專題1.13平行線中的最值問題（分層練習(xí)）（綜合練）一、單選題1．（2021下·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考一模）一副三角尺的位置如右圖所示，其中三角尺ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，使它的某一邊與BC平行，則α的最小值是（

）A．15°B．30°C．60° D．150°3．（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，將沿方向平移得到對應(yīng)的，延長，交于點(diǎn)．若，，，，為線段上一動點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）．

A． B．5 C． D．6二、填空題4．（2023下·江西景德鎮(zhèn)·九年級景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習(xí)）如圖于點(diǎn)D，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，則的最小值為．5．（2022下·山東聊城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a、b之間相距，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動過程中，線段的最小值是．6．（2023下·湖南郴州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動過程中，線段的最小值是．

7．（2023下·海南?？凇て吣昙壓煾街行？计谀┤鐖D，在中，，將平移個(gè)單位長度得到，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的最小值等于．

8．（2023下·湖北宜昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有三條兩兩相交的公路、、，從地測得公路的走向是北偏東50°，從地測得公路的走向是北偏西40°．若、、的長分別為千米，千米、千米，點(diǎn)是公路上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為千米．（用含、、的式子表示）

9．（2023下·陜西西安·七年級校考期中）已知：如圖，，，且，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最大值與最小值的差是．

三、解答題10．（2023下·江蘇宿遷·七年級校考期中）將一塊三角板（，）按如圖①所示放置在銳角內(nèi)，使直角邊落在邊上．現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針以每秒的速度旋轉(zhuǎn)秒（直角邊旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置），過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，平分，其中的值滿足：使代數(shù)式取得最小值．（1）求的值；（2）當(dāng)秒時(shí)，求的度數(shù)；（3）在某一時(shí)刻，當(dāng)時(shí)，試求出與之間的數(shù)量關(guān)系．11．（2020下·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠l=∠C，∠2+∠D=90°，BE⊥FD，垂足為G．（1）證明：AB//CD．（2）已知CF=3，F(xiàn)D=4，CD=5，點(diǎn)P是線段CD上的動點(diǎn)，連接FP，求FP的最小值．

12．（2021下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出、與的關(guān)系．13．（2021下·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D，每個(gè)小正方形的邊長為1，利用網(wǎng)格點(diǎn)畫圖和無刻度的直尺畫圖（保留畫圖痕跡）：（I）在方格紙內(nèi)將三角形經(jīng)過一次平移后得到三角形，圖中標(biāo)出了點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，畫出三角形；（2）過點(diǎn)畫線段使且；（3）圖中與的關(guān)系是______；（4）點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)線段的最小值為______．14．（2023下·北京海淀·七年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線，對平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．（1）若，則線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為______；（2）若取最小值且，則的取值范圍是______．15．（2019上·浙江杭州·七年級期末）如圖，已知線段，第1次平移，將線段沿的方向向右平移7個(gè)單位，得到線段，第2次平移，將線段沿的方向向右移平移7個(gè)單位，得到線段，…，第n次平移，線段沿的方向平移7個(gè)單位，得到線段（的整數(shù)）．在這個(gè)移動過程中，（1）求，的長．（2）若的長為66，求n．（3）是否存在的長為2019，若存在請求出n的值，若不存在，說明理由．（4）是否存在線段的長為2020（i，j都是自然數(shù)），若存在請求出的最小值，若不存在，說明理由．參考答案：1．A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．2．A【分析】當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE邊最先與BC平行，利用平行線的性質(zhì)即可求解．解：當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE邊最先與BC平行，如圖：∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE=60°，∵∠DAE=45°，∴∠CAD=∠CAE∠DAE=15°，則α的最小值是15°，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角板的角的度數(shù)的知識，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)有，即，即可求出答案．解：將沿方向平移得到對應(yīng)的，，，，，，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)有，即，，的最小值為．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了平移的性質(zhì)和垂線段最短，根據(jù)平移的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．4．/25度【分析】過點(diǎn)C作，過點(diǎn)A作，利用平行線的性質(zhì)即可求解．解：如圖，過點(diǎn)C作，則，∴．過點(diǎn)A作，則．∴，故的最小值為．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．5．4【分析】通過平行線之間垂線段最短的理論可知PQ垂直于兩條直線時(shí)，PQ的值最小，再根據(jù)a、b之間距離求出PQ即可．解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂線段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之間的距離為4cm，的最小值是4cm，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間的距離的定義，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．6．8【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動過程中，當(dāng)時(shí)，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，當(dāng)在直線上時(shí)，取得最小值，進(jìn)而根據(jù)線段的差即可求解．解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∵將平移個(gè)單位長度得到，∴當(dāng)在直線上時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平移的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，熟練掌握平移的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．【分析】過C作于P，依據(jù)，可得在中，得出，代入數(shù)值求解即可．解：如圖，過C作于P，

由題可得，，∴，∴∴中，，∴，即線段的最小值為，故答案為．【點(diǎn)撥】此題是一道方向角問題，結(jié)合生活中的實(shí)際問題，將解三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．9．【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)，求出最小值，即可求解．解：∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，∵，∴，解得：，∴的最大值與最小值的差是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；垂線段最短．10．（1）m的值為10；（2）的度數(shù)為；（3）．【分析】（1）根據(jù)平方的非負(fù)性及代數(shù)式取得最小值，即可求出m的值；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度及時(shí)間，即可求出的度數(shù)，進(jìn)一步求出的度數(shù)；根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)，進(jìn)一步求出的度數(shù)；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，表示出的度數(shù)，進(jìn)一步表示出的度數(shù)；再根據(jù)平行線的性質(zhì)，表示出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義，表示出的度數(shù)；再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，從而可求出答案．（1）解：∵，∴當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式取得最小值，∴代數(shù)式取得最小值時(shí)，m的值為10；（2）∵，，∴，當(dāng)秒時(shí)，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為；（3）∵，，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查平方的非負(fù)性，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)．11．（1）證明見分析；（2）．【分析】（1）先證明CF∥BE，得到，進(jìn)而證明，得到即可證明AB∥CD；（2）先確定的最小值是點(diǎn)F到直線CD的垂線段的長度，過點(diǎn)F作，垂足為P，再由等面積法即可計(jì)算出FP的值．解：（1）證明：∵，∴CF∥BE，∴．∵，垂足為G，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴AB∥CD．（2）根據(jù)題意，可知的最小值是點(diǎn)F到直線CD的垂線段的長度．過點(diǎn)F作，垂足為P．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，所以，所以．故FP的最小值為．

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定、三角形的等面積法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì)以及判定．12．（1）10；（2），見分析；（3）或【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)PC+PD的值最小，解答即可；（2）當(dāng)t＜m時(shí)，過P在AE上，過點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)，然后仿照第（2）問的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與E不重合時(shí)，在中，，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，此時(shí)最小，∴．∵，，∴．∴．故時(shí)，值最??；（2），理由如下：如圖，當(dāng)即時(shí)，點(diǎn)P在AE上，過點(diǎn)P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）當(dāng)m＜t≤15即10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，過點(diǎn)P作PHa，如圖：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當(dāng)10＜t≤15時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；當(dāng)t＞15時(shí)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，過點(diǎn)P作PGa，如圖：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．綜上所述，當(dāng)t＞10時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（1）見分析；（2）見分析；（3），AD∥；（4）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，按要求作圖即可；（2）根據(jù)過點(diǎn)A畫線段AD∥BC，AD=BC，即可；（3）由平移的性質(zhì)可得，∥BC，，從而可以得到，AD∥；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，可知當(dāng)BH⊥CE時(shí)BH最短，由此利用三角形面積公式求解即可．解：（1）如圖所示，即為所求：（2）如圖所示，即為所求：（3）平移的性質(zhì)可得，∥BC，由AD=BC，AD∥BC，從而可以得到，AD∥；故答案為：，AD∥；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，可知當(dāng)BH⊥CE時(shí)BH最短，如圖所示：∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴點(diǎn)H是直線CE上一動點(diǎn)線段BH的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平移作圖，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，三角形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．14．（1）0或1；（2）【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，作出相應(yīng)圖形即可求解；（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，結(jié)合圖形求解即可．（1）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)，此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，如圖所示：此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

故答案為：0或1；（2）當(dāng)取最小值且時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)A恰好在，的中間直線上，∴，之間的距離為2，即，

當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，如圖所示：

此時(shí)即為，之間的距離為2；當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，如圖所示：

∵，∴當(dāng)點(diǎn)P在，的中間直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P不在，的中間直線上時(shí)，；綜上可得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】題目主要考查垂線的定義及點(diǎn)到直線的距離，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．15．（1）A0B1=7，A0B3=31；（2）8；（3）存在，n=287；（4）存在，最小值為290．【分析】（1）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=7，即B0B3=3B0B1=21，即可得出結(jié)論；（2）由平移得出B0B1=B1B2=B2B3=…=Bn1Bn=7，進(jìn)而得出B0Bn=nB0B1=7n，最后建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，求出n的值，再判斷是否為整數(shù)，即可得出結(jié)論；（4）同（2）的方法找出規(guī)律A0Bj=10+7j，A0Ai=7i，進(jìn)而得出AiBj=|A0BjA0Ai|=|10+7j7i|=|10+7（ji）|，進(jìn)而建立絕對值方程，求出ij=2019，即可得出結(jié)論．解：由平移知，B0B1=B1B