專題02相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；例1．（2023·山西呂梁·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．

例2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．例3.（2022.山西九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．例5．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．例6．（2023·浙江·九年級(jí)期末）（1）如圖1，在中，為上一點(diǎn)，．求證：．（2）如圖2，在中，是上一點(diǎn)，連接，．已知，，．求證：．（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，、相交于點(diǎn)．已知的半徑為2，，，，求四邊形的面積．例7．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校净A(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連結(jié)，，，若，，，求的長(zhǎng)；【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為中邊上一點(diǎn)，則添加下列條件不能判定的是（

）

A．B．C．D．2．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，于點(diǎn)，下列關(guān)系中不正確的是（

）

A．B．C．D．3．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，在中，D是上的點(diǎn)，，，，則與的面積比為（

）

A． B． C． D．4．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．5．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

6．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，分別交對(duì)角線于點(diǎn)，若，則的值為．7．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，，則的值為_(kāi)_______．8．（2022秋·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D是的邊上一點(diǎn)，已知，，，若的面積為9，則的面積為．

9．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長(zhǎng)．

10．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

11．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．12．（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．13．（2023·廣西梧州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，P是AB上一點(diǎn)，連接CP，B=ACP，求證：．14．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．15．（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D是的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使．(1)說(shuō)明．(2)，，求線段AC的長(zhǎng)．16．（2022秋·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．（1）求證：△ACP∽△PDB；（2）當(dāng)AC＝4，BD＝9時(shí)，試求CD的值．17．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，平分，連接交于.(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng).18．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考一模