第2章軸對(duì)稱圖形本章知識(shí)綜合運(yùn)用內(nèi)容預(yù)覽內(nèi)容預(yù)覽有關(guān)概念有關(guān)概念●●1、軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.◆軸對(duì)稱的性質(zhì)：1.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；2.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.拓展：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱.●●2、軸對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫對(duì)稱軸.◆軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系：●●3、線段的垂直平分線的概念：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條直線的垂直平分線.◆線段的垂直平分線必須滿足兩個(gè)條件：1.經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)；2.垂直于這條線段.注意：線段的垂直平分線是一條直線，而不是一條線段，且只有一條.●●4、等邊三角形：三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形●●1、線段：線段是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸，分別是線段所在直線和線段的垂直平分線.◆線段的垂直平分線性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．拓展：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.◆線段的垂直平分線判定定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.●●2、角：角是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.◆角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.拓展：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等.◆角平分線判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.●●3、等腰三角形：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線（也可以說(shuō)是底邊上的中線或底邊上的高）所在的直線是它的對(duì)稱軸.◆等腰三角形性質(zhì)定理：1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）；2.等腰三角形的頂角平分線與底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.◆等腰三角形判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).◆直角三角形性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.注意：該定理需滿足兩個(gè)條件：1.直角三角形；2.斜邊上的中線.●●4、等邊三角形：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，角平分線（也可以說(shuō)是三邊上的中線或三邊上的高）所在的直線是它的對(duì)稱軸◆等邊三角形性質(zhì)定理：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°．拓展：等邊三角形每條邊都能運(yùn)用三線合一這性質(zhì).◆等邊三角形判定定理：1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.2.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖●●1、畫(huà)已知圖形的對(duì)稱圖形（“三步法”）：一找——找已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；二畫(huà)——根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的位置關(guān)系畫(huà)出各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；三連——按照已知圖形的形狀連接各對(duì)稱點(diǎn)，得到所要求作的圖形.●●2、用尺規(guī)作線段的垂直平分線●●3、已知底邊及底邊上的高作等腰三角形軸對(duì)稱圖形的識(shí)別題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別題型一【例題】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（

）A．B．C．D．【變式1】（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）垃圾分類(lèi)標(biāo)識(shí)中的圖形是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形且對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（

）A．B．C．D．【變式3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖（1），小強(qiáng)拿一張正方形的紙，沿虛線對(duì)折一次得圖（2），再對(duì)折一次得圖（3），然后用剪刀沿圖（3）中的虛線剪去一個(gè)角，再打開(kāi)后的形狀是（）A． B． C． D．【變式4】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的正方形方格中，陰影部分是涂黑3個(gè)小正方形所形成的圖案．

(1)若將方格內(nèi)空白的兩個(gè)小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，涂法共有種．(2)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中至少畫(huà)出具有不同對(duì)稱軸的三個(gè)方案，并畫(huà)出對(duì)稱軸．軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用題型軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用題型二【例題1】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若△ABC與關(guān)于直線MN對(duì)稱，交MN于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【變式11】（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市金陵匯文學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，，將其折疊，使點(diǎn)落在邊上處，折痕為，則（

）A． B． C． D．【變式12】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）將一張長(zhǎng)方形紙片按圖2所示折疊后，再展開(kāi)．如果，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．無(wú)法確定【變式13】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．（1）在圖中作出關(guān)于直線的對(duì)稱圖形（要求點(diǎn)與，與，與相對(duì)應(yīng)）．（2）在直線上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。纠}2】（（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊(duì)從A處出發(fā)，先到公路m上設(shè)卡檢查，再到公路n上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)B地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？畫(huà)出圖形并說(shuō)明做法．【變式21】（（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線l是一條公路，A、B是兩個(gè)村莊．欲在l上的某點(diǎn)處修建一個(gè)車(chē)站，直接向A、B兩地提供乘車(chē)服務(wù)．現(xiàn)有如下四種建設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的行走道路，則鋪設(shè)道路最短的方案是（

）A．B．C． D．【變式22】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD邊上分別找到點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為．線段的軸對(duì)稱性題型線段的軸對(duì)稱性題型三【例題1】(2023·全國(guó)·單元測(cè)試)如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則A.5cm B.10cm C.15cm【變式11】(2023·湖南省·單元測(cè)試)如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為6，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+CP的最小值(

)

A.10 B.6 C.4 D.2【變式12】（2023秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG=30°，則∠【變式13】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）三個(gè)村莊A、B、C（其位置如圖所示）準(zhǔn)備修建一口水井，要求水井到三個(gè)村莊的距離相等，水井應(yīng)該修在什么地方呢，你能找到嗎？（寫(xiě)出作法，并保留作圖痕跡）【變式14】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為線段CE的中點(diǎn)，且BE(1)求證：AD⊥(2)若∠C=70°，求【例題2】(2023·陜西省渭南市·模擬題)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．求證：AD垂直平分EF．

【變式21】（2022·廣西梧州·梧州市第一中學(xué)校考三模）將長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則線段BE與AC的關(guān)系是（）A．AC=BE B．AC⊥C．AC⊥BED．AC⊥BE【變式22】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周長(zhǎng)；（2）設(shè)直線DM、EN交于點(diǎn)O①試判斷點(diǎn)O是否在BC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；②若∠BAC=100°，求∠BOC的度數(shù)【例題3】（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考二模）今年是“一帶一路”倡議提出及建設(shè)開(kāi)啟的十周年．十年來(lái)，我國(guó)與151個(gè)國(guó)家、32個(gè)國(guó)際組織簽署了200余份共建“一帶一路”合作文件，在基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、能源建設(shè)、交通運(yùn)輸、脫貧等多個(gè)方面取得成果，為多個(gè)國(guó)家的合作發(fā)展帶來(lái)好消息．如圖，北京與雅典、莫斯科建立了“一帶一路”貿(mào)易合作關(guān)系，記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到A，B，C三地的距離相等，那么如何選擇中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置？請(qǐng)你用尺規(guī)作圖設(shè)計(jì)出中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置P，保留作圖痕跡，不用說(shuō)明理由，并在答題卡上描黑作圖痕跡．【變式31】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABCAB<BC<AC，用尺規(guī)在AC上確定一點(diǎn)PA． B．C． D．【變式32】（2023春·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖2，一條筆直的公路MN同一側(cè)有兩個(gè)村莊A和B，現(xiàn)準(zhǔn)備在公路MN上修一個(gè)公共汽車(chē)站點(diǎn)P，使站點(diǎn)P到兩個(gè)村莊A和B的距離相等．請(qǐng)你用尺規(guī)作圖找出點(diǎn)P的位置，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．

角的軸對(duì)稱性題型角的軸對(duì)稱性題型四【例題1】（2021·福建泉州·八年級(jí)南區(qū)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上．（1）求證：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長(zhǎng)．【變式11】（2023春·江蘇·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線．若AC＝6，AB＝10，則S△ABD：S△ACD為（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5【變式12】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OBA．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB【例題2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某個(gè)居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個(gè)大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請(qǐng)確定該超市的位置P．【變式21】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)可選的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【變式22】（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某地有兩個(gè)村莊M，N，和兩條相交的公路OA，OB，現(xiàn)計(jì)劃在∠AOB內(nèi)修建一個(gè)物資倉(cāng)庫(kù)P，希望倉(cāng)庫(kù)到兩個(gè)村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請(qǐng)你確定物資倉(cāng)庫(kù)P【例題3】（2022春·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，，M是EF的中點(diǎn)，只需添加，就可使CM，AM分別為∠【變式31】（2020秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線上；④點(diǎn)P在∠BAC，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式32】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，

(1)求證：AE平分∠BAD(2)判斷AB、CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若AD=10，CB=8，求

等腰三角形的軸對(duì)稱性題型等腰三角形的軸對(duì)稱性題型五【例題1】（2023秋·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BCA．30° B．25° C．22.5° D．21°【變式11】（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=50°，點(diǎn)P在線段AC上且不與A、CA．60° B．65° C．80° D．130°【變式12】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式13】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在△ABC中，點(diǎn)D,E是邊BC上的兩點(diǎn)．若AB=AC【例題2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式21】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，點(diǎn)D在AC的垂直平分線DF上，AE平分A．3 B．4 C．5 D．6【變式22】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一個(gè)直角三角形中，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形，其作法不一定正確的是（

）A．B．C． D．【變式23】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，ED的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F(1)求證：△ABC(2)當(dāng)∠F=______度時(shí)，【變式24】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖△ABC中AB=6cm，AC=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過(guò)D

(1)求證：△DFC(2)求△AEF【變式25】（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段a，b．求作：等腰△ABC，使得△ABC的底邊BC等于a，底邊上的高等于等邊三角形的軸對(duì)稱性題型等邊三角形的軸對(duì)稱性題型六【例題1】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD(1)求證：△AEB(2)求∠EPQ(3)若BQ⊥AD于Q，【變式11】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是等邊△ABC的中線，AE=AD，則∠A．30° B．20° C．25° D．15°【變式12】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，AD平分∠BAC，若BD=3，則ABA．4 B．5 C．6 D．7【變式13】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC邊上的高線

【例題2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是（

A．∠A=∠BC．∠A=60°,∠B=60° D【變式21】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上的中點(diǎn)，若∠BAD=30°，BDA．6 B．8 C．10 D．12【變式22】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE