4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第一課時(shí)1.等差數(shù)列的性質(zhì)：若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組,求出首項(xiàng)a1和公差d后再求ap;(2)也可以利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣公式求解,即用d=直接求解;課前回顧2、下標(biāo)和公式：

1、若等差數(shù)列{an}的公差為2,則數(shù)列{3an-2}的公差為(

)A.3 B.4

C.5

D.6解析:(1)∵數(shù)列{an}的公差為2,∴數(shù)列{3an-2}的公差為3×2=6.答案:D

2、在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=10,則(a4+a6)2-2a5=(

)A.100 B.90

C.95

D.20解析:在等差數(shù)列{an}中,∵a2+a8=10,∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5.∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90.答案:B學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用.前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式，下面我們將利用這些知識解決等差數(shù)列的求和問題．據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：自學(xué)指導(dǎo)你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列①的什么性質(zhì)嗎？你能從中得到求數(shù)列①的前n項(xiàng)和的方法嗎？

倒序相加法公式與梯形面積：補(bǔ)成平形四邊形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形兩個(gè)公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an;公式（2）已知d.已知三個(gè)量就可以求出Sn，我們要根據(jù)具體題目，靈活采用這兩個(gè)公式。an=a1+(n-1)d(n-1)d梯形的面積等于中位線乘以高.知三求二例1例1

反思感悟a1,n,d稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量,an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示,五個(gè)量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量a1和d的方程(組)求解,這種方法是解決數(shù)列問題的基本方法.在具體求解過程中應(yīng)注意整體代換思想的運(yùn)用,以便簡化計(jì)算.【變式訓(xùn)練1】

根據(jù)下列條件求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)a1=1,a10=21,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=2,an=32,d=2.所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差．一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個(gè)相互獨(dú)立的條件，這個(gè)數(shù)列就完全確定．例2【變式訓(xùn)練2】

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d;(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.(2)(方法一)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,所以a10=a1+9d=29.(方法二)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由S5=5a3=40,得a3=8.所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,得d=3.所以a10=a3+7d=8+3×7=29.解得n=6或n=7.圖4.2-3中的電子表格A列中A1，A2，A3分別表示p，q，r的值，B列、C列中分別是相應(yīng)的Sn和an的值.判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：（4）前n項(xiàng)和法當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-3n+104,由n=1也適合上式,得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3n+104(n∈N*).當(dāng)n≥35時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn反思感悟求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和需注意以下問題(1)給出數(shù)列{an},要求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和,關(guān)鍵是分清n取什么值時(shí)an≥0或an<0.(2)當(dāng){an}的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù)時(shí),{|an|}的前n項(xiàng)和等于{an}的前n項(xiàng)和;當(dāng){an}的各項(xiàng)都為非正數(shù)時(shí),{|an|}的前n項(xiàng)和等于{an}的前n項(xiàng)和的相反數(shù);當(dāng){an}的某些項(xiàng)為正,某些項(xiàng)為負(fù)時(shí),要對n進(jìn)行分類討論,轉(zhuǎn)化為{an}的前n項(xiàng)和求解,其結(jié)果用分段函數(shù)表示.【變式訓(xùn)練3】

在等差數(shù)列{an}中,a1=-60,a17=-12,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63.令an<0,即3n-63<0,n<21,得等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)是負(fù)數(shù),第20項(xiàng)以后的項(xiàng)是非負(fù)數(shù).設(shè)Sn和S'n分別表示數(shù)列{an}和{|an|}的前n項(xiàng)和.1.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=3,d=2,則S10等于(

)A.120 B.240

C.180

D.280答案:A2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=3,a6=11,則S7等于(

)A.13 B.35

C.49

D.63解析:∵a2+a6=a1+a7=14,答案:C當(dāng)堂檢測（優(yōu)化）3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a5=12,則S9=

.

解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+a9=2a5.答案:1084.已知{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此數(shù)列前10項(xiàng)的和.解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.∵a1+a3+a5=3a3=9,課堂小結(jié)1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2、a1,n,d稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量,an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來表示,五個(gè)量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量a1和d的方程(組)求解.3、求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和需注意給出數(shù)列{an},要求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和,關(guān)鍵是分清n取什么值時(shí)an≥0或an<0.第22頁課后作業(yè)（課本）6．已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261．求此數(shù)列中間一項(xiàng)的值以及項(xiàng)數(shù)．∴此數(shù)列中間一項(xiàng)的值為29，項(xiàng)數(shù)為19．7．（1）求從小到大排列的前n個(gè)正偶數(shù)的和．（2）求從小到大排列的前n個(gè)正奇數(shù)的和．（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和．（4）在小