǎn)不唯一。二、題型精講題型一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1．（2023春·浙江衢州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程的解在內(nèi)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式1】．（2023秋·天津河西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【變式2】（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【變式3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式5】（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型三：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例3（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)1：分段含參討論型【變式1】（湘豫名校聯(lián)考20222023學(xué)年高三上學(xué)期10月一輪復(fù)習(xí)診斷考試（一）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【變式2】已知函數(shù)，若函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)2：參數(shù)分界型討論【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.考點(diǎn)3：分離參數(shù)型水平線法求零點(diǎn)【變式4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在，使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且兩根之和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式5】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為（

）A． B．8 C．或8 D．4【變式6】（2324高一下·廣東東莞·期中）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型四：求零點(diǎn)和例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．【變式1】．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，（），則函數(shù)所有零點(diǎn)的和為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_____.【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和等于.【變式4】（2020·廣東中山·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，則（

）A．1 B．2 C． D．三、真題訓(xùn)練1．（2024·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．82．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．4．（2015·湖南·高考真題）已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．5.（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．7．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.8．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．