《三、向量與實數(shù)相乘》學(xué)歷案《向量與實數(shù)相乘學(xué)歷案》姓名：班級：學(xué)號：【主題與課時】湘教版（2019）選擇性必修第二冊第二章第2.2節(jié)空間向量及其運算中的向量與實數(shù)相乘，1課時【課標要求】1、理解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算。2、通過向量的線性運算，體會向量的工具性作用，提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力?！緦W(xué)習(xí)目標】1、能說出向量與實數(shù)相乘的定義，就像能說出自己喜歡的游戲規(guī)則一樣清楚。2、可以熟練地計算向量與實數(shù)相乘的結(jié)果，就像計算自己零花錢一樣準確。3、理解向量與實數(shù)相乘后向量的方向和大小的變化規(guī)律，就像理解天氣變化規(guī)律一樣明白。4、能夠運用向量與實數(shù)相乘解決簡單的立體幾何問題，就像運用鑰匙開簡單的鎖一樣熟練?！驹u價任務(wù)】1、完成課堂小練習(xí)，檢測目標1和2。2、通過解決立體幾何實例問題，檢測目標3和4?！緦W(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)入咱們來想象一下這樣一個有趣的場景。有一天，你去一個超級大的停車場找自己的車。這個停車場里的車都朝著不同的方向停著，就像空間中的向量一樣雜亂無章。你手里有一把神奇的遙控器，這個遙控器上有一個按鈕，每按一次，你指定的一輛車就會按照一定的規(guī)則移動。如果按一次，車會向前移動它自身長度的2倍，這就有點像我們要學(xué)的向量與實數(shù)相乘啦。二、任務(wù)一：向量與實數(shù)相乘的定義1、咱們先從簡單的平面向量說起。假如有一個向量a，就好比是一個小箭頭，當我們讓它乘以一個實數(shù)λ的時候，會發(fā)生什么呢？其實啊，就是把這個向量的長度按照λ的大小進行縮放。如果λ大于1，這個向量就會變長；如果λ在0到1之間，向量就會變短；要是λ是負數(shù)呢，這個向量不但長度會變，方向還會反過來呢。這就像你在拉一個有彈性的小玩具，拉的力量不同，它的長度和方向就會不一樣。2、那對于空間向量也是一樣的道理?？臻g向量也可以和實數(shù)相乘，而且變化規(guī)律和平面向量差不多。大家可以試著在腦海里想象一個三維空間里的箭頭（空間向量），當乘以一個實數(shù)的時候，它就像被施了魔法一樣改變自己的長度和方向。3、現(xiàn)在我們來做一些簡單的練習(xí)。（1）已知向量a＝（1,2,3)，當λ＝2時，求λa。（2）如果向量b＝（－1,0,1)，λ＝3，那么λb是多少呢？三、任務(wù)二：向量與實數(shù)相乘后向量的方向和大小的變化規(guī)律1、方向的變化（1）當λ>0時，向量與實數(shù)相乘后的向量方向和原來向量的方向是相同的。這就好比你和你的好朋友朝著同一個方向走路，你走得快（λ大于1）或者慢（λ在0到1之間），但方向不變。（2）當λ<0時，相乘后的向量方向和原來向量的方向是相反的。就像你本來向前走，突然被要求向后退（λ是負數(shù)）。2、大小的變化向量的大?。ㄒ簿褪悄ｉL）的變化就和λ的絕對值有關(guān)啦。如果原來向量的模長是|a|，那么λa的模長就是|λ|×｜a|。比如說，原來向量的長度是5，當λ＝3的時候，新的向量長度就是3×5＝15；當λ＝1/2的時候，新向量長度就是1/2×5＝2.5。3、我們再來做幾個練習(xí)鞏固一下。（1）對于向量c＝（2,－1,4)，分別求出當λ＝4和λ＝2時向量λc的方向和模長。（2）已知向量d的模長為3，當乘以實數(shù)λ＝1/3時，求新向量的方向和模長。四、任務(wù)三：運用向量與實數(shù)相乘解決簡單的立體幾何問題1、想象一下我們有一個長方體形狀的盒子，在這個盒子里有一些向量來表示它的棱或者對角線等。比如說，有一個向量表示從盒子的一個頂點到另一個頂點的對角線向量，我們可以通過向量與實數(shù)相乘來找到這條對角線的一部分或者延長線之類的。（1）假設(shè)長方體的一個頂點坐標為A(0,0,0)，另一個頂點坐標為B(3,4,5)，那么向量AB＝（3,4,5)。如果我們想找到從A點出發(fā)，沿著AB方向，長度為AB向量長度一半的向量，我們該怎么做呢？我們可以先求出AB向量的長度，然后乘以1/2，就得到了我們想要的向量。（2）再比如說，在這個長方體里有一個平面，平面上有一個向量e，這個向量和平面的一條邊平行。如果我們知道這個向量e，并且想要找到一個向量，它的方向和e相同，但是長度是e的3倍，而且要在這個平面內(nèi)，我們就可以用向量與實數(shù)相乘來解決。2、大家分組討論一下，在生活中還有哪些類似的情況可以用向量與實數(shù)相乘來解決呢？比如說建筑設(shè)計中，工人師傅要按照一定比例調(diào)整一些建筑構(gòu)件的長度和方向，是不是可以用到這個知識呢？每個小組可以選一個代表來說一說你們的想法?！咀鳂I(yè)與檢測】1、書面作業(yè)（1）已知向量a＝（3,－2,1)，求2a和3a。（2）向量b的模長為4，方向為(1,0,0)，當λ＝5時，求λb的方向和模長。（3）在一個正方體中，一個頂點坐標為O(0,0,0)，相對頂點坐標為A(1,1,1)，求向量OA乘以2后的向量的坐標。2、拓展作業(yè)（1）自己設(shè)計一個簡單的立體幾何場景，比如三棱柱或者四面體，在這個場景里設(shè)定一些向量，然后運用向量與實數(shù)相乘的知識提出并解決至少兩個問題。（2）查閱資料，看看在機器人運動控制中，向量與實數(shù)相乘是如何發(fā)揮作用的，寫一篇簡短的報告（200字左右）?！菊n后反思】1、在學(xué)習(xí)向量與實數(shù)相乘的過