第12講圖形的相似（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)。二、成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。三、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例。四、相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．比例的性質(zhì)（共6小題）1．（2021秋?定興縣期末）已知2x＝3y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2022?安慶模擬）若，則的值為（）A． B． C． D．4．（2021秋?昭平縣期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值．5．（2021秋?義烏市期末）已知a：b＝1：4，求的值．6．（2022?大渡口區(qū)模擬）計(jì)算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．二．比例線段（共11小題）7．（2021秋?威寧縣期末）下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．5cm，15cm，2cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm8．（2022秋?瑞安市月考）如圖，用六個全等的直角三角形恰好拼成一大一小兩個正六邊形，則大正六邊形與小正六邊形的周長之比為（）A． B． C．2 D．39．（2022?宜昌模擬）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（）A．： B．： C．： D．：10．（2022?安慶二模）安慶潛山素有古皖之源、皖國古都、二喬故里、京劇之祖、禪宗之地、黃梅之鄉(xiāng)等等眾多美名．擁有“潛陽十景”之首美譽(yù)的胭脂井，完美融入二喬公園之中，為古皖名城增輝，為百姓休閑生活增色．二喬公園占地面積57622.48m2，其中景觀綠化面積約為37000m2，在按比例尺1：300縮小繪制的公園示意圖中，景觀綠化面積大約相當(dāng)于（）A．某縣體育中心體育館的面積 B．一張乒乓球臺的面積 C．一張《安徽日報(bào)》報(bào)紙的面積 D．《數(shù)學(xué)》教科書封面的面積11．（2022?錢塘區(qū)一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于．12．（2022?鹽城一模）在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的距離約為31cm，則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為km．13．（2022?南海區(qū)一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為．14．（2022?龍崗區(qū)一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d＝cm．15．（2021秋?余姚市期末）已知線段a＝8，b＝2，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c＝．16．（2022?淮安區(qū)模擬）已知線段a＝4cm，線段b＝7cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．17．（2022春?利川市校級月考）（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．（2）已知線段a＝2，b＝8，求a，b的比例中項(xiàng)線段c．三．黃金分割（共9小題）18．（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB＝2，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則AP﹣BP＝．19．（2022?石家莊二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時，ED的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則AD的長為（）A．1 B． C．﹣1 D．20．（2021秋?防城港期末）在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，這個比值叫黃金分割數(shù)．按此比例，若雕像的高為2米，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)雕像下部高x米，可列方程為（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝021．（2022秋?漢陽區(qū)期中）在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高度為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為（）m．A．﹣1 B．+1 C． D．22．（2022秋?金水區(qū)期中）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．若舞臺AB長為20m，那么主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為m．（結(jié)果保留根號）23．（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈DE．（精確到0.001）24．（2022?茂南區(qū)一模）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．如圖，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，則△ABC為黃金三角形．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請判斷△BDC是否為黃金三角形，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由．25．（2022春?長沙期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”，若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，則d1的最小值是（）A． B． C． D．26．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，將△ADC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△FDE，B、F、E三點(diǎn)恰好在同一直線上，AC與BE相交于點(diǎn)G，連接DG．以下結(jié)論正確的是．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③CG+DG＝EG；④點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)．四．相似圖形（共2小題）27．（2022?汝陽縣一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（）A．關(guān)于直線對稱的兩個圖形 B．兩個正三角形 C．兩個等腰三角形 D．兩個半徑不等的圓28．（2022春?江陰市校級月考）如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫做這個凸四邊形的相似對角線，在凸四邊形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AD，邊BC上的中點(diǎn)．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對角線，那么EF的長等于．五．相似多邊形的性質(zhì)（共7小題）29．（2022秋?門頭溝區(qū)校級期中）若兩個相似多邊形的相似比為1：2，則它們面積之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：130．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠D的度數(shù)為（）A．100o B．110o C．120o D．130o31．（2022春?永豐縣期中）已知兩個相似多邊形的周長比為1：2，它們的面積和為100，則較小多邊形的面積是．32．（2022?石家莊三模）對于題目：“在邊長為6和2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個小矩形，使得剪下的兩個矩形均與原矩形相似，請?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個矩形周長和為最大值時的方案，并求出這個最大值．”甲、乙兩個同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿足條件的方案，并求出了周長和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A．甲方案正確，周長和的最大值錯誤 B．乙方案錯誤，周長和的最大值正確 C．甲、乙方案均正確，周長和的最大值正確 D．甲、乙方案均錯誤，周長和的最大值錯誤33．（2022?尤溪縣開學(xué)）兩個相似多邊形的周長比是2：3，其中較小多邊形的面積為12cm2，則較大多邊形的面積為cm2．34．（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF與矩形ABCD相似，則AD的長為．35．（2022?城廂區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD被分割成4個矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，AC交HG，EF于點(diǎn)M，Q．現(xiàn)有以下四個判斷：①HP2＝AH?HD；②AE2＝EP?EQ；③B，P，D三點(diǎn)共線；④S△APQ＝S矩形BEPG．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級期中）若，則的值為（）A． B． C． D．12．（2021·四川成都·九年級期中）一個五邊形ABCDE各邊的邊長為2，3，4，5，6，另一個和它相似的五邊形A1B1C1D1E1最長邊為12，則A1B1C1D1E1的最短邊長為（）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）己知線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，若a=3，c=4，則b的值是（）A．2 B．5 C． D．4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級期中）下列每個選項(xiàng)中的兩個圖形一定相似的是（）A．任意兩個矩形 B．任意兩個正五邊形C．任意兩個平行四邊形 D．任意兩個等腰三角形5．（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級期中）如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都·九年級期中）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），AB＝2，則AC的長為（）A． B． C． D．7．（2021·河南·淅川縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室九年級期中）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值為（）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：78．（2021·重慶·西南大學(xué)附中九年級期中）下列說法正確的是（）A．兩條對角線相等的平行四邊形是正方形B．平分弦的直徑必垂直于弦C．相似三角形的周長之比等于相似比的平方D．兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形9．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）如圖，，直線、分別與三條平行線交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，，，則的長為（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．810．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP，若BP=-1，AB的長為（）A．+1 B．2 C．3+ D．3-11．（2021·浙江浙江·九年級期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長度．當(dāng)a=4，b=6時，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（）A． B． C． D．二、填空題12．（2021·湖南·張家界市民族中學(xué)九年級期中）在比例尺為的地圖上，兩城市間的圖上距離為2cm，則這兩城市間的實(shí)際距離為______km．13．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）已知=，則=________．14．（2021·廣東大埔·九年級期中）如圖，l1l2l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，，DE＝4，則EF的長是___．15．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）已知P是線段AB的一個黃金分割點(diǎn)，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．16．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）已知線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，且a=12，c=3，那么b=___________．17．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）如圖，在矩形中，，M、N分別是、的中點(diǎn)，連接，則將矩形分成兩個矩形，若矩形與矩形相似，則的長為_________．18．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）如圖，已知l1∥l2∥l3，直線分別交、、于、、，直線分別交、、于、、，，，，那么____．19．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)直線A′E⊥AB時，A′B＝____．20．（2021·四川師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級月考）如圖，在△ABC中，D、E分別為BC的三等分點(diǎn)，CM為AB上的中線，CM分別交AE、AD于F、G，則CF：FG：GM＝_______．三、解答題21．（2021·安徽包河·九年級期中）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，試求的值．22．（2021·安徽·安慶市第四中學(xué)九年級期中）已知線段MN是AB，CD的比例中項(xiàng)，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的長．23．（2021·安徽全椒·九年級期中）線段a、b、c，且（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足，求的值；24．（2021·貴州·玉屏侗族自治縣教研室九年級期中）兩棵樹的高度分別是16.6米，13.6米，兩棵樹的根部之間的距離AC=7米．小強(qiáng)沿著正對這兩棵樹的方向從右向左前進(jìn)，如果小強(qiáng)的眼睛與地面的距離為1.6米，當(dāng)小強(qiáng)與樹的距離等于多少時，小強(qiáng)的眼睛與樹、的頂部、恰好在同一條直線上，請說明理由．25．（2021·上海寶山·九年級期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長．26．（2021·江蘇·姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中九年級月考）△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請求出m、n之間的等量關(guān)系．27．（2021·廣東順德·九年級月考）如圖，，直線，交于點(diǎn)，且分別與直線，，交于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，，已知，，，，求的長度．28．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）如圖，已知ADBECF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的長．第12講圖形的相似（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)。二、成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。三、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應(yīng)線段成比例。四、相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對應(yīng)角相等；（3）對應(yīng)邊的比相等?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．比例的性質(zhì)（共6小題）1．（2021秋?定興縣期末）已知2x＝3y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)或字母等式仍成立即可解決．【解答】解：根據(jù)等式性質(zhì)2，可判斷出只有B選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是等式的性質(zhì)：等式性質(zhì)1：等式的兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍相等；等式性質(zhì)2：等式的兩邊同乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0）結(jié)果仍相等．2．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個選項(xiàng)中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答．【解答】解：A．因?yàn)椋?，所?m＝4n，故此選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)椋?，所以mn＝20，故此選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)椋?，所?m＝4n，故此選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)椋剑?m＝5n，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?安慶模擬）若，則的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵，∴＝，∴＝+1＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?昭平縣期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值．【分析】設(shè)a＝k，b＝2k，c＝3k，代入求出k，即可求出答案．【解答】解：由a：b：c＝1：2：3，可設(shè)a＝k、b＝2k、c＝3k，∵3a+2b﹣c＝8，∴3k+2×2k﹣3k＝8，∴3k+4k﹣3k＝8，∴4k＝8，∴k＝6，∴a＝k＝6，b＝2k＝12，c＝3k＝18．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設(shè)一個未知數(shù)，把題目中的幾個量用所設(shè)的未知數(shù)表示出來．5．（2021秋?義烏市期末）已知a：b＝1：4，求的值．【分析】根據(jù)a：b＝1：4，得出b＝4a，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【解答】解：∵a：b＝1：4，∴b＝4a，∴＝＝＝﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵．6．（2022?大渡口區(qū)模擬）計(jì)算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）設(shè)x＝2t，y＝3t，利用x+y＝15得到2t+3t＝15，然后求出t，從而得到x、y的值；（2）先移項(xiàng)得到3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵x：y＝2：3，∴設(shè)x＝2t，y＝3t，∵x+y＝15，∴2t+3t＝15，解得t＝3，∴x＝6，y＝9；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．也考查了解一元二次方程．二．比例線段（共11小題）7．（2021秋?威寧縣期末）下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．5cm，15cm，2cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵2×3≠1×4，∴四條線段不成比例；B、∵3×6≠4×5，∴四條線段不成比例；C、∵6×5＝15×2，∴四條線段成比例；D、∵3×6≠4×5，∴四條線段不成比例；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．8．（2022秋?瑞安市月考）如圖，用六個全等的直角三角形恰好拼成一大一小兩個正六邊形，則大正六邊形與小正六邊形的周長之比為（）A． B． C．2 D．3【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝BH，求得AB＝AG，BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，得到HG＝AG，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴AB＝AG，BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG，∵正六邊形ABCDEF∽正六邊形HMNPQG，∴正六邊形ABCDEF的周長：正六邊形HMNPQG的周長＝＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似多邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?宜昌模擬）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（）A．： B．： C．： D．：【分析】直接利用已知條件進(jìn)而表示出a，b，c，進(jìn)而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴設(shè)a＝x，b＝2x，c＝3x，∴：＝：＝：．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵．10．（2022?安慶二模）安慶潛山素有古皖之源、皖國古都、二喬故里、京劇之祖、禪宗之地、黃梅之鄉(xiāng)等等眾多美名．擁有“潛陽十景”之首美譽(yù)的胭脂井，完美融入二喬公園之中，為古皖名城增輝，為百姓休閑生活增色．二喬公園占地面積57622.48m2，其中景觀綠化面積約為37000m2，在按比例尺1：300縮小繪制的公園示意圖中，景觀綠化面積大約相當(dāng)于（）A．某縣體育中心體育館的面積 B．一張乒乓球臺的面積 C．一張《安徽日報(bào)》報(bào)紙的面積 D．《數(shù)學(xué)》教科書封面的面積【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)景觀綠化面積的圖上面積為xm2，根據(jù)題意得，＝（）2，解得x≈0.41，答：景觀綠化面積大約相當(dāng)于一張《安徽日報(bào)》報(bào)紙的面積．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022?錢塘區(qū)一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于2．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義直接列式求值，問題即可解決．【解答】解：設(shè)a、b的比例中項(xiàng)為x，∵a＝+1，b＝﹣1，∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4∴x＝＝2（舍去負(fù)值），即a、b的比例中項(xiàng)線段等于2，故答案為：2．【點(diǎn)評】該題主要考查了比例中項(xiàng)等基本概念問題和根式的乘法；熟練掌握比例中項(xiàng)的概念和根式的化簡方法是解決問題的關(guān)鍵．12．（2022?鹽城一模）在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的距離約為31cm，則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為31km．【分析】圖上距離除以比例尺，算出實(shí)際距離，進(jìn)而把厘米換算成千米即可．【解答】解：大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為31÷＝3100000（cm）＝31（km），故答案為：31．【點(diǎn)評】此題考查有關(guān)比例線段的計(jì)算；注意厘米換算成千米應(yīng)縮小100000倍．13．（2022?南海區(qū)一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為cm．【分析】由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可得＝，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，∴＝，解得：a＝．故答案為：cm．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是熟記比例線段的定義．14．（2022?龍崗區(qū)一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d＝9cm．【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，∴d＝9，則d＝9cm．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識點(diǎn)是比例的基本性質(zhì)．15．（2021秋?余姚市期末）已知線段a＝8，b＝2，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c＝4．【分析】利用比例中項(xiàng)的定義得到c2＝ab＝16，然后求出16的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab，而段a＝8，b＝2，∴c2＝8×2＝16，而c＞0，∴c＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，掌握比例中項(xiàng)的定義是解決問題的關(guān)鍵．16．（2022?淮安區(qū)模擬）已知線段a＝4cm，線段b＝7cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：∵線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab，∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，∴c＝2cm．故線段c的長為2cm．【點(diǎn)評】本題考查比例中項(xiàng)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．17．（2022春?利川市校級月考）（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．（2）已知線段a＝2，b＝8，求a，b的比例中項(xiàng)線段c．【分析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到方程c2＝ab，解之可得答案．【解答】解：（1）5：（x+1）＝3：x，3（x+1）＝5x，3x+3＝5x，x＝1.5；（2）∵c為線段a，b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【點(diǎn)評】本題主要考查比例線段，熟練掌握線段的比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．三．黃金分割（共9小題）18．（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB＝2，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則AP﹣BP＝2﹣4．【分析】根據(jù)黃金分割的概念、黃金比值計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，∴AP＝AB＝，則BP＝2﹣AP＝3﹣，∴AP﹣BP＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，故答案為：2﹣4．【點(diǎn)評】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．19．（2022?石家莊二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時，ED的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則AD的長為（）A．1 B． C．﹣1 D．【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CA＝2，∠B＝∠E，再證明∠B＝∠BAD得到BD＝AD，接著證明△BAD∽△BCA，然后利用相似比可計(jì)算出BD的長，從而得到AD的長．【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，∴CD＝CA＝2，∠B＝∠E，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠BAD＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠ABD＝∠CBA，∠BAD＝∠ACB，∴△BAD∽△BCA，∴＝，即＝，整理得BD2+2BD﹣4＝0，解得BD＝﹣1，∴AD＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．20．（2021秋?防城港期末）在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，這個比值叫黃金分割數(shù)．按此比例，若雕像的高為2米，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)雕像下部高x米，可列方程為（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0【分析】設(shè)雕像下部高x米，則雕像上部為（2﹣x）米，根據(jù)黃金分割的定義可得＝，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)雕像下部高x米，則雕像上部為（2﹣x）米，由題意得：＝，∴x2＝2（2﹣x），整理得：x2+2x﹣4＝0，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?漢陽區(qū)期中）在設(shè)計(jì)人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高度為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為（）m．A．﹣1 B．+1 C． D．【分析】設(shè)雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為xm，由黃金分割的定義得＝，即可求解．【解答】解：設(shè)雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為xm，∵使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，∴＝，∴x＝﹣1，即雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為（﹣1）m，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和黃金比值是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?金水區(qū)期中）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．若舞臺AB長為20m，那么主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為（30﹣10）m．（結(jié)果保留根號）【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義求出BC的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的點(diǎn)為C，則點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）（m），∴AC＝20﹣（10﹣10）＝（30﹣10）（m），即主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為（30﹣10）m，故答案為：（30﹣10）．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義和黃金比值是解題的關(guān)鍵．23．（2022?婁底）九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈0.618DE．（精確到0.001）【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得＝≈0.618，再根據(jù)題意可得EG＝AE，即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由題意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案為：0.618．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，近似數(shù)和有效數(shù)字，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．24．（2022?茂南區(qū)一模）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．如圖，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，則△ABC為黃金三角形．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請判斷△BDC是否為黃金三角形，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由．【分析】（1）作∠ABC的角平分線，交AC于點(diǎn)D；（2）由角平分線的定義得∠ABD＝∠CBD＝36°，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠C＝72°，然后證證∠BDC＝∠C，則BD＝BC，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，BD即為所求；（2）△BDC是黃金三角形，理由如下：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC是黃金三角形．【點(diǎn)評】本題考查了黃金三角形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及尺規(guī)作圖等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022春?長沙期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”，若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，則d1的最小值是（）A． B． C． D．【分析】如圖，設(shè)直線y＝x+2交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，則C（﹣6，0），D（0，2），設(shè)⊙O交y軸于點(diǎn)A′，在y軸的左側(cè)作等邊△A′OB′，過點(diǎn)A′作AA′⊥CD于點(diǎn)A，求出AA′的長，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)直線y＝x+2交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，則C（﹣6，0），D（0，2），∴OC＝6，OD＝2，∴tan∠CDO＝＝，∴∠CDO＝60°，設(shè)⊙O交y軸于點(diǎn)A′，在y軸的左側(cè)作等邊△A′OB′，過點(diǎn)A′作AA′⊥CD于點(diǎn)A，∵DA′＝OD﹣OA′＝2﹣1，∴AA′＝A′D?sin60°＝，∴線段AB到⊙O的“平移距離”d1的最小值＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．26．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，將△ADC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△FDE，B、F、E三點(diǎn)恰好在同一直線上，AC與BE相交于點(diǎn)G，連接DG．以下結(jié)論正確的是②③④．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③CG+DG＝EG；④點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)．【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論②正確；依據(jù)△BGC是直角三角形，而△AGD不是直角三角形，即可發(fā)現(xiàn)△BCG與△GAD不相似，進(jìn)而得出結(jié)論①錯誤；在線段EF上取EG′＝CG并連接DG′，即可判定△DCG≌△DEG′（SAS），再根據(jù)△GDG′是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論③正確；判定Rt△FCB∽Rt△FDE，即可得到＝，即DF2＝FC?DC，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)結(jié)論④正確．【解答】解：∵△FDE是△ADC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴△FDE≌△ADC，∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，即∠DAG+DEF＝90°，∴∠AGE＝90°，即AC⊥BE，故②正確；∵AC⊥BE，∴∠BGC＝90°，即△BGC是直角三角形，而△AGD不是直角三角形，∴△BCG與△GAD不相似，故①錯誤；在線段EF上取EG′＝CG并連接DG′，如圖，∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，∴∠DEG′＝∠DCG，在△DCG和△DEG′中，，∴△DCG≌△DEG′（SAS），∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′，∵∠CDG＝∠GDA＝90°，∠EDG′+∠GAD＝90°，∴∠GDG′＝90°，∴△GDG′是等腰直角三角形，∴GG′＝DG，∵EG′＝CG，∴EG＝EG′+GG′＝CG+DG，故③正確；在Rt△FCB和Rt△FDE中，∵∠BFC＝∠EFC，∴Rt△FCB∽Rt△FDE，∴＝，∵BC＝AD＝DF，DE＝DC，∴＝，即DF2＝FC?DC，∴點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)，故④正確；故答案為：②③④．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃金分割點(diǎn)的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形．四．相似圖形（共2小題）27．（2022?汝陽縣一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（）A．關(guān)于直線對稱的兩個圖形 B．兩個正三角形 C．兩個等腰三角形 D．兩個半徑不等的圓【分析】根據(jù)相似圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、關(guān)于直線對稱的兩個圖形全等，∴它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、兩個正三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，∴它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、兩個等腰三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不一定是相似圖形，本選項(xiàng)符合題意；D、兩個半徑不等的圓是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．28．（2022春?江陰市校級月考）如果一條對角線把凸四邊形分成兩個相似的三角形，那么我們把這條對角線叫做這個凸四邊形的相似對角線，在凸四邊形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AD，邊BC上的中點(diǎn)．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對角線，那么EF的長等于．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出BC長，再利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算出EF的長即可．【解答】解：如圖所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC?AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，在Rt△AFC中AF＝＝，∵AD＝，E為AD中點(diǎn)，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等．五．相似多邊形的性質(zhì)（共7小題）29．（2022秋?門頭溝區(qū)校級期中）若兩個相似多邊形的相似比為1：2，則它們面積之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【分析】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算．【解答】解：相似多邊形的相似比是1：2，面積的比是相似比的平方，因而它們的面積比為1：4；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)；熟記相似多邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．30．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠D的度數(shù)為（）A．100o B．110o C．120o D．130o【分析】直接利用相似多邊形的性質(zhì)得出∠F＝∠B＝70°，再利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴∠F＝∠B＝70°，∵∠A＝80°，∠C＝90°，∴∠D＝360°﹣70°﹣80°﹣90°＝120°．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．31．（2022春?永豐縣期中）已知兩個相似多邊形的周長比為1：2，它們的面積和為100，則較小多邊形的面積是20．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，兩個相似多邊形的面積比為1：4，從而設(shè)設(shè)較小多邊形的面積為x，則較大多邊形的面積為4x，然后根據(jù)它們的面積和為100，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵兩個相似多邊形的周長比為1：2，∴兩個相似多邊形的面積比為1：4，∴設(shè)較小多邊形的面積為x，則較大多邊形的面積為4x，∵它們的面積和為100，∴x+4x＝100，∴x＝20，∴較小多邊形的面積是20，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2022?石家莊三模）對于題目：“在邊長為6和2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個小矩形，使得剪下的兩個矩形均與原矩形相似，請?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個矩形周長和為最大值時的方案，并求出這個最大值．”甲、乙兩個同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿足條件的方案，并求出了周長和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A．甲方案正確，周長和的最大值錯誤 B．乙方案錯誤，周長和的最大值正確 C．甲、乙方案均正確，周長和的最大值正確 D．甲、乙方案均錯誤，周長和的最大值錯誤【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)分別求出甲乙的方案中，的兩個矩形的周長，即可判斷．【解答】解：如圖1中，由題意可以假設(shè)兩個矩形的長寬分別為x，3x；y，3y，則有3x+3y＝6，∴x+y＝2，∴兩個矩形的周長的和為8x+8y＝16，如圖2中，由題意可以假設(shè)兩個矩形的長寬分別為m，3m；n，3n，則有m+n＝2，∴兩個矩形的周長的和為8m+8n＝16，如果小矩形的長為2，則寬為，在小矩形的旁邊剪下長矩形，則長矩形的最長邊為6﹣＝，寬為，則這兩個矩形周長和為16+＞16，所以甲乙兩個方案均錯誤故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)，學(xué)會利用參數(shù)解決問題嗎，屬于中考?？碱}型．33．（2022?尤溪縣開學(xué)）兩個相似多邊形的周長比是2：3，其中較小多邊形的面積為12cm2，則較大多邊形的面積為27cm2．【分析】根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方求出面積比，計(jì)算即可．【解答】解：∵兩個相似多邊形的周長比是2：3，∴兩個相似多邊形的相似比是2：3，∴兩個相似多邊形的面積比是4：9，∵較小多邊形的面積為12cm2，∴較大多邊形的面積為27cm2，故答案為：27．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．34．（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF與矩形ABCD相似，則AD的長為．【分析】設(shè)AD＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AF＝AB＝EF＝1，則FD＝x﹣1，在根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，得到DF：AB＝EF：AD，即（x﹣1）：1＝1：x，然后解方程，即可得到AD的長．【解答】解：設(shè)AD＝x，∵四邊形ABEF為正方形，∴AF＝AB＝EF＝1，∴FD＝x﹣1，∵矩形ECDF與矩形ABCD相似，∴DF：AB＝EF：AD，即（x﹣1）：1＝1：x，整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），∴AD的長為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解題時注意：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比相等；相似多邊形面積的比等于相似比的平方．35．（2022?城廂區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD被分割成4個矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，AC交HG，EF于點(diǎn)M，Q．現(xiàn)有以下四個判斷：①HP2＝AH?HD；②AE2＝EP?EQ；③B，P，D三點(diǎn)共線；④S△APQ＝S矩形BEPG．其中正確的是①②③（寫出所有正確結(jié)論的序號）．【分析】根據(jù)矩形相似從而列出比例式化簡即可求得答案，通過添加輔助線，根據(jù)比例式可判定兩直線平行，從而得出兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似，根據(jù)對頂角相等可判斷三點(diǎn)共線．【解答】解：如圖，連接FH，設(shè)AH＝PE＝a，AE＝HP＝b，∵矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，∴，，∠EAP＝∠HFP，∠EPB＝∠HFP＝∠DPF，∴HP2＝AH?HD，EB＝，∴HD＝，EB＝，∴CF＝BE＝，∴＝＝，∴FH∥AC，∴∠AQE＝∠HFP，∴∠EAP＝∠AQE，∵∠AEP＝∠AEQ，∴△AEP∽△QEA，∴，∴AE2＝EP?EQ，∴EQ＝，∴PQ＝EQ﹣EP＝﹣a，∴S△APQ＝＝，∵S矩形BEPG＝EP?BE＝a＝，∴S△APQ≠S矩形BEPG，∵∠EPF＝∠DPF，∴B、P、D共線，綜上所述：①②③正確，故答案為：①②③．【點(diǎn)評】本題考查了相似圖形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)比例線段判定兩直線平行鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級期中）若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴，即，將代入中，得：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例的性質(zhì)．2．（2021·四川成都·九年級期中）一個五邊形ABCDE各邊的邊長為2，3，4，5，6，另一個和它相似的五邊形A1B1C1D1E1最長邊為12，則A1B1C1D1E1的最短邊長為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】設(shè)后A1B1C1D1E1的最短邊的長為x，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，可知最長邊之比等于最短邊之比，列方程求解．【詳解】解：兩個相似的五邊形，一個最長的邊是6，另一個最長邊長為12，

則相似比是，

根據(jù)相似五邊形的對應(yīng)邊的比相等，設(shè)A1B1C1D1E1的最短邊的長為x，

則，

解得：．

即A1B1C1D1E1的最短邊的長為4．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，對應(yīng)邊的比相等，關(guān)鍵是確定兩個多邊形最長邊之比等于最短邊之比．3．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）己知線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，若a=3，c=4，則b的值是（）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義“如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或，那么線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)”進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，∴即，解得：或（舍），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)，解題關(guān)鍵是熟記比例中項(xiàng)的定義．4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級期中）下列每個選項(xiàng)中的兩個圖形一定相似的是（）A．任意兩個矩形 B．任意兩個正五邊形C．任意兩個平行四邊形 D．任意兩個等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)題意，任意正多邊形是相似圖形，其余不是，據(jù)此分析即可．【詳解】A.任意兩個矩形，不一定相似，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.任意兩個正五邊形，一定相似，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.任意兩個平行四邊形，不一定相似，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.任意兩個等腰三角形，不一定相似，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的判定，理解任意正多邊形是相似圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級期中）如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和求解即可【詳解】四邊形四邊形，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川成都·九年級期中）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），AB＝2，則AC的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，當(dāng)AC是較長線段時，AC＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AC的長度．【詳解】解：∵AB＝2，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC時，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河南·淅川縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室九年級期中）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值為（）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7【答案】B【分析】由DE∥BC，可得，再結(jié)合EF∥AB可求得CF：CB=CE：CA，可求得CF：CB．【詳解】解：∵DE∥BC，

∴=3：4，

∴CE：CA=4：7，

∵EF∥AB，

∴CF：CB=CE：CA=4：7，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段中的線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中九年級期中）下列說法正確的是（）A．兩條對角線相等的平行四邊形是正方形B．平分弦的直徑必垂直于弦C．相似三角形的周長之比等于相似比的平方D．兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)幾何性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個判斷即可．【詳解】解：A、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、相似三角形的周長之比等于相似比，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項(xiàng)正確，符合題意；故選D【點(diǎn)睛】此題考查了特殊平行四邊形，相似三角形以及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．9．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）如圖，，直線、分別與三條平行線交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，，，則的長為（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．8【答案】C【分析】首先根據(jù)，，求出，然后根據(jù)平行線分線段成比例求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，代入得：，解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例．10．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP，若BP=-1，AB的長為（）A．+1 B．2 C．3+ D．3-【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義列出式子，再設(shè)出的長，從而將的長表示出來，再將、的長代入列出的等式中即可求出的長．【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP∴設(shè)，∵∴∵∴∴∴∴的長為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的相關(guān)知識，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義是解答此題的關(guān)鍵．11．（2021·浙江浙江·九年級期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長度．當(dāng)a=4，b=6時，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對應(yīng)關(guān)系，同時利用平行線分線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過C點(diǎn)分別向OA、OB作垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E，因?yàn)椤螦OB=90°，OP平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，∴OE=CE=CD=OD,設(shè)OE=CE=CD=OD=x,∴BE=6-x，∵CE∥OA，∴,∴，∴，∵OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,∴點(diǎn)C處的標(biāo)度等于CD的長，即為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定、角平分線的定義和平行線分線段成比例定理的推論等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意與圖形，能在圖形中得到對應(yīng)等量關(guān)系，能正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合等思想方法．二、填空題12．（2021·湖南·張家界市民族中學(xué)九年級期中）在比例尺為的地圖上，兩城市間的圖上距離為2cm，則這兩城市間的實(shí)際距離為______km．【答案】10【分析】由比例尺的定義：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺建立等量關(guān)系，解這個一元一次方程就可以求出實(shí)際距離．【詳解】解：設(shè)這兩城市的實(shí)際距離是x厘米，由題意，得1：500000=2：x，解得：x=1000000，1000000厘米=10km．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了比例尺的意義的運(yùn)用，比例線段，一元一次方程的解法，注意單位之間的換算．13．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級期中）已知=，則=________．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得，即可得．【詳解】解：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．14．（2021·廣東大埔·九年級期中）如圖，l1l2l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，，DE＝4，則EF的長是___．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．【詳解】解：∵l1l2l3，∴，∴，∴EF＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線之間的線段關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知平行線分線段成比例，列出比例式求解．15．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）已知P是線段AB的一個黃金分割點(diǎn)，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．【答案】10?10（-1）【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【詳解】解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB，若AB＝20，則AP＝20×＝10?10．故答案為10?10．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵16．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級期中）已知線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，且a=12，c=3，那么b=___________．【答案】6【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac，故b的值可求．【詳解】解：線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，即a：b＝b：c，∴b2＝ac=36，故線段b的長為6（負(fù)值舍去）故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．17．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）如圖，在矩形中，，M、N分別是、的中點(diǎn)，連接，則將矩形分成兩個矩形，若矩形與矩形相似，則的長為_________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=6，設(shè)AD=x（x>0），則DM=x，根據(jù)相似的性質(zhì)得到，得到，由此求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，設(shè)AD=x（x>0），則DM=x，∵矩形與矩形相似，∴，∴，解得，即AD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊形的性質(zhì)設(shè)AD=x（x>0）是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）如圖，已知l1∥l2∥l3，直線分別交、、于、、，直線分別交、、于、、，，，，那么____．【答案】【分析】因?yàn)閘1∥l2∥【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，，又∵,∴，解得；，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，難度適中，注意對應(yīng)成比例．19．（2021·上海市市西初級中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)直線A′E⊥AB時，A′B＝____．【答案】．【分析】由勾股定理，先求出AB的長度，然后利用平行線分線段成比例，求出，，再證明△ADG≌△，得到，，求得，利用勾股定理即可求出答案【詳解】解：由題意，A′E⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則，連接A′B，如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，∵D是邊AB的中點(diǎn)，∴，