學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1。平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2。我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.對(duì)于平面向量基本定理應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；（2）由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解;（3)基底給定時(shí)，分解形式唯一,λ1,λ2是被a,e1，e2唯一確定的數(shù)量。由平面向量基本定理知，平面內(nèi)任意一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.一個(gè)平面向量用一組基底e1、e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我們稱它為向量的分解。特別地，當(dāng)e1、e2互相垂直時(shí)，就稱為向量的正交分解。深化升華對(duì)于一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底必須是不共線的,對(duì)于一個(gè)平面向量,可以選擇不同的基底，基底的選擇不同，則對(duì)于同一個(gè)非零向量的表示也不同。由這個(gè)定理還可以看出，平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解為兩個(gè)向量的和.學(xué)法一得當(dāng)沿兩個(gè)不共線的方向分解一個(gè)向量時(shí)，可對(duì)比于物理中力的分解.λ1e1+λ2e2叫做e1、e2的一個(gè)線性組合.由平面向量的基本定理知,若e1、e2不共線,那么由e1、e2的所有線性組合構(gòu)成的集合｛λ1e1+λ2e2，λ1、λ2∈R｝就是平面內(nèi)的全體向量，所以我們把e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。平面向量基本定理雖然沒有指出λ1、λ2的計(jì)算方法，但它卻和平行向量、基本向量一起，深刻地揭示了平面向量的基本結(jié)構(gòu)，是繼續(xù)深入研究向量的基礎(chǔ)。同時(shí)這個(gè)定理體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，在用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕谆瘹w，從而導(dǎo)致問題的解決。2。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，任意一點(diǎn)M可以用坐標(biāo)來表示，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)M確定之后，也可以確定一個(gè)以原點(diǎn)為起點(diǎn)而以M為終點(diǎn)的向量.由于平移不改變向量的方向和大小,所以，所有向量都可以通過平移，把它的起點(diǎn)移到原點(diǎn)，此時(shí)向量的終點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo),我們把該點(diǎn)坐標(biāo)稱為該向量的坐標(biāo)。深化升華由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，平面內(nèi)任一向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是指把該向量的起點(diǎn)移至原點(diǎn)，終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).如圖2—3-2，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a圖2-3-2則向量的坐標(biāo)（x,y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y）也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.聯(lián)想發(fā)散前面用有向線段來表示向量的幾何特征,現(xiàn)在又用坐標(biāo)將向量代數(shù)化，這樣就達(dá)到了數(shù)與形的結(jié)合，為利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題奠定了基礎(chǔ).一般地，對(duì)于向量a,當(dāng)它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)時(shí),其終點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)稱為向量a的坐標(biāo)。誤區(qū)警示一個(gè)向量對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)坐標(biāo),但是反過來，一個(gè)坐標(biāo)可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)向量,這些向量是相等的.所以平面上的向量與它們坐標(biāo)之間并非是一一對(duì)應(yīng)的,例如，若點(diǎn)A不與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x,y），則向量的坐標(biāo)不是（x，y）。只有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量和坐標(biāo)之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.當(dāng)我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底時(shí)，任作一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi+yj,特別地，i=(1，0),j=(0，1），0=(0,0）。辨析比較有了平面向量的坐標(biāo)之后,要將點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的,但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同，如A（0,1），B(2,3)，則=（2，2)；若C（1,2）,D(3,4）,則=（2,2)，顯然和是相等的向量,但A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同。此外，向量和坐標(biāo)之間是用“=”連接的,但點(diǎn)和坐標(biāo)之間卻無任何符號(hào)，比如“=(2,2)"和“A（0,1）"這些表示方法是正確的，但“（2，2）"和“A=(0,1)”這些表示方法卻是錯(cuò)誤的.聯(lián)想發(fā)散平面內(nèi)任一向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)與該向量分別在x軸、y軸上的投影線段的長(zhǎng)度有關(guān).根據(jù)兩條線段的投影長(zhǎng)度,結(jié)合終點(diǎn)所在象限的符號(hào),即可確定坐標(biāo).（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算當(dāng)向量用坐標(biāo)表示時(shí),向量的和、差及向量的數(shù)乘也都可以用相應(yīng)的坐標(biāo)來表示.①若a=（x1,y1），b=（x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2），a-b=（x1-x2,y1—y2）。即兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.證明如下：設(shè)基底為i、j，則a+b=(x1i+y1j）+(x2i+y2j）=(x1+x2)i+（y1+y2）j,即a+b=(x1+x2，y1+y2），同理可得a—b=(x1—x2，y1-y2).②若a=（x,y)和實(shí)數(shù)λ，則λa=（λx，λy).即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。證明如下：設(shè)基底為i、j，則λa=λ（xi+yj）=λxi+λyj，即λa=(λx，λy)。特別地,若A（x1,y1）,B（x2,y2），則=(x2—x1,y2—y1）.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。這是因?yàn)?=(x2,y2）-（x1，y1)=（x2—x1,y2—y1）。記憶要訣實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算與實(shí)數(shù)與向量的積的分配律很類似。因此，可對(duì)比實(shí)數(shù)與向量的積的分配律進(jìn)行記憶.深化升華向量的坐標(biāo)表示為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁，向量的坐標(biāo)表示實(shí)際是向量的代數(shù)表示,使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,為幾何問題的解決又提供了一種嶄新的方法.這是因?yàn)檫@樣可以使很多幾何問題的證明,轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向量的重要目的之一。3.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（a≠0)，如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0；反過來，如果x1y2-x2y1=0，那么a∥b.證明：a=（x1,y1)，b=(x2,y2）,因?yàn)閍≠0,所以x1,y1不全為0，不妨設(shè)x1≠0。如果a∥b，則有b=λa，得(x2，y2)=λ(x1，y1)消去λ,即可得x1y2-x2y1=0。但應(yīng)注意消去λ時(shí)不能兩式相除，這是因?yàn)閥1,y2有可能為0。由于x1≠0，則λ=，代入②即可。反過來，如果x1y2-x2y1=0，由于x1≠0,則有y2=y1，則（x2,y2）=(x2，y1）=(x1,y1)，即有b=λa，所以a∥b。對(duì)于向量平行的坐標(biāo)表示中x1y2-x2y1=0不能寫成=，這是因?yàn)閤1,x2有可能為0。有了向量平行的坐標(biāo)表示，向量平行的條件有兩種形式:a∥b(b≠0)誤區(qū)警示在定理中沒有說明向量b是否是非零向量，a明確說明是非零向量，這是因?yàn)楫?dāng)向量b是零向量時(shí)，則存在λ=0使得b=λa成立；而當(dāng)a是零向量時(shí),即使等式b=λa成立，等式中的實(shí)數(shù)λ也唯一確定，定理不成立。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理例1如圖2-3—3,，不共線，=(t∈R），用,表示。圖2思路分析：本題利用平面向量基本定理.解：∵，∴=+t()==(1—t）+.方法歸納利用兩個(gè)不共線的向量表示這兩個(gè)向量所在平面內(nèi)的任意一向量時(shí),應(yīng)把這些向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，構(gòu)造三角形,利用向量加、減法的三角形法則來處理問題.例2設(shè)兩非零向量e1和e2不共線.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2，=3（e1-e2）,求證：A、B、D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ke1+e2和e1+ke2共線.思路分析：要證明A、B、D三點(diǎn)共線，需證明存在λ,使=λ（e1+e2)即可.而若ke1+e2和e1+ke2共線,則一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2).（1)證明：∵=e1+e2,=2e1+8e2+3e1—3e2=5（e1+e2)=，∴、共線.又有公共點(diǎn)B,∴A、B、C三點(diǎn)共線。(2)解：∵ke1+e2和e1+ke2共線，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2），則（k—λ)e1=（λk—1)e2,由于e1與e2不共線，只能有則k=±1。方法歸納本題是兩個(gè)向量共線的充要條件的應(yīng)用，只需根據(jù)以其中某一點(diǎn)為起點(diǎn),以另外兩點(diǎn)為終點(diǎn)的向量a、b共線，則存在實(shí)數(shù)λ使得a=λb（b≠0),然后利用待定系數(shù)法確定參數(shù)值.深化升華由平面向量基本定理可以得到以下兩條常用的性質(zhì)：(1)設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量，若me1+ne2=se1+te2(m、n、s、t為實(shí)數(shù)），則有(2)設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量，若me1=ne2，則有m=n=0。例3如圖2-3-4,設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),PQ∥BC，且=,=a，=b,=c,試求、.圖2思路分析：根據(jù)條件,考慮用三角形法則求、，即由，，再利用平面幾何及向量知識(shí)求出、便可解決問題.解:由平面幾何知識(shí)知△APQ∽△ABC,且對(duì)應(yīng)邊之比為t，故==。又A、P、B與A、Q、C分別共線，即知=，=,∴+=+(）=a+(b-a），即=a+b。+（）=a+(c-a），即=a+c.方法歸納利用三角形法則求某一向量時(shí)，選取第三個(gè)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)注意恰當(dāng)性，如本題中,若采用，，雖然也可求出、,但計(jì)算過程就顯得復(fù)雜些.知識(shí)點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4已知A(1，2）,B(3，2），向量a=（x+3，x2-3x—4)與向量相等，則x的值為__________。思路解析：由于=（3，2)-（1,2）=(2，0)，a=（x+3，x2—3x-4），則有解得x=-1.答案：-1誤區(qū)警示兩個(gè)向量相等,則它們的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別相等。解這類題易出現(xiàn)只利用橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等來建立方程求解，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，比如在本題中若只利用縱坐標(biāo)相等，則可得x2-3x—4=0，解得x=-1或x=4，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。例5(1)已知三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,—5),F3=（x,y）的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標(biāo)。(2）若M（3,-2）,N（-5，—1)且=,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析：本題利用向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.解:（1）由題設(shè)F1+F2+F3=0得（3，4)+(2,-5）+（x，y)=(0，0),即∴∴F3=(—5，1）.（2）設(shè)P(x,y)，則(x-3,y+2)=(—8，1）=（—4，）?！唷唷郟點(diǎn)坐標(biāo)為（—1，—）.深化升華定義了向量的坐標(biāo)后，給向量的運(yùn)算（加、減、向量的數(shù)乘)帶來了方便，也為向量和代數(shù)建立起了聯(lián)系的紐帶.例6（1)若向量a=(-1,x）與b=（-x,2)共線且方向相同，求x.(2）已知A(-1,-1),B(1,3)，C(1,5），D（2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路分析:本題利用向量平行條件和運(yùn)算及應(yīng)用向量平行條件解決直線平行問題。解：(1）∵a=(-1,x）與b=(—x，2）共線,∴(-1)×2-x·（—x）=0?！鄕=±?！遖與b方向相同,∴x=。(2)∵=（1—（—1),3-（—1）)=(2，4），=（2-1，7-5)=（1,2),又∵2×2—4×1=0，∴∥。又∵=（1—(—1),5-(-1）)=(2,6)，=（2，4),2×4-2×6≠0，∴與不平行。∴A、B、C不共線?！郃B與CD不重合?！郃B∥CD.方法歸納當(dāng)向量用坐標(biāo)表示時(shí),在解決與向量平行的有關(guān)問題時(shí)，一般利用坐標(biāo)表示向量平行的條件。但如果涉及到方向問題時(shí)，要進(jìn)一步進(jìn)行檢驗(yàn).例7已知點(diǎn)A（2，3)、B（5，4）、C（7，10）,若(λ∈R）.(1)試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上.(2)試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限。(3）四邊形ABCP能是平行四邊形嗎？若能,求出相應(yīng)的λ值；若不能,請(qǐng)說明理由。思路分析：本題利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.解:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則=（x，y)—(2，3）=（x—2，y—3),=(5，4)—(2,3)+λ[（7,10）-（2，3)］=(3，1)+λ(5,7）=(3+5λ，1+7λ）。由于(λ∈R)，所以(x-2，y—3）=(3+5λ，1+7λ）。所以即(1)若點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上,則有5+5λ=4+7λ,解得λ=.即當(dāng)λ=時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上.（2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則有解得λ＜—1。即當(dāng)λ＜-1時(shí),點(diǎn)P在第三象限.(3)由于=（7，10)—（5，4）=(2，6）,=（3+5λ，1+7λ)，若四邊形ABCP是平行四邊形，則應(yīng)有此方程組無解，即不存在λ使，所以四邊形ABCP不能是平行四邊形.方法歸納引進(jìn)向量的坐標(biāo)后，向量的基本運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算，可以解方程，可以解不等式,總之把問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域即可。誤區(qū)警示一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).而在進(jìn)行向量的這種坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，容易混淆，易記成起點(diǎn)坐標(biāo)減去終點(diǎn)坐標(biāo)從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，例如本題中在求的坐標(biāo)時(shí)，易出現(xiàn)=（2，3）—(x，y）=（2—x，3-y)的錯(cuò)誤表示，從而導(dǎo)致本題的錯(cuò)解.深化升華向量的坐標(biāo)表示為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁,向量的坐標(biāo)表示實(shí)際是向量的代數(shù)表示,使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，為幾何問題的解決又提供了一種嶄新的方法.例8如果向量=i-2j,=i+mj,其中i、j分別表示x軸、y軸正方向上的單位向量,試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線。思路分析：本題利用向量平行的條件解決三點(diǎn)共線的問題.解法一：由于A、B、C三點(diǎn)共線,即、共線，所以存在實(shí)數(shù)λ使=λ。即i-2j=λ(i+mj），由此可得所以m=-2.解法二：由于i=（1，0),j=（0,1），則=i-2j=（1，0)—2（0,1）=（1,-2），=i+mj=(1,m)，而、共線，所以有1×m—1×（—2)=0。所以m=-2。故當(dāng)m=—2時(shí),A、B、C三點(diǎn)共線.方法歸納向量共線的幾何表示和坐標(biāo)表示形式不同但實(shí)質(zhì)一樣，在解決問題時(shí)要注意選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉硎褂?例9將向量u=（x,y）與向量v=(y,2y-x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v=f(u）表示.（1)證明對(duì)于任意向量a、b及常數(shù)m、n恒有f（ma+nb)=mf(a）+nf(b)成立.（2）設(shè)a=(1，1),b=(1，0）,求向量f(a）及f(b）的坐標(biāo).（3)求使f（c)=(p，q)（p,q為常數(shù)）的向量c的坐標(biāo).思路分析：為應(yīng)用題設(shè)條件,必須將向量用坐標(biāo)表示,通過坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算,從而使問題解決。（1）證明:設(shè)a=（a1，a2),b=（b1,b2),則ma+nb=（ma1+nb1,ma2+nb2)，∴f（ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1-nb1)，mf（a)+nf（b)=m(a2，2a2-a1）+n(b2，2b2-b1）=（ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1—nb1∴f（ma+nb）=mf（a)+nf(b）成立.(2）解：f（a)=(1，2×1-1）=(1，1）;f(b）=(0，2×0-1）=(0,—1）.(3）解：設(shè)c=(x,y),則f(c)=（y,2y—x)=（p，q），∴∴x=2p-q，即向量c=(2p—q,p)。方法歸納證明等式成立,可以從一邊開始證得它等于另一邊，也可證明左右兩邊等于同一式子，還可先證明一個(gè)式子成立，再推出要證明的式子成立.例10已知A(-1,-1）,B(1,3），C(1,5),D(2,7）,向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路分析：本題利用向量共線的充要條件、共線的坐標(biāo)表示及向量平行與直線平行的區(qū)別.解:∵=（1—(-1)，3-(-1)）=（2,4），=(2-1,7-5)=（1,2），又∵2×2—4×1=0，∴∥。又∵=(1-(—1)，5-（—1)）=(2，6)，=（2，4）,2×4-2×6≠0，∴與不平行.∴A、B、C不共線。∴AB與CD不重合.∴AB∥CD.誤區(qū)警示向量平行不同于直線平行，向量平行可以共線也可以不共線，因此若向量與平行時(shí)，直線AB與CD可能平行也可能重合.例11已知任意四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)。如圖2-3—5所示，求證:=（圖2-3思路分析：本題的證明方法比較多,可通過兩個(gè)封閉圖形得出，相加得出結(jié)論;也可以在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，構(gòu)成三角形,在三角形中利用向量加、減法的三角形法則找出關(guān)系式求解；也可以建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解。證法一:∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),∴=0.又，,兩式相加得,即=()。證法二：如圖2-圖2∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴=（），=()。∴=[()+()］=（）.∴=（）.證