學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知cosα—cosβ=，sinα—sinβ=-，求sin（α+β)的值。思路分析：考查三角函數(shù)的和差化積公式的應(yīng)用,以及萬能公式.兩個(gè)等式分別用和差化積公式后再相除,得tan的值,再用萬能公式求sin（α+β）的值。解:∵cosα—cosβ=,∴-2sinsin=。①∵sinα—sinβ=-，∴2cossin=—。②①÷②得-tan=-.∴tan=?！鄐in（α+β）===.綠色通道：如果出現(xiàn)系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和差時(shí)，常用到和差化積公式。如果出現(xiàn)弦函數(shù)的積時(shí)，常用到積化和差公式。黑色陷阱:受思維定勢(shì)的影響，如果由已知sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1聯(lián)立方程組,分別解得sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，那么運(yùn)算量就明顯加大,甚至?xí)萑肜Ь?變式訓(xùn)練1已知tanα、tanβ是方程x2+3x—4=0的兩個(gè)根，求的值.思路分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到tanα+tanβ和tanαtanβ，進(jìn)而得到tan(α+β)?？吹絚os2α+cos2β，sin2α+sin2β是系數(shù)相等的同名三角函數(shù)的和，用和差化積公式變形。解：由韋達(dá)定理得tanα+tanβ=—3，tanαtanβ=-4?！?===-。變式訓(xùn)練2把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成積的形式.思路分析：所給的式子是四項(xiàng)的和，要化為積的形式，需考慮適當(dāng)分組，注意到四個(gè)角的特征，顯然應(yīng)將cosx和cos4x組到一起，將cos2x和cos3x組到一起，這樣可以在分別化積之后產(chǎn)生公因式，提取公因式后再繼續(xù)化積.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x）+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos）=4coscosxcos.例2（2005重慶高考卷,文17)若函數(shù)f(x）=+sinx+a2sin（x+）的最大值為+3，試確定常數(shù)a的值.思路分析:考查三角函數(shù)公式，以及利用三角函數(shù)的有界性來求最值的問題。化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為Asin（ωx+φ)的形式，再確定常數(shù)a的值.解:f（x）=+sinx+a2sin(x+)=+sinx+a2sin(x+)=sinx+cosx+a2sin(x+)=sin(x+)+a2sin(x+）=(+a2）sin（x+）.∵f(x)的最大值為+3,sin(x+）的最大值為1，∴+a2=+3.∴a=±.綠色通道：討論三角函數(shù)的最值問題時(shí)，經(jīng)過三角恒等變換,化歸為y=Asin(ωx+φ)的形式求解,有時(shí)化歸為二次函數(shù)求解。變式訓(xùn)練求函數(shù)y=cos3x·cosx的最值。思路分析：由于是弦函數(shù)積的形式，則利用化積公式,將兩個(gè)角的余弦化為一個(gè)角的三角函數(shù)值，從而轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.解:y=cos3x·cosx=(cos4x+cos2x）=(2cos22x—1+cos2x)=cos22x+cos2x—=（cos2x+）2-.∵cos2x∈［—1，1］，∴當(dāng)cos2x=—時(shí)，y取得最小值-；當(dāng)cos2x=1時(shí),y取得最大值1，即函數(shù)y=cos3x·cosx的最大值是1，最小值是—。問題探究問題1）試分別計(jì)算cosA+cosB+cosC—4sinsinsin的值.①在等邊三角形ABC中；②A=60°，B=90°，C=30°；③A=120°，B=30°，C=30°。(2）由（1）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？并加以證明.（3)利用(2）的結(jié)論計(jì)算-2cos10°—2cos99.8°-2cos70。2°+8sin5°sin49.9°sin35.1°的值.導(dǎo)思:從A+B+C上歸納并猜想出結(jié)論。探究:（1)①由題意得A=B=C=60°，cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60°+cos60°+cos60°-4sin30°sin30°sin30°=++—4×××=1；②cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=cos60°+cos90°+cos30°—4sin30°sin45°sin15°=+0+-4×××=1；③cosA+cosB+cosC—4sinsinsin=cos120°+cos30°+cos30°-4sin60°sin15°sin15°=—++—4×sin215°=—+—×(1-cos30°)=1.（2）在（1）①中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC-4sinsinsin=1；在（1)②中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC—4sinsinsin=1；在(1)③中A+B+C=180°，有cosA+cosB+cosC—4sinsinsin=1。猜想：當(dāng)A+B+C=180°時(shí),有cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin.證明：當(dāng)A+B+C=180°時(shí)，有A+B=180°-C，即=90°-，∴cosA+cosB+cosC=2coscos+1—2sin2=2cos（90°-）cos+1—2sin2=2sincos—2sin2+1=2sin（cos-sin）+1=2sin（cos—cos）+1=2sin(-2）sinsin(-)+1=4sinsinsin+1?！郼osA+cosB+cosC=1+4sinsinsin。（3）∵10°+99.8°+