專題03相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時，對于同學(xué)們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2023秋·福建泉州·九年級?？计谀﹩栴}背景：（1）如圖①，已知，求證：；嘗試應(yīng)用：（2）如圖②，在和中，，，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：（3）如圖③，D是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求AD的長．例2．（2023秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）【模型呈現(xiàn)：材料閱讀】如圖，點(diǎn)，，在同一直線上，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，和均為等邊三角形，，交于點(diǎn)，對于上述問題，存在結(jié)論（不用證明）：（1）（2）可以看作是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成；…【模型改編：問題解決】點(diǎn)，在直線的同側(cè)，，，，直線，交于，如圖1：點(diǎn)在直線上，①求證：；

②求的度數(shù)．

如圖2：將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一定角度．③補(bǔ)全圖形，則的度數(shù)為______；④若將“”改為“”，則的度數(shù)為______．（直接寫結(jié)論）【模型拓廣：問題延伸】如圖3：在矩形和矩形中，，，，連接，，求的值．

圖1

圖2

圖3例3．（2023春·湖北黃岡·九年級專題練習(xí)）【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長．例4．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，．點(diǎn)D是所在平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時，求證：．(2)當(dāng)時，請判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系是_____，并僅就圖2的情形說明理由．(3)當(dāng)時，且時，若，，點(diǎn)E在上方，求的長．例5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點(diǎn)．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．例6．（2023·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）問題背景：一次小組合作探究課上，小明將一個正方形和等腰按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)、、在同一條直線上），其中．小組同學(xué)進(jìn)行了如下探究，請你幫助解答：初步探究（1）如圖，將等腰繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，．請直接寫出與的關(guān)系；（2）如圖，將（1）中的正方形和等腰分別改成菱形和等腰，其中，，其他條件不變，求證：；深入探究：（3）如圖，將（1）中的正方形和等腰分別改成矩形和，其中且，其它條件不變．①探索線段與的關(guān)系，說明理由；②連接，若，，直接寫出________．例7．（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·北京順義·九年級校考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．連接BD，CE．則的值為（

）A． B． C． D．22．（2023春·浙江金華·九年級校考期中）如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江麗水·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作，，垂足分別為E，F(xiàn)．連接EF交線段CD于點(diǎn)O，若，，則的值為（

）．A． B．4 C． D．64．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞著點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在CA的延長線上，得到，連接，交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)G落在對角線上，延長交于點(diǎn)H，則的長為．

6．（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，將邊長為3的菱形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)．若，則的長為．7．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將繞A點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于．8．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，．(1)求證：；(2)若，，求．

9．（2023·安徽滁州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點(diǎn)P、M．求證：(1)；(2)．

10．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）問題背景：如圖，在中，，，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，的延長線交于點(diǎn)．問題探究：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，證明．①先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)時，證明：；②再探究一般情形，如圖，當(dāng)不垂直時，證明：；拓展探究：（2）如圖3，若的延長線交的延長線于點(diǎn)時，直接寫出一個等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系．

11．（2022·河南·九年級專題練習(xí)）規(guī)定：有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖，四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形．（1）問題聯(lián)想：如圖①，嵌套四邊形ABCD，AMPN都是正方形，現(xiàn)把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)150°得到正方形AM'P'N'，連接BM'，DN'交于點(diǎn)O，則BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系為_____，位置關(guān)系為_____；（2）類比探究：如圖②，將（1）中的正方形換成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請給出正確的結(jié)論，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，將（1）中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形，旋轉(zhuǎn)角換成α（90°＜α＜180°），其他條件不變，請直接寫出BM'與DN'的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．12．（2023·山東青島·模擬預(yù)測）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點(diǎn)F，連接．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請你幫忙解答：(1)【初步探究】如圖2，當(dāng)時，則_____；(2)【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系：_________；(3)【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（），連接，，延長交于點(diǎn)F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2023秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出

如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系.問題探究

（1）先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)時，直接寫出的大小；（2）再探究一般情形，如圖1，求與的數(shù)量關(guān)系.問題拓展

將圖1特殊化，如圖3，當(dāng)時，若，求的值.

14．（2023春·河南·九年級專題練習(xí)）由兩個頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，兩個等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點(diǎn)P，和的數(shù)量關(guān)系是；和的位置關(guān)系是；(2)【類比探究】如圖2所示，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，分別以、為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段、于點(diǎn)M、N．①求的度數(shù)；②連接交于點(diǎn)H，直接寫出的值；(3)【拓展延伸】如圖3所示，已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，，和為同側(cè)的兩個等邊三角形，連接交于N，連接交于M，連接，直接寫出線段的最大值．15．（2023秋·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習(xí)）類比探究【問題背景】已知D、E分別是的邊和邊上的點(diǎn)，且，則把繞著A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接和．

①如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形__________②若，，，則__________．【遷移應(yīng)用】在中，，，D、E、M分別是、、中點(diǎn)，連接和．①如圖3，寫出和的數(shù)量關(guān)系__________；②如圖4，把繞著點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)D落在上時，連接和，取中點(diǎn)N，連接，若，求的長．

【創(chuàng)新應(yīng)用】如圖5：，，是直角三角形，，，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且，連接，請直接寫出的取值范圍．

16．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，正方形和正方形（其中，連接，交于點(diǎn)，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）如圖2，矩形和矩形，，，，將矩形繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，交于點(diǎn)，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

17．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，中，，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)平分時，與交于點(diǎn)，