2.3用公式法求解一元二次方程（第2課時利用一元二次方程解決面積問題）第二章

一元二次方程CBDA公式法解方程的步驟1.變形:化已知方程為一般形式;

2.確定系數(shù):用a,b,c寫出各項(xiàng)系數(shù);3.計(jì)算:b2-4ac的值;4.判斷：若b2-4ac≥0，則利用求根公式求出;若b2-4ac<0，則方程沒有實(shí)數(shù)根.課前熱身

用公式法解方程5x2-4x-12=0.解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用一元二次方程解決與面積有關(guān)的實(shí)際問題.（重點(diǎn)）問題引入問題某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外一條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_____________________.CBDA利用一元二次方程解決面積問題問題：在一塊長16m,寬12m的矩形荒地上,要建造上個花園,并使花園所占面積為荒地面積的一半.16m12m看一看：下面幾位同學(xué)的設(shè)計(jì)方法是否合理？小明設(shè)計(jì)：如右圖所示.其中花園四周小路的寬都相等.通過解方程,得到小路的寬為2m或12m.問題：他的結(jié)果對嗎？你能將小明的解答過程重現(xiàn)嗎？解：設(shè)小路的寬為xm,根據(jù)題意得：即x2-14x+24=0.

解方程得x1=2,x2=12.

將x=12

代入方程中不符合題意舍去.答：小路的寬為2m.16m12mxx解：設(shè)扇形半徑為xm,根據(jù)題意得：即πx2=96.

解方程得x1=,

x2=(舍去),答：扇形半徑約為5.5m.小亮設(shè)計(jì)：如右圖所示.其中花園每個角上的扇形都相同.16m12m問題：你能幫小亮計(jì)算一下這個扇形的半徑是多少嗎？

小穎設(shè)計(jì)：如右圖所示.其中花園是兩條互相垂直的小路,且它的寬都相等.16m12mxmxm問題：你能幫小穎計(jì)算一下圖中x嗎？解：設(shè)小路的寬為xm,根據(jù)題意得：即x2-28x+96=0.

解方程得x1=4,x2=24,

將x=24

代入方程中不符合題意舍去答：小路的寬為4m.典例精析例1：要設(shè)計(jì)一本書的封面,封面長27㎝,寬21cm正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)27cm21cm

分析:這本書的長寬之比

：

正中央的矩形長寬之比

：

，上下邊襯與左右邊襯之比

：

.97979727cm21cm解：設(shè)中央長方形的長和寬分別為9a和7a由此得到上下邊襯寬度之比為：解:設(shè)上下邊襯為9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:方程的哪個根合乎實(shí)際意義?為什么?試一試：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？27cm21cm解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得解得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:例2：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動；同時點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止移動.問點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？解：若設(shè)出發(fā)xs后可使△PCQ的面積為9cm2根據(jù)題意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm整理，得解得

x1=x2=3答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.方法點(diǎn)撥

主要集中在幾何圖形的面積問題,這類問題的面積公式是等量關(guān)系.如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;例4：如圖：要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB和BC的長分別是多少米？解：設(shè)AB長是xm.(100-4x)x=400.

x2-25x+100=0.

x1=5，x2=20.

x=20,100-4x=20<25.

x=5,100-4x=80>25，

x=5(舍去).答：羊圈的邊長AB和BC的長分別是20m,20m.DCBA25米幾何圖形與一元二次方程問題幾何圖形常見幾何圖形面積是等量關(guān)系.類型課本封面問題彩條/小路寬度問題常采用圖形平移,聚零為整,方便列方程（2020?徐州）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm．在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子．當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2？解：設(shè)剪去正方形的邊長為xcm，則做成無蓋長方體盒子的底面長為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣2x）cm，高為xcm，當(dāng)x＝10時，20﹣2x＝0，不合題意，舍去根據(jù)題意：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200（2020?巴彥淖爾）如圖，某小區(qū)有一塊長為30m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為多少米？解：設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長為（30﹣3x）m，寬為（24﹣2x）m，由已知得：（30﹣3x）?（24﹣2x）