新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第第頁(yè)第二節(jié)常用邏輯用語(yǔ)一、考情探究5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第2題，5分判斷命題的真假全稱(chēng)量詞命題的否定及其真假判斷存在量詞命題的否定及其真假判斷單絕對(duì)值不等式一元三次方程2023年新I卷，第7題，5分充分條件與必要條件等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和二、課標(biāo)要求1.理解必要條件、充分條件、充要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件、判定定理與充分條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．2.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定三、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，具體視命題情況而定，新教材體系下只考查充分條件與必要條件和全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題及其否定，可直接考查，分值5分，也可作為知識(shí)點(diǎn)載體的形式考查，例如2023年新Ⅰ卷第7題以數(shù)列知識(shí)點(diǎn)作為載體，難度隨載體知識(shí)點(diǎn)而定，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握充分條件、必要條件、充要條件2.能正確從集合角度理解充分條件與必要條件的判斷及邏輯關(guān)系3.能理解全稱(chēng)量詞與存在量詞的意義4.能正確對(duì)全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容常作為載體考查充分條件與必要條件，需對(duì)考綱內(nèi)知識(shí)點(diǎn)熟練掌握；全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的否定也是高考復(fù)習(xí)和考查的重點(diǎn)四、知識(shí)梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp[提醒]區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且BA)，與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同．2．全稱(chēng)量詞和存在量詞類(lèi)別全稱(chēng)量詞存在量詞量詞所有的、任意一個(gè)存在一個(gè)、至少有一個(gè)符號(hào)??命題含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)量詞命題含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”[提醒]①全稱(chēng)量詞是“全部”的含義，不能有例外；②存在量詞是“部分”的含義，也可能是“全部”．3．全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題名稱(chēng)全稱(chēng)量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，?p(x)?x∈M，?p(x)[提醒]對(duì)沒(méi)有量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞．[常用結(jié)論]1．集合與充要條件設(shè)p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合分別為A，B，(1)p是q的充分不必要條件?AB；(2)p是q的必要不充分條件?AB；(3)p是q的充要條件?A＝B.2．命題p與p的否定的真假性相反．五、課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一充分條件與必要條件的判斷例1(1)[2022·浙江卷]設(shè)x∈R,則“sinx=1”是“cosx=0”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件(2)[2023·重慶巴蜀中學(xué)月考]“x<0”是“l(fā)og3(x+1)<0”的 ()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(3)[2023·廈門(mén)二診]關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立的充分不必要條件可以是 ()A.a≥1 B.a>1C.0<a<12 D.a>[思路點(diǎn)撥](1)由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.(2)由log3(x+1)<0,得-1<x<0,比較與x<0的關(guān)系即可得出結(jié)論.(3)先求得關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立的充要條件,再找其充分不必要條件.(1)A(2)A(3)D[解析](1)由sin2x+cos2x=1知,當(dāng)sinx=1時(shí),cosx=0;而當(dāng)cosx=0時(shí),sinx=±1,故“sinx=1”是“cosx=0”的充分不必要條件,故選A.(2)由log3(x+1)<0,得-1<x<0,所以“x<0”是“l(fā)og3(x+1)<0”的必要不充分條件.故選A.(3)要使關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立,需滿(mǎn)足a>0,Δ=4-4a<0,解得a>1,所以關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0恒成立的充要條件是a>變式題(1)[2023·江蘇蘇州中學(xué)月考]“a+b>4”是“a>2且b>2”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件(2)[2023·山東德州三模]已知p:x=-1,q:向量a=(1,x)與b=(x+2,x)共線(xiàn),則p是q的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式題(1)B(2)A[解析](1)當(dāng)a=1,b=4時(shí),滿(mǎn)足a+b>4,但a>2且b>2不成立,所以充分性不成立;反之,若a>2且b>2,則可得a+b>4成立,所以必要性成立.所以“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分條件.故選B.(2)若向量a=(1,x)與b=(x+2,x)共線(xiàn),則x=x(x+2),解得x=0或x=-1,所以p是q的充分不必要條件.故選A.總結(jié)反思充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法:適用于定義、定理的判斷問(wèn)題;(2)集合法:多適用于條件中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問(wèn)題.考點(diǎn)二充分條件與必要條件的應(yīng)用例2(1)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行C.α與β平行于同一條直線(xiàn)D.α與β垂直于同一個(gè)平面(2)[2023·福州三中模擬]設(shè)p:4x-3<1;q:x-(2a+1)<0.若p是q的充分不必要條件,則 ()A.a>0 B.a>1C.a≥0 D.a≥1例2[思路點(diǎn)撥](1)由充要條件的定義可得答案.(2)化簡(jiǎn)p,q中的不等式,根據(jù)充分不必要條件的定義求a的取值范圍.(1)B(2)A[解析](1)根據(jù)面面平行的判定定理,可知當(dāng)α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行時(shí),α與β平行.反之,若α與β平行,則α內(nèi)任一直線(xiàn)均與平面β平行,自然也就滿(mǎn)足α內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與β平行,故B正確.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與β平行,不能推出α與β平行,故A錯(cuò)誤.α與β平行于同一條直線(xiàn)或垂直于同一個(gè)平面時(shí),α與β還可能相交,故C,D均錯(cuò)誤.故選B.(2)由已知可得p:x<1,q:x<2a+1,因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以2a+1>1,解得a>0.故選A.總結(jié)反思充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)的求解問(wèn)題上,解題時(shí)通常把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.解題過(guò)程中要注意檢驗(yàn)區(qū)間的端點(diǎn)值.變式題(1)已知集合A=xx-2x+1≤0,x∈A的一個(gè)必要條件是x≥a,則實(shí)數(shù)aA.a<0 B.a≥2C.a≤-1 D.a≥-1(2)已知p:f(x)=x-alnx在[2,+∞)上單調(diào)遞增;q:a<m.若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

變式題(1)C(2)(2,+∞)[解析](1)由x-2x+1≤0,得(x+1)(x-2)≤0,x+1≠0,解得-1<x≤2,所以A={x|-1<x≤2}.因?yàn)閤∈A的一個(gè)必要條件是x≥a,所以A={x|-1<x≤(2)若f(x)=x-alnx在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則f'(x)=1-ax≥0在[2,+∞)上恒成立,即a≤x對(duì)任意x∈[2,+∞)恒成立,∴a≤2.∵p是q的充分不必要條件,∴m>2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,+∞)考試三全稱(chēng)量詞與存在量詞角度1全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例3[2023·山西運(yùn)城一模]下列命題是真命題的為 ()A.?x∈N,4x<-3B.?x∈R,x2+2>0C.?x∈N,2x>x2D.?x∈Z,3x-2=0[思路點(diǎn)撥]對(duì)于A(yíng),通過(guò)解不等式判斷;對(duì)于B,由一個(gè)數(shù)的平方非負(fù)判斷;對(duì)于C,舉例判斷;對(duì)于D,解方程判斷.B[解析]對(duì)于A(yíng),由4x<-3,得x<-34,所以不存在自然數(shù)使4x<-3成立,故A是假命題;對(duì)于B,因?yàn)閤2≥0,所以x2+2≥2>0,故B是真命題;對(duì)于C,當(dāng)x=2時(shí),2x=x2=4,故C是假命題;對(duì)于D,由3x-2=0,得x=23?Z,故D是假命題總結(jié)反思全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法:命題名稱(chēng)真假判斷方法一判斷方法二全稱(chēng)量詞命題真所有對(duì)象使命題為真否定為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題為真否定為假變式題下列命題中,為真命題的是 ()A.?x∈R,sin2x3+cos2x3B.?x∈(0,π),sinx>cosxC.?x∈R,x2+x=-2D.?x∈(0,+∞),ex>x+1變式題D[解析]?x∈R,sin2x3+cos2x3=1,故A是假命題;當(dāng)x∈0,π4時(shí),sinx≤cosx,故B是假命題;∵方程x2+x+2=0對(duì)應(yīng)的判別式Δ=1-8<0,∴x2+x+2=0無(wú)解,故C是假命題;令f(x)=ex-x-1(x>0),則f'(x)=ex-1,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0恒成立,則f(x)為增函數(shù),故f(x)>f(0)=0,即?x∈(0,+∞),ex>x+1,故D角度2含有一個(gè)量詞的命題的否定例4(1)?x∈0,π2,x>sinx的否定是 (A.?x?0,π2,xB.?x∈0,π2,xC.?x?0,π2,x>D.?x∈0,π2,x(2)命題p:有的等差數(shù)列是等比數(shù)列,則其否定為 ()A.有的等差數(shù)列不是等比數(shù)列B.有的等比數(shù)列是等差數(shù)列C.所有的等差數(shù)列都是等比數(shù)列D.所有的等差數(shù)列都不是等比數(shù)列例4[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題,將“?”改為“?”并否定原結(jié)論即可.(2)根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題進(jìn)行求解即可.(1)B(2)D[解析](1)由題設(shè)知,原命題的否定是?x∈0,π2,x≤sinx.(2)因?yàn)槊}p是存在量詞命題,存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題,所以命題p的否定是“所有的等差數(shù)列都不是等比數(shù)列”.故選D.總結(jié)反思全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的否定:①改寫(xiě)量詞:確定命題所含量詞的類(lèi)型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě).②否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.變式題(1)命題“?x>0,ex=x+1”的否定是()A.?x>0,ex≠x+1B.?x≤0,ex≠x+1C.?x>0,ex≠x+1D.?x>0,ex=x+1(2)17世紀(jì),數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解”,這個(gè)猜想被稱(chēng)為費(fèi)馬大定理.則費(fèi)馬大定理的否定為 ()A.對(duì)任意正整數(shù)n,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn都沒(méi)有正整數(shù)解B.對(duì)任意正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解C.存在正整數(shù)n≤2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解D.存在正整數(shù)n>2,關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一組正整數(shù)解變式題(1)A(2)D[解析](1)根據(jù)題意,命題“?x>0,ex=x+1”中含有存在量詞,∴該命題的否定需要將存在量詞改為全稱(chēng)量詞,且只否定結(jié)論,不否定條件,可得命題的否定為“?x>0,ex≠x+1”.故選A.(2)命題的否定要改寫(xiě)量詞,否定結(jié)論,分析選項(xiàng)可知只有D滿(mǎn)足題意.故選D.角度3含量詞命題的應(yīng)用例5(1)若“?x∈[-1,2],-x2+2≥a”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.a>2 B.a≥2C.a>-2 D.a≤-2(2)已知函數(shù)f(x)=x+4xx∈12,1,g(x)=2x+a(x∈[2,3]),若?x1∈12,1,?x2∈[2,3],f(x1[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)題意可知“?x∈[-1,2],-x2+2<a”是真命題,求出-x2+2的最大值,再由此求得a的取值范圍.(2)由?x1∈12,1,?x2∈[2,3],f(x1)≤g(x2),知f(x)max≤g(x)max,分別求出f(x)與g(x)的最大值,列出關(guān)于a(1)A(2)12,+∞[解析](1)若“?x∈[-1,2],-x2+2≥a”是假命題,則“?x∈[-1,2],-x2+2<a”是真命題,當(dāng)x=0時(shí),-x2+2取得最大值2,所以a>2(2)依題意知f(x)max≤g(x)max.因?yàn)閒(x)=x+4x在12,1上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f12=172,因?yàn)間(x)=2x+a在[2,3]上單調(diào)遞增,所以g(x)max=8+a,所以172≤8+a,解得a≥總結(jié)反思根據(jù)命題的真假求參數(shù)的一般步驟:(1)根據(jù)題目條件,推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況);(2)求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍;(3)根據(jù)每個(gè)命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍.變式題(1)已知p:“?x∈R,ax2+2x+1<0”是假命題;q:a∈(1,+∞).則q是p的條件.(從“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中選一個(gè)正確的填入)

(2)[2023·湖北棗陽(yáng)一中月考]若“?x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命題,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是 ()A.(-∞,22] B.2C.(-∞,3] D.9變式題(1)充分不必要(2)C[解析](1)若“?x∈R,ax2+2x+1<0”是假命題,則“?x∈R,ax2+2x+1≥0”是真命題,所以a>0,Δ=4-4a≤0,解得a≥1,故p:a≥1,又q:a∈(2)若“?x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命題,則“?x∈[1,2],2x2-λx+1≥0”是真命題,即?x∈[1,2],λ≤2x+1x.令f(x)=2x+1x,x∈[1,2],則f'(x)=2-1x2=2x2-1x2>0,則f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1)六、課后作業(yè)[A級(jí)基礎(chǔ)練]1．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{－1，0，1，2}，則“a∈M”是“a∈N”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[因?yàn)镸N，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要條件．故選A.]2．命題“?x∈R，1<f(x)≤2”的否定形式是()A．?x∈R，1<f(x)≤2B．?x∈R，1<f(x)≤2C．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2D[存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，原命題的否定形式為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故選D.]3．(2024·江西五校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z＝a2－9＋(a＋3)i(a，b∈R)，則“a＝3”是“z為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C[由題意可知，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－9＝0，,a＋3≠0，))得a＝3，所以“a＝3”是“z為純虛數(shù)”的充要條件．故選C.]4．若命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．a(chǎn)>0B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)≤0D．a(chǎn)≤1B[依題意，命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則有ax2＋1≥0在x∈R上恒成立．當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)a>0時(shí)，ax2＋1≥0成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)a<0時(shí)，曲線(xiàn)y＝ax2＋1開(kāi)口向下，ax2＋1≥0不恒成立．綜上所述，a≥0.故選B.]5．設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，則能表示“開(kāi)關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個(gè)電路圖是()C[選項(xiàng)A，“開(kāi)關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項(xiàng)B，“開(kāi)關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項(xiàng)C，“開(kāi)關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項(xiàng)D，“開(kāi)關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件．故選C.]6．(多選)下列四個(gè)命題中是真命題的有()A．?x∈R，3x>0B．?x∈R，x2＋x＋1≤0C．?x∈R，sinx<2xD．?x∈R，cosx>x2＋x＋1AD[?x∈R，3x>0恒成立，A是真命題；∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，∴B是假命題；由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))＝1>2－eq\f(3,2)π，知C是假命題；取x＝－eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)，x2＋x＋1＝eq\f(3,4)<eq\f(\r(3),2)，則D是真命題．]7．(多選)(2024·湖南常德二模)下列命題中為真命題的是()A．“a－b＝0”的充要條件是“eq\f(a,b)＝1”B．“a>b”是“eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”的既不充分也不必要條件C．命題“?x∈R，x2－2x<0”的否定是“?x?R，x2－2x≥0”D．“a>2，b>2”是“ab>4”的充分條件BD[對(duì)于A(yíng)，由eq\f(a,b)＝1?a－b＝0，但a－b＝0?/eq\f(a,b)＝1，所以eq\f(a,b)＝1是a－b＝0的充分不必要條件，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取a＝2，b＝－1，滿(mǎn)足a>b，但eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以a>b?/eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；同理取a＝－1，b＝2，滿(mǎn)足eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，但a<b，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?/a>b，所以a>b是eq\f(1,a)<eq\f(1,b)的既不充分也不必要條件，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，命題“?x∈R，x2－2x<0”的否定是“?x∈R，x2－2x≥0”，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍>2，b>2?ab>4，但ab>4?/a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要條件，故選項(xiàng)D正確．故選BD.]8．根據(jù)事實(shí)1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42，….寫(xiě)出一個(gè)含有量詞的全稱(chēng)量詞命題：__________________．[解析]觀(guān)察到從1開(kāi)始加，連續(xù)的幾個(gè)正奇數(shù)相加，就得幾的平方，即任意從1開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)正奇數(shù)的和等于n的平方，所以可寫(xiě)為：?n∈N*，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.[答案]?n∈N*，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(答案不唯一，合理即可)9．已知p：x>y>0，q：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，則p是q的________條件．[解析]當(dāng)x>y>0時(shí)，xy>0，所以eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，即p?q.eq\f(1,x)<eq\f(1,y)x>y>0(例如eq\f(1,－2)<eq\f(1,2)，則－2>2>0是錯(cuò)誤的)，即qp．所以p是q的充分不必要條件．[答案]充分不必要10．條件p：x>a，條件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________；(2)若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是________．[解析]設(shè)A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，(1)因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以AB，所以a≥2.(2)因?yàn)閜是q的必要不充