和平區(qū)20172018學(xué)年度第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)（理）學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷一、選擇題：本大題共8個小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“雙曲線的離心率為”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】∵雙曲線的離心率為，∴，∵，∴。∴“”是“雙曲線的離心率為”的充要條件。選C。2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由空間中兩點間的距離公式得。選B。3.已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，且經(jīng)點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的方程為雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，且經(jīng)過點，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A.4.若雙曲線（）的離心力為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】雙曲線（）的，則離心率，解得，則雙曲線的漸近線方程為，即為，故選C.5.已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】拋物線的焦點為；拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，故，故，故該橢圓的離心率為，故選B.6.已知向量，，分別是直線、的方向向量，若，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴。選D。7.如果橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)這條弦的兩端點為斜率為，則，兩式相減再變形得，又弦中點為，可得，所以這條弦所在的直線方程為，整理得，故選C.【方法點睛】本題主要考查待定點斜式求直線的方程及“點差法”的應(yīng)用，屬于難題.對于有弦關(guān)中點問題常用“點差法”，其解題步驟為：①設(shè)點（即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.8.已知橢圓：（），點，為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點，使，則離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，設(shè)，則，可得，故選A.【方法點晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率的范圍，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.二、填空題（每題6分，滿分24分，將答案填在答題紙上）9.若雙曲線（）的左焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，則__________．【答案】4【解析】雙曲線的左焦點，雙曲線的左焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，解得，故答案為.10.已知斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，與橢圓相交于、兩點，則的長為__________．【答案】【解析】橢圓的右焦點為，直線的方程為，代入橢圓方程，可得，解得或，即有交點為，則弦長為，故答案為.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為直線，過拋物線上一點，作于，若直線的傾斜角為，則__________．【答案】【解析】由拋物線方程，可得焦點，準(zhǔn)線的方程為直線的傾斜角為直線的方程為，聯(lián)立，解得，于代入拋物線的方程可得，解得，，故答案為.12.空間四邊形，，，則的值為__________．【答案】0【解析】∵，∴∴。答案：13.設(shè)橢圓與雙曲線有公共焦點，，是兩條曲線的一個公共點，則等于__________．【答案】【解析】由題意得。設(shè)是兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點，則，解得。在中，由余弦定理的推論得。答案：點睛：橢圓（雙曲線）上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓（雙曲線）的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常運用圓錐曲線的定義，并結(jié)合利用正弦定理、余弦定理進行，解題時要注意通過變形將和看做一個整體，以減少運算量．14.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為、，過的直線交雙曲線右志于，兩點，且，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【方法點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理可以找出之間的關(guān)系，求出離心率．三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知平面上的三點、、.（1）求以、為焦點且過點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、、關(guān)于直線的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：(1)根據(jù)題意設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后代入半焦距，根據(jù)橢圓的定義求出，從而可得，進而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點、、關(guān)于直線的對稱點分別為、、.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，）其半焦距，由雙曲線定義得，得，從而可得，進而可得、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.試題解析：（1）由題意知，焦點在軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）其半焦距由橢圓定義得∴∴故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）點、、關(guān)于直線的對稱點分別為、、.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，）其半焦距，由雙曲線定義得∴，∴，故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知拋物線：（）的焦點為，點在拋物線上，且，直線與拋物線交于，兩點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：(1)因為點在拋物線上，且，由拋物線的定義，可得，解可得，代入標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得拋物線的方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去得，設(shè)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，可得的長，由點到直線距離公式可得到直線，進而由三角形面積公式計算可得答案.試題解析：（1）∵在拋物線上，且，∴由拋物線定義得，∴∴所求拋物線的方程為.（2）由消去，并整理得，，設(shè)，，則，由（1）知∴直線過拋物線的焦點，∴又∵點到直線的距離，∴的面積.17.如圖，三棱柱中，側(cè)棱于底面垂直，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運算證明。（1）由題意得為平面的一個法向量，根據(jù)可得，從而可得平面。（2）證明與平面的法向量平行即可。試題解析：（1）證明：依題意，，，以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，∴,,，由題意得平面，∴為平面的一個法向量?！?，∴，又平面。∴平面.（2）證明：連接，由（1）得，，設(shè)平面的一個法向量為由，得，令，得，∴，∴平面。點睛：（1）利用空間向量證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量，但要注意說明這兩條直線不共線．證明線面平行時，可證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，但要說明直線不在平面內(nèi)．（2）利用空間向量證明直線和平面垂直時，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線即可。18.已知橢圓：（）的離心率為，為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點.（1）若點的坐標(biāo)為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點，為橢圓上一點，且，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為得到，再根據(jù)點在橢圓上得到，由以上兩式可得，從而可得橢圓的方程。（2）由題意可得橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為（），,解方程組可得，同樣可求得，根據(jù)可得，由解得后即可得到直線的斜率。試題解析：（1）∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴①∵點在橢圓上，∴②由①②解得，，∴橢圓的方程為。（2）由（1）可知，即∴橢圓的方程為，即，∴點，設(shè)直線的方程為（），,由解得，∵，∴?！?，∴，于是設(shè)直線的方程為（）由消去整理得，解得或（舍去）∴。又，∴，∴，即，∴（）解得，∴。即直線的斜率為。19.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，，，.（1）求二面角的余弦值；（2）設(shè)是棱上一點，是的中點，若與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系：則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由，，得且．取，得，，所以．易知平面，所以是平面的一個法向量．設(shè)與平面所成的角為，所以，即試題解析：（1）以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由，，得且．取，得，，所以是平面的一個