第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

因為導(dǎo)數(shù)是函數(shù)隨自變量變化的瞬時變

所以可借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù).

但每一點的導(dǎo)數(shù)僅僅是與局部有關(guān)的一點的變化性態(tài),要用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的全部性態(tài),還需架起新的“橋梁”.化率,1羅爾定理拉格朗日中值定理小結(jié)思考題柯西中值定理第一節(jié)微分中值定理第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2

本節(jié)的幾個定理都來源于下面的明顯的在一條光滑的平面曲線段AB上,⌒至少有與連接此曲線兩端點的弦平行.幾何事實:微分中值定理一點處的切線

連續(xù)的曲線弧、除端點外處處有不垂直于x軸的切線.有水平的切線3羅爾定理(1)(2)(3)羅爾Rolle,(法)1652-1719使得如,微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理4(1)定理條件不全具備,注微分中值定理結(jié)論不一定成立.羅爾定理(1)(2)(3)使得(2)

定理條件只是充分的.5幾何意義如果連續(xù)曲線除端點外處處有不垂直于x軸的切線.且兩端點的縱坐標(biāo)相等,則這曲線上至少存在點C,使得曲線在C點處的切線水平.由圖形可知,在曲線的最高點或最低點處切線水平.有水平的切線微分中值定理6例1證明:內(nèi)只有一個根.例2不用求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),說明方程有幾個實根.微分中值定理7注意:證明方程的根的存在性方法:(1)利用閉區(qū)間上零點的存在性定理;(2)歸結(jié)為考慮函數(shù)利用Rolle定理來證明.關(guān)鍵是找輔助函數(shù)微分中值定理8例3設(shè)證明:微分中值定理提示:9證明幾種特殊方程有根時,考慮的輔助函數(shù):微分中值定理10例4試證方程微分中值定理提示:11證設(shè)且

羅爾定理即試證方程微分中值定理12注拉格朗日Lagrange(法)1736-1813

拉格朗日中值定理(1)(2)使得微分中值定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理13幾何解釋:分析定理的結(jié)論就轉(zhuǎn)化為函數(shù)化為羅爾定理.微分中值定理在該點處的切線平行于弦利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù).14證作輔助函數(shù)由此得拉格朗日中值公式且易知微分中值定理微分中值定理15注意:1.特別即Lagrange定理是Rolle定理的推廣.時,Lagrange中值公式為2.作輔助函數(shù)的方法不是唯一的.思考:Lagrange中值定理證明中還可以如何作輔助函數(shù)?3.定理中的條件只是充分條件,而非必要條件.微分中值定理16例5驗證Lagrange中值定理對于函數(shù)上的正確性.微分中值定理17Lagrange公式可以寫成下面的各種形式:

它表達(dá)了函數(shù)增量和某點的注但是增量、這是十分方便的.由(3)式看出,導(dǎo)數(shù)之間的直接關(guān)系.微分中值定理導(dǎo)數(shù)是個等式關(guān)系.拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.有限增量定理.18它表明了函數(shù)在兩點處的函數(shù)值的單調(diào)性及某些等式與不等式的證明.在微分學(xué)中占有極重要的地位.與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函數(shù)微分中值定理19例6證

如果f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo),要分析函數(shù)在該區(qū)間上任意兩點的函數(shù)值有何關(guān)系,通常就想到微分中值定理.記利用微分中值定理,得微分中值定理20例7證明下列不等式微分中值定理21推論1證有由條件,即在區(qū)間I中任意兩點的函數(shù)值都相等,所以,微分中值定理(1)(2)22推論2(1)(2)注意:將推論1,推論2中的區(qū)間換成其它各種區(qū)間(但不能是區(qū)間的并),結(jié)論仍成立.微分中值定理23例8證明:微分中值定理24例9設(shè)證明:微分中值定理提示:25柯西Cauchy(法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理廣義微分中值定理26這兩個錯!柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理柯西定理的下述證法對嗎?討論不一定相同27

前面對拉格朗日中值定理的證明,構(gòu)造了

現(xiàn)在對兩個給定的函數(shù)

f(x)、F(x),構(gòu)造即可證明柯西定理.輔助函數(shù)輔助函數(shù)微分中值定理

分析上式寫成

用類比法28柯西定理的幾何意義注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得微分中值定理切線斜率29例10證分析結(jié)論可變形為即微分中值定理滿足柯西中值定理條件,301證明:練習(xí)微分中值定理31羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之間的關(guān)系:推廣推廣

這三個定理的條件都是充分條件,換句話說,滿足條件,不滿足條件,定理可能成立,不是必要條件.而成立;不成立.微分中值定理定理也可能32應(yīng)用三個中值定理常解決下列問題(1)驗證定理的正確性;(2)證明方程根的存在性;(3)引入輔助函數(shù)證明等式;(4)證明不等式;(5)綜合運用中值定理(幾次運用).微分中值定理

關(guān)鍵逆向思維,找輔助函數(shù)33四、小結(jié)微分中值定理

常利用逆向思維,構(gòu)造輔助函數(shù)注意利用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟.三個微分中值定理成立的條件;各微分中值定理的關(guān)系;

證明存在某點,使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)滿足一個方程.運用羅爾定理.

拉格朗日中值定理的各種形式,其關(guān)系;341.

設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點