專題02集合的運算【清單01】交集1.定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B.2.符號：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.圖示：4.性質(zhì)與結(jié)論：A∩A＝A；A∩?＝?；A∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?A.【清單02】并集1.定義：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B2.符號：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.圖示：4.性質(zhì)與結(jié)論：A∪A＝A；A∪?＝A；A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?B【清單03】補集1.全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.2.補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA.3.符號：?UA＝{x|x∈U，且x?A}.4.圖示：5.拓廣解讀：(1)簡單地說，?UA是從全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素組成的集合．(2)性質(zhì)：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結(jié)果的圖示．【清單4】集合中元素的個數(shù)【考點題型一】交集運算【例1】（2425高三上·四川綿陽·開學考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計算得出結(jié)果.【詳解】解不等式可得，又可得只有當時，的取值分別為在集合中，所以.故選：C【變式11】（2324高三下·四川德陽·階段練習）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算【分析】根據(jù)集合交集運算求解即可.【詳解】,故選：C.【變式12】（河北省保定市20222023學年高一上學期期末調(diào)研考試數(shù)學試題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算【分析】利用交集的概念計算即可.【詳解】根據(jù)交集的概念可知。故選：C【變式13】（2024·福建泉州·模擬預測）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】交集的概念及運算、根式不等式【分析】應用排除法或先求集合A,再結(jié)合集合的交集判斷求解.【詳解】解法一：（排除法）因符合題意，排除D；因為符合題意，排除；解法二：因為，所以，故選:C.【變式14】（2425高三上·云南昆明·階段練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解出集合，再利用交集含義即可得到答案.【詳解】，而，則.故選：A.【考點題型二】根據(jù)交集運算結(jié)果求集合或參數(shù)【例2】（2425高三上·江西南昌·開學考試）已知集合，若為單元素集合時，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【知識點】交集的概念及運算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】由題意可得兩集合組成的方程組只有唯一解，再結(jié)合方程的性質(zhì)以及判別式求解即可；【詳解】因為集合，若為單元素集合，則方程組只有唯一解，所以，整理可得，當時，方程變?yōu)?，此時，符合題意；當時，，所以或，故選：C.【變式21】（2425高三上·陜西安康·開學考試）設(shè)集合，若，則（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果列出方程求解即得.【詳解】集合，而，則，經(jīng)驗證a=2符合題意，所以.故選：C【變式22】（2425高三上·廣東汕頭·開學考試）設(shè)集合，，若，則集合（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】將代入方程求出，再求集合即可.【詳解】由可知，當時，，解得：或，即.故選：B【變式23】（2324高一下·安徽蕪湖·開學考試）若集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】利用，知，求出的值，根據(jù)集合元素的互異性舍去不合題意的值，可得答案．【詳解】因為，所以，即或者，解之可得或或，當時，，符合題意；當時，，符合題意；當時，，根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。所以實數(shù)a的個數(shù)為2個.故選：B【變式24】（河北省部分地區(qū)2025屆高三上學期9月摸底考試數(shù)學試卷）已知集合，若，則m的取值范圍是.【答案】或【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】化簡集合,由兩集合交集為空集，列出不等式即可求解.【詳解】因為所以或解得：或故答案為：或【考點題型三】并集運算【例3】（2425高三上·浙江·開學考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先求出集合，再求出.【詳解】由，則，故選：B.【變式31】（2425高三上·黑龍江伊春·開學考試）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】并集的概念及運算【分析】根據(jù)并集運算求解即可.【詳解】因為，所以.故選：D.【變式32】（2425高三上·湖南永州·開學考試）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】并集的概念及運算【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運算，即可求解.【詳解】由，得到或，所以，又由，得到，所以，得到，故選：A.【變式33】（2023·四川·模擬預測）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解不等式求集合M，進而根據(jù)并集運算求解.【詳解】因為，解得，即，且，所以．故選：C．【變式34】（2425高三上·廣西貴港·開學考試）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】并集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集運算可得.【詳解】解不等式得，即，又，所以.故選：A【考點題型四】根據(jù)并集運算結(jié)果求集合或參數(shù)【例4】（2425高三上·河南·開學考試）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、公式法解絕對值不等式【分析】求出集合，根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式組求解可得.【詳解】因為，所以，當時，，不滿足題意；當時，由解得，依題意有，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式41】（2024高一·全國·專題練習）已知集合或，.若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】利用給定條件建立不等式組，求解參數(shù)范圍即可.【詳解】依題意得解得.故選：B【變式42】（2425高二上·山西太原·開學考試）已知集合，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】由得，再根據(jù)子集的定義得不等式求解．【詳解】由得，所以或，解得或，所以.故選：D．【變式43】（2425高三上·遼寧沈陽·開學考試）設(shè)集合，．若；則a=．【答案】2【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】先化簡，再利用集合的性質(zhì)，以及集合的計算求解即可.【詳解】因為，，所以，所以是整數(shù)，且，再由集合中元素的互異性知，，．所以a是整數(shù)，且，，，得．當時，，，故，滿足條件．故答案為：2．【變式44】（2425高三上·遼寧·開學考試）設(shè)，若，則實數(shù)的取值集合為.【答案】【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】化簡集合，即可根據(jù)分別求解.【詳解】由可得,由于,故,因此，，，故實數(shù)的取值集合為，故答案為：【考點題型五】補集運算【例5】（2024·廣東珠海·一模）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】補集的概念及運算【分析】由條件，結(jié)合補集的運算法則求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：B.【變式51】（2425高三上·北京海淀·開學考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】補集的概念及運算【分析】利用補集的概念進行求解.【詳解】.故選：C【變式52】（2024·山西·模擬預測）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，進而根據(jù)補集的定義求得.【詳解】因為，所以，故選：A.【變式53】（2324高三下·北京·開學考試）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】補集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】先用列舉法表示集合A，再求補集即可.【詳解】因為,所以,因為,所以,所以.故選：B.【變式54】（2425高一上·河南駐馬店·開學考試）已知全集，，則．【答案】【知識點】補集的概念及運算【分析】化簡集合，再求補集.【詳解】，且，當時，，故．故答案為：【考點題型六】根據(jù)補集運算結(jié)果求集合或參數(shù)【例6】（2324高一上·云南昆明·階段練習）已知全集，集合，且，則.【答案】【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】由題設(shè)知，應用分類討論求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)知：，若；若無解；所以.故答案為：【變式61】（2324高二下·浙江寧波·期末）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】利用集合的補集概念即得.【詳解】依題，由可得，.故選：A.【變式62】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知全集，，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【知識點】根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】根據(jù)補集的定義求出，從而求出、的值，即可得解.【詳解】因為，，所以，又，所以，所以.故選：C【變式63】（2324高一上·廣東汕頭·階段練習）設(shè)集合，，，若，則.【答案】【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】根據(jù)補集的運算可得，即可列等式求解.【詳解】由可得，由于，所以，所以，解得，故答案為：【變式64】（2223高一上·黑龍江哈爾濱·開學考試）設(shè)全集，集合，若，則實數(shù)．【答案】－3【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、補集的概念及運算【分析】由題意確定，進而求得，解得并判斷是否滿足集合即可.【詳解】因為，故，即，故，解得或；當時，，滿足條件；當時，，不滿足條件；故.故答案為：【考點題型七】交集、并集、補集的綜合運算【例7】（2223高一上·福建福州·階段練習）已知集合，或，當時.求：(1)；(2).【答案】(1)或(2)【知識點】并集的概念及運算、補集的概念及運算、交并補混合運算【分析】（1）求出集合A，再根據(jù)交集運算即可；（2）先求實數(shù)上B的補集，再求并集運算即可.【詳解】（1）當時，，或，或；（2）或，，.【變式71】（2425高三上·河北·開學考試）設(shè)全集是實數(shù)集，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】交集的概念及運算、補集的概念及運算、公式法解絕對值不等式【分析】化簡集合，再利用補集、交集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，，則，又，所以.故選：B【變式72】（2425高一下·浙江·開學考試）設(shè)集合，求，.【答案】，，.【知識點】交集的概念及運算、并集的概念及運算、補集的概念及運算【分析】根據(jù)給定條件，利用交集、并集、補集的定義求解即得.【詳解】集合，所以，，或，則.【變式73】（2324高一上·山東聊城·階段練習）已知全集，集合，，求，，．【答案】；；【知識點】交集的概念及運算、并集的概念及運算、補集的概念及運算、交并補混合運算【分析】根據(jù)集合的交、并、補的運算，直接求解即可.【詳解】因為全集，集合，，則，，所以；；．【變式74】（2023高一·江蘇·專題練習）已知集合，，.求：(1)集合；(2)集合；(3)集合，.【答案】(1)或.(2)或.(3)，或.【知識點】交集的概念及運算、并集的概念及運算、補集的概念及運算、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】（1）由補集的定義求解即可；（2）由補集和交集的定義求解即可；（3）由交集和并集的定義求解即可.【詳解】（1）借助數(shù)軸可得

∴或.（2）∵，

∴＝或.

或.（3），

或.【考點題型八】根據(jù)集合的運算求參數(shù)【例8】（2324高一上·河南濮陽·階段練習）已知，.(1)若，求；(2)已知全集，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、交集的概念及運算、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）先求集合，再結(jié)合集合的交集運算求解即可；（2）根據(jù)題意分析可知，結(jié)合子集的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1）由題意可得：，，當時，因為，所以.（2）由（1）可得：，，因為，則，可知，則或，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為.【變式81】（2024·貴州貴陽·二模）設(shè)全集，集合滿足，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【知識點】根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)、補集的概念及運算【分析】根據(jù)補集的含義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故選：A.【變式82】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，結(jié)合題意得到不等式，即可求解.【詳解】由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式83】（2324高一上·安徽安慶·階段練習）已知，且，，，則.【答案】【知識點】利用Venn圖求集合、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)【分析】根據(jù)集合間的運算結(jié)果推出，并畫出韋恩圖驗證，得到答案.【詳解】由題意得，又，故，又，故，且，，因為，故，，因為，故，，綜上：，畫出韋恩圖如下：故答案為：【變式84】（2324高一上·廣東珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用交集的定義求解；（2）分類討論，利用補集和并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】（1）集合，，，則由交集的定義可知，且，解得.（2）當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，或，若，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【考點題型九】集合運算中元素的個數(shù)問題【例9】（2324高一上·河南鄭州·階段練習）某年級先后舉辦了數(shù)學、歷史、音樂講座，其中有人聽了數(shù)學講座，人聽了歷史講座，人聽了音樂講座，記是聽了數(shù)學講座的學生，是聽了歷史講座的學生，是聽了音樂講座的學生.用來表示有限集合中元素的個數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)、利用Venn圖求集合【分析】將已知條件用Venn圖表示出來，然后逐項求解即可判斷.【詳解】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖，對A：，故A錯誤；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D錯誤；故選：B.

【變式91】（2324高一上·吉林·期末）集合，，則中元素的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)【分析】先解不等式，求出集合，然后得到，即可求解.【詳解】解不等式可得：，因為,所以集合,又，所以，所以中元素的個數(shù)為.故選：.【變式92】（2223高一上·遼寧·階段練習）已知集合，則的元素個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．5 D．2【答案】A【知識點】根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式、并集的概念及運算【分析】化簡集合即得解.【詳解】解：解不等式，得，則，因為，所以.所以的元素個數(shù)為8個.故選：A【變式93】（2324高一上·河南鄭州·階段練習）為豐富學生的課外活動，學校開展了“數(shù)學建模選修課”和“語文素養(yǎng)選修課”，兩項選修課都參與的有30人，兩項選修課都沒有參與的有20人，全校共有317人.問只參與一項活動的同學有多少人？（

）A．237 B．297 C．277 D．267【答案】D【知識點】容斥原理的應用、根據(jù)交集結(jié)果求集合元素個數(shù)、根據(jù)交并補混合運算確定集合或參數(shù)、根據(jù)補集運算確定集合或參數(shù)【分析】應用Venn圖求解即可.【詳解】畫出Venn圖.全集表示全校學生，分別用集合表示參與“數(shù)學建模選修課”和“語文素養(yǎng)選修課”的學生，則表示兩項選修課都參與的學生，表示兩項選修課都沒有參與的學生則可用表示，即.由題意可知，全集元素的個數(shù)為317，元素的個數(shù)為30，元素的個數(shù)為20，則陰影部分表示只參與一項活動的學生，設(shè)有人，則，故只參與一項活動的學生數(shù)為,故選：D.【變式94】（2324高一上·重慶南岸·期中）重慶市第十一中學校每學年分上期、下期分別舉行“大閱讀”與“科技嘉年華”兩項大型活動，深受學生們的喜愛.某社團經(jīng)問卷調(diào)查了解到如下數(shù)據(jù)：96%的學生喜歡這兩項活動中的至少一項，78%的學生喜歡“大閱讀”活動，87%的學生喜歡“科技嘉年華”活動，則我校既喜歡“大閱讀”又喜歡“科技嘉年華”活動的學生數(shù)占我校學生總數(shù)的比例是．【答案】【知識點】集合的應用【分析】根據(jù)集合的知識求得正確答案.【詳解】設(shè)只喜歡“大閱讀”的有人，兩者都喜歡的有人，只喜歡“科技嘉年華”的有人，則，解得.故答案為：【考點題型十】集合新定義問題【例10】（2223高一上·河南鄭州·階段練習）當時，定義運算:當時，；當時，；當或時，；當時，；當時，．在此定義下，若集合，則中元素的個數(shù)為．【答案】14【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)、集合新定義【分析】根據(jù)定義運算，分成五類情況分