2024-2025學年廣東省東莞市長安實驗中學九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.將一元二次方程化為一般形式為（）A. B. C. D.3.若關于的一元二次方程的一個根是，則的值是（）A. B. C. D.4.關于的一元二次方程沒有實數根，則實數的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.35.對于二次函數的圖象，下列說法不正確的是（）A.開口向上 B.對稱軸是直線C.頂點坐標為 D.當時，隨的增大而減小6.若將拋物線向左平移4個單位，再向上平移2個單位，則所得拋物線的解析式為（）A. B. C. D.7.某校七年級組織一次籃球賽，各班均組隊參賽，賽制為每兩班之間賽兩場，共需安排42場比賽.設七年級共有x個班，則下列方程正確的是（）A. B. C. D.8.若二次函數的圖象經過點，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.9.已知m，n是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于（）A.2020 B.2021 C.2022 D.202310.在同一平面直角坐標系中，一次函數和二次函數的大致圖象是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，共21分。11.一元二次方程的解是______.12.已知二次函數，當x______時，y隨x的增大而減小.13.有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有81人患了流感，設每輪傳染中平均一個人傳染的人數為x，則可列方程______.14.若關于x的一元二次方程的解為，，則關于y的一元二次方程的解為______.15.如圖，在矩形ABCD中，，，點P從點A出發(fā)沿AB以的速度向點B運動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以的速度向點C運動，點P運動到點B時，點Q也停止運動；當的面積等于時，運動時間為______s.16.方程的解是______.三、計算題：本大題共1小題，共6分。17.已知2是關于x的方程的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰的兩條邊長．（1）求m的值；（2）求的周長．四、解答題：本題共7小題，共63分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.（本小題6分）已知，在平面直角坐標系中，拋物線經過，，三點.求拋物線對應的函數表達式.19.（本小題6分）已知關于x的一元二次方程.（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程有兩個實數根、，且，求k的值.20.（本小題9分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？21.（本小題9分）如圖，拋物線過點，點B是拋物線上一個動點，過點B作矩形BCDE，使邊CD在x軸上（點C在點D的左側），點E在拋物線上，設點B的橫坐標是m，當時，.（1）求拋物線的解析式；（2）當m為何值時，四邊形BCDE是正方形？22（本小題9分）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根.（1）求m的取值范圍；（2）設p是方程的一個實數根，且滿足，求m的值.23.（本小題12分）綜合與實踐：主題：將一張長為80cm，寬為40cm的長方形硬紙板制作成一個有蓋長方體收納盒.方案設計：如圖①，把硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，折成一個如圖②所示的有蓋長方體收納盒，EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分.任務一：若收納盒的高為5cm，求該收納盒的底面ABCD的邊BC，AB的長；任務二：若收納盒的底面積為，求該收納盒的高.24.（本小題12分）已知拋物線（，，是常數，），與y軸交于點C，點M為拋物線頂點．（1）若，點C的坐標為，求h的值；（2）若，當時，對應函數值y的最小值是，求此時拋物線的解析式；（3）直線經過點M，且與拋物線交于另一點D.當軸時，求拋物線的解析式．

答案和解析1.【答案】A【解析】解：根據一元二次方程的定義可知，只含有一個未知數，且未知數的最高次數為2，故A選項符合題意．含有兩個未知數，故B選項不符合題意．只含有一個未知數，但未知數的最高次數為1，故C選項不符合題意．只含有一個未知數，但不是整式方程，故D選項不符合題意．故選：A.根據一元二次方程的定義即可解決問題．本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定義是解題的關鍵．2.【答案】B【解析】解：，，，，故選：B.首先移項，把等號右邊化為0即可．此題主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．3.【答案】D【解析】解：由題意得：把代入方程中得：，，解得：，故選：D.根據題意可得：把代入方程中得：，然后進行計算即可解答．本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關鍵．4.【答案】D【解析】解：根據題意，得：，解得：，∴的值可以是3，故選：D.根據方程沒有實數根得出，解之求出n的范圍，結合各選項可得答案．本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．5.【答案】C【解析】解：∵二次函數，∴該函數圖象開口向上，故選項A正確，不符合題意；對稱軸是直線，故選項B正確，不符合題意；頂點坐標為，故選項C錯誤，符合題意；當時，y隨x的增大而減小，故選項D正確，不符合題意；故選：C.根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．本題考查二次函數的性質、二次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．6.【答案】A【解析】解：原拋物線的頂點為，向左平移4個單位，再向上平移2個單位，那么新拋物線的頂點為可設新拋物線的解析式為：，代入得：故選：A.按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．7.【答案】A【解析】解：依題意得：.故選：A.利用比賽的總場數=七年級班級數×（七年級班級數-1），即可得出關于x的一元二次方程．本題考查了由實際問題抽象一元二次方程，解決本題的關鍵是讀懂題意，得到總場數與球隊之間的關系．8.【答案】D【解析】解：∵二次函數，∴開口向上，對稱軸為直線，∴是頂點，最小，∵到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離，∴，∴，故選：D.根據二次函數的對稱性，利用對稱性，找出點A，B，C到對稱軸的距離，即可解答．本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能求出對稱軸和根據二次函數的性質求出正確答案是解此題的關鍵．9.【答案】C【解析】解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數根，∴，，∴，∴故選：C.先根據一元二次方程根與系數的關系得出，，代入代數式進行計算即可．本題考查的是一元二次方程根與系數的關系，熟知，，是一元二次方程的兩根時，，是解題的關鍵．10.【答案】A【解析】解：由A選項中一次函數的圖象可知，，再由二次函數的圖象可知，，，故A選項符合題意．由B選項中一次函數的圖象可知，，，再由二次函數的圖象可知，，.故B選項不符合題意．由C選項中一次函數的圖象可知，，，再由二次函數的圖象可知，，.故C選項不符合題意．由D選項中一次函數的圖象可知，，，再由二次函數的圖象可知，，，故D選項不符合題意．故選：A.根據一次函數及二次函數的圖象與系數的關系，對所給選項依次進行判斷即可．本題主要考查了一次函數圖象及二次函數圖象，熟知一次函數及二次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．11.【答案】，【解析】解：，，開方得：，即，，故答案為：，.先移項，再開方，即可得出答案．本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解方程是解此題的關鍵．12.【答案】【解析】解：由題意得，二次函數的頂點坐標是，拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，故答案是：.根據二次函數的頂點式，可知二次函數的頂點坐標是，且圖象開口向上，由此即可求解．本題考查二次函數的圖象的性質，熟練掌握二次函數的性質是關鍵．13.【答案】【解析】解：設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據題意得：故答案為：設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據經過兩輪傳染后共有81人患了流感，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14.【答案】，【解析】解：設，則原方程可化為，∵關于x的一元二次方程的解為，，∴，，∴或解得，.故答案為：，.設，則原方程可化為，根據關于x的一元二次方程的解為，，得到，，于是得到結論.此題主要考查了換元法解一元二次方程，關鍵是正確找出兩個方程解的關系．15.【答案】2【解析】解：設運動時間為，則，，依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）.故答案為：2.設運動時間為，則，，利用三角形面積的計算公式結合的面積等于，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16.【答案】，【解析】解：∵，∴，∴或，∴，.把方程左邊進行因式分解得到，然后解兩個一元一次方程即可．本題考查了解一元二次方程-因式分解法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.17.【答案】解：（1）把代入方程得，解得；（2）當時，原方程變?yōu)?，解得，，∵該方程的兩個根恰好是等腰的兩條邊長，且不存在三邊為2，2，6的等腰三角形∴的腰為6，底邊為2，∴的周長為【解析】（1）直接把代入方程可求出m的值；（2）先解方程，解得，，再利用三角形三邊的關系確定等腰三角形的腰與底，然后計算它的周長．本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三邊的關系．18.【答案】解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：.【解析】由待定系數法即可求解．本題考查的是待定系數法求二次函數解析式，確定函數表達式是解題的關鍵．19.【答案】（1）證明：∵，∴無論k取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：由根與系數的關系得出：，，由得：，解得：.【解析】（1）根據根的判別式得出，據此可得答案；（2）根據根與系數的關系得出，，代入得出關于k的方程，解之可得答案．本題主要考查根與系數的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握，是方程的兩根時，，，20.【答案】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）.答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為（2）設該品牌頭盔的實際售價為y元，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．【解析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據月銷售利潤=每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結論．本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21.【答案】解：（1）∵拋物線過點，∴，∴，∴拋物線的解析式為，當時，，即，把點B坐標代入得，，解得，∴拋物線解析式為；（2）當四邊形BCDE是正方形時，，∵，，，∴，∴，把點坐標代入得，，整理得：，解得或（舍去），∴當時，四邊形是正方形.【解析】（1）把A，B坐標代入解析式，用待定系數法求解析式即可；（2）根據正方形的性質和拋物線的對稱性可求出，然后得出點，把點B坐標代入（1）中拋物線求出m即可．本題考查待定系數法求函數解析式以及矩形和正方形的性質，關鍵是求出拋物線解析式．22.【答案】解：（1）∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，∴，即，解得；（2）∵是方程的一個實數根，∴，∴，∵，∴，即，解得或，又由（1）可知，∴.【解析】（1）由方程根的情況，根據判別式可得到關于m的不等式，則可求得m的取值范圍；（2）由方程根的定義，可用m表示出p，代入已知等式可得到關于m的方程，則可求得m的取值范圍．本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．23.【答案】解：任務一：∵長方形硬紙板的長為80cm，寬為40cm，制作的收納盒的高為5cm，∴，.答：該收納盒的底面ABCD的邊BC的長為，AB的長為35cm；任務二：設該收納盒的高為，則，，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）.答：該收納盒的高為10cm.【解析】任務一：利用BC的長=長方形硬紙板的寬-收納盒的