第一章數(shù)列1.2數(shù)列的函數(shù)特性北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.能從函數(shù)的單調(diào)性方面研究數(shù)列的特性,并能畫出有規(guī)律的簡單數(shù)列的圖象.2.了解數(shù)列的函數(shù)特性.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

數(shù)列的增減性一般地,一個(gè)數(shù)列{an},如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng),即an+1>an,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列.

如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng),即an+1<an,那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列.注意n∈N+如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)都相等,那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列.注意n∈N+名師點(diǎn)睛1.數(shù)列的增減性可以借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的圖象直觀理解,數(shù)列是一種特殊的函數(shù),可以把數(shù)列視作定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù).2.數(shù)列的圖象是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點(diǎn).思考辨析1.數(shù)列0,1,0,1,…是常數(shù)列嗎?提示

根據(jù)常數(shù)列的定義知,常數(shù)列的各項(xiàng)均相等,故此數(shù)列不是常數(shù)列.2.已知函數(shù)f(x)=x2-1,當(dāng)x=1,2,3時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么?這三個(gè)函數(shù)值按由小到大排列成一個(gè)數(shù)列,請(qǐng)作出該數(shù)列的圖象.提示

該數(shù)列為0,3,8,其圖象如圖所示.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(

)(2)無窮數(shù)列不可能是常數(shù)列.(

)(3)常數(shù)列就是每一項(xiàng)都是常數(shù)的數(shù)列.(

)(4)數(shù)列可以看作一個(gè)函數(shù),其項(xiàng)就是項(xiàng)數(shù)的函數(shù).(

)×××√2.在數(shù)列{an}中,,則{an}(

)A.是常數(shù)列B.無法判斷數(shù)列{an}的增減性C.是遞增數(shù)列D.是遞減數(shù)列D重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系【例1】

根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式,寫出數(shù)列的前5項(xiàng),并用圖象表示出來.(1)an=(-1)n+2;解

(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.圖象如圖所示.規(guī)律方法

數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù),因此也可以用圖象來表示,以位置序號(hào)n為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo),即坐標(biāo)為(n,an),描點(diǎn)畫圖,就可以得到數(shù)列的圖象.因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其圖象是一群孤立的點(diǎn),這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以是有限的,也可以是無限的.探究點(diǎn)二數(shù)列的增減性角度1.數(shù)列增減性的判斷【例2】

(1)作出下列數(shù)列的圖象,并根據(jù)圖象判斷數(shù)列的增減性.①數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n+3;②數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=.解

①作圖如下:由圖知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.②作圖如下:由圖知數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列.(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

(n∈N+),試判斷該數(shù)列的增減性.規(guī)律方法

數(shù)列增減性的判斷方法

變式訓(xùn)練2[人教B版教材例題]已知函數(shù)f(x)=,設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(n),其中n∈N+.(1)求證:0≤an<1;(2)判斷{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,并說明理由.角度2.利用數(shù)列的增減性求參數(shù)

【例3】

設(shè)函數(shù)

數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N+,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)D規(guī)律方法

利用數(shù)列{an}的增減性解決問題時(shí),要結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的知識(shí),同時(shí)要注意數(shù)列本身的特性,如n的取值是正整數(shù).變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}滿足

(n∈N+),若對(duì)于任意n∈N+都有an>an+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

探究點(diǎn)三數(shù)列的最值【例4】

(1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N+.①數(shù)列中有哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?求出此最小值.分析①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.解

①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N+,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項(xiàng)為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(n+1)(n∈N+),試問數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,請(qǐng)說明理由.∴當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項(xiàng),最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為第9,10項(xiàng),規(guī)律方法

求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如增減性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.變式訓(xùn)練4(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n2+88n,則數(shù)列{an}各項(xiàng)中最大項(xiàng)是(

)A.第13項(xiàng) B.第14項(xiàng)C.第15項(xiàng) D.第16項(xiàng)C解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n2+88n,則an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,則an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91,當(dāng)1≤n≤15時(shí),an-an-1>0,即an>an-1,當(dāng)n≥16時(shí),an-an-1<0,即an<an-1,故數(shù)列{an}各項(xiàng)中最大項(xiàng)是第15項(xiàng),故選C.★(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n×0.9n,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)列的分類.(2)數(shù)列增減性的判斷.(3)數(shù)列的最大值和最小值.2.方法歸納:等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論.3.常見誤區(qū):忽略n∈N+.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1819201.[探究點(diǎn)二(角度1)](多選題)若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,則{an}的通項(xiàng)公式可能為(

)A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1C.an=

D.an=1AC解析

可以利用數(shù)列的函數(shù)特性一一判斷,A,C中數(shù)列為遞減數(shù)列,B中數(shù)列既不是遞增數(shù)列,也不是遞減數(shù)列,D中數(shù)列是常數(shù)列.故選AC.12345678910111213141516171819202.[探究點(diǎn)一]函數(shù)f(x)定義如表,數(shù)列{xn}滿足x1=2,且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn+1=f(xn),則x2023等于(

)x12345f(x)51342A.1 B.2 C.4 D.5B解析

根據(jù)定義,可得x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,x5=f(x4)=1,x6=f(x5)=5,…,所以周期為3,故x2

023=x1=2.1234567891011121314151617181920B12345678910111213141516171819204.[探究點(diǎn)三]在數(shù)列{an}中,若an=n(n-8)-20,則該數(shù)列從第

項(xiàng)開始遞增,數(shù)列的最小值為

.

4-36解析

由題意得,an+1-an=2n-7,令2n-7>0,得n>,故數(shù)列{an}從第4項(xiàng)開始遞增.an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,故當(dāng)n=4時(shí),{an}的最小值為a4=-36.12345678910111213141516171819205.[探究點(diǎn)二(角度2)]已知對(duì)于任意的正整數(shù)n,an=n2+λn,若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

.

(-3,+∞)解析

∵{an}是遞增數(shù)列,∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0,對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立,即λ>-2n-1對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立,又n∈N+,當(dāng)n=1時(shí),(-2n-1)max=-3,∴λ>-3.12345678910111213141516171819206.[探究點(diǎn)一·2024江蘇蘇州期末](1)當(dāng)自變量x依次取1,2,3,…時(shí),函數(shù)f(x)=2x+1的值構(gòu)成數(shù)列{an},寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng),并作出它的圖象;(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

寫出這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng),并作出它的圖象.1234567891011121314151617181920解

(1)根據(jù)題意,依次將x的值代入函數(shù)f(x)=2x+1,可得數(shù)列的前5項(xiàng)依次為3,5,7,9,11,其圖象如下:123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819207.[探究點(diǎn)二(角度1)、探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性,并判斷該數(shù)列是否有最大項(xiàng)與最小項(xiàng).1234567891011121314151617181920當(dāng)1≤n≤3時(shí),an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4,當(dāng)n=4時(shí),an+1-an=0,即a5=a4,當(dāng)n≥5時(shí),an+1-an<0,即a5>a6>a7>…,所以{an}從第1項(xiàng)到第4項(xiàng)遞增,從第5項(xiàng)起遞減.1234567891011121314151617181920B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.已知,則數(shù)列{an}中相等的連續(xù)兩項(xiàng)是(

)A.第9項(xiàng),第10項(xiàng) B.第10項(xiàng),第11項(xiàng)C.第11項(xiàng),第12項(xiàng) D.第12項(xiàng),第13項(xiàng)B解析

假設(shè)an=an+1,則有

,解得n=10,所以相等的連續(xù)兩項(xiàng)是第10項(xiàng)和第11項(xiàng).12345678910111213141516171819209.已知數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=(n∈N+).若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則a=(

)A.-2 B.-1 C.0 D.(-1)nA123456789101112131415161718192010.對(duì)任意的a1∈(0,1),由關(guān)系式an+1=f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an+1>an(n∈N+),則函數(shù)y=f(x)的圖象是(

)A123456789101112131415161718192011.

已知數(shù)列{an}滿足,則當(dāng)an取得最小值時(shí)n的值為(

)A.2024 B.2023或2022C.2022 D.2022或2021D123456789101112131415161718192012.(多選題)下列數(shù)列{an}中是遞增數(shù)列的是(

)BD1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192013.(多選題)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+1,設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(n)(n∈N+),則此數(shù)列(

)A.圖象是二次函數(shù)y=-x2+2x+1的圖象B.是遞減數(shù)列C.從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)D.有兩項(xiàng)為1BC123456789101112131415161718192014.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為

.

a8和a912345678910111213141516171819201123456789101112131415161718192016.數(shù)列

中的最大項(xiàng)為