系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、狀態(tài)方程等。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立方法：解析法、實(shí)驗(yàn)辨識(shí)回歸法。用拉氏變換解微分方程示意圖2-1拉氏變換一、拉氏變換的定義1.定義設(shè)函數(shù)f(t)在t≥0時(shí)有定義，如果線性積分存在，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，而f(t)稱為F(s)的原函數(shù)，由象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換，記作

稱其為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，并記作二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)1(t)數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換為

2.單位斜坡函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

3.等加速函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

4.指數(shù)函數(shù)e-at數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其拉氏變換為

5.正弦函數(shù)sin

t

正弦函數(shù)定義為其拉氏變換為

6.單位脈沖函數(shù)(

函數(shù))

函數(shù)的表達(dá)式為其拉氏變換為

三、拉氏變換的基本法則1.線性法則設(shè)F1(s)=L[f1(t)]，F(xiàn)2(s)=L[f2(t)]，a和b為常數(shù)，則有2.微分法則

設(shè)F(s)=L[f

(t)]，則有一階微分：二階微分：三階微分：其中f(0),f

(0),…為f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處的值。當(dāng)時(shí)的微分法則：此時(shí)，即零初始條件下，時(shí)域中的微分運(yùn)算對(duì)等于復(fù)數(shù)域中乘以s的運(yùn)算。3.積分法則設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有當(dāng)時(shí)的積分法則：4.終值定理若F(s)=L[f(t)]，且當(dāng)t

時(shí)，f(t)存在一個(gè)確定的值，則其終值

5.位移定理設(shè)F(s)=L[f(t)]，則有及分別稱為時(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理。四、拉氏反變換

拉氏反變換的定義如下

一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。部分分式法:首先將F(s)分解成一些簡(jiǎn)單的有理分式之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)f(t)。F(s)的一般表達(dá)式為其中n>m,系數(shù)ai、bj均為實(shí)數(shù)。部分分式法先將F(s)化成部分分式之和。(無重根)例2.1求的拉氏反變換。解：進(jìn)行反變換得則其中五、用拉氏變換求解微分方程用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分方程的步驟如下：①對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換（注意初始條件），得代數(shù)方程。②解代數(shù)方程。③拉氏反變換，得微分方程的解。解：對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換例2-2

用拉氏變換求解微分方程。式中y(t)是輸出量，x(t)為輸入量。設(shè)求y(t).解上式得即故線性定常系統(tǒng)(或元部件)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)(或元部件)的傳遞函數(shù)。一、傳遞函數(shù)的定義2.2傳遞函數(shù)

無源RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程為設(shè)初始值uc(0)=0，對(duì)上式取拉氏變換,得

求無源RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)令則傳遞函數(shù)設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為

式中c(t)為系統(tǒng)的輸出量，r(t)為系統(tǒng)的輸入量，a0,a1,…,an

及b0

,b1,

…,bm均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常數(shù)。設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得

按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

二、對(duì)傳遞函數(shù)的說明

1.傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)域(s域)中的一個(gè)表達(dá)式，它與輸入形式無關(guān)。只適用于線性定常系統(tǒng)。2.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即n≥m。分母多項(xiàng)式的最高階次為n，稱該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。如n＝1、2，稱為一、二階系統(tǒng)。3.傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入-輸出之間的關(guān)系，不涉及內(nèi)部信息。因此，不同的物理系統(tǒng)完全可能有相同形式的傳遞函數(shù)。4.同一系統(tǒng)不同輸出信號(hào)對(duì)不同輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)具有相同的分母，所不同的只是分子。把分母多項(xiàng)式稱為特征式，記為D(s)。5.傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。6.傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)。7.傳遞函數(shù)的描述有一定的局限性：

a.只能研究單入、單出系統(tǒng)，對(duì)于多入、多出系統(tǒng)要用傳遞矩陣表示；

c.只能研究零初始狀態(tài)的系統(tǒng)特性，對(duì)非零初始狀態(tài)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性不能反映。四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)pi:極點(diǎn)，用“

”表示零極點(diǎn)分布圖zj:零點(diǎn)，用“”表示K*:為系統(tǒng)根軌跡增益若傳遞函數(shù)該傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1

=?1，p2=?2;零點(diǎn)為z1=?0.5零極點(diǎn)分布圖n階系統(tǒng)有n個(gè)極點(diǎn)。傳遞函數(shù)也可化成如下形式：式中一次因子對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)。為時(shí)間常數(shù)，為開環(huán)增益。時(shí)間常數(shù)形式、尾1形式或典型環(huán)節(jié)乘積形式。2.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換一、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(或稱方塊圖、方框圖)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是表示組成控制系統(tǒng)的各個(gè)元件之間信號(hào)動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系的圖形。1.定義2.組成①信號(hào)線②方框③引出點(diǎn)④比較點(diǎn)(綜合點(diǎn)）前向通道反饋通道①信號(hào)線3.動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的特點(diǎn)（1）動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖形象、直觀，便于研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能；（2）同一系統(tǒng)可畫出不同的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，即結(jié)構(gòu)圖不唯一。但由結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是唯一的。4.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立(1)建立系統(tǒng)各元部件（或典型環(huán)節(jié)）的微分方程。(2)對(duì)各微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，并做出各元部件的方框圖。(3)按照系統(tǒng)中各信號(hào)的傳遞順序，依次用信號(hào)線將各元件的方框圖連接起來。系統(tǒng)的輸入變量在左端，輸出變量（即被控量）在右端，便得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。如RC網(wǎng)路的微分方程對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得繪制上式各子方程的方框圖將方框圖連接起來,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。l.串聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。三、結(jié)構(gòu)圖的等效變換

2.并聯(lián)變換法則

n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為該n個(gè)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)3.反饋?zhàn)儞Q法則

單位負(fù)反饋：H(s)=14.比較點(diǎn)移動(dòng)法則

原則：移動(dòng)前后各輸入到輸出間傳遞關(guān)系不變。

前移后移1.圖形特點(diǎn)2.數(shù)學(xué)式子5.引出點(diǎn)移動(dòng)法則

前移后移原則：移動(dòng)前后各輸入到輸出間傳遞關(guān)系不變。

6.相鄰的比較點(diǎn)之間可以隨意調(diào)換位置，亦可綜合為一個(gè)比較點(diǎn)。相鄰的引出點(diǎn)之間亦然。

7.相鄰的比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間不調(diào)換位置。

一般不采用！動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換需注意的問題:(1)有交叉連接的，采用移動(dòng)法先消除交叉。移動(dòng)原則：將比較點(diǎn)或引出點(diǎn)向同類移動(dòng)。(2)由里向外變換。對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，由內(nèi)回路向外回路進(jìn)行變換。

(3)多輸入變換多次。系統(tǒng)有多個(gè)輸入量，則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。

(4)變換的最終形式:

例1：求第二章數(shù)學(xué)模型第二章數(shù)學(xué)模型例：求下圖所示系統(tǒng)被控量C(s)對(duì)各輸入信號(hào)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s),C(s)/N1(s),C(s)/N2(s)。G1G2G3R(s)C(s)N1(s)N2(s)+-+--解：(1)求C(s)/R(s)。N1(s)設(shè)N1=0，N2=0設(shè)N1=0，N2=0把比較點(diǎn)前移G1G2G3C(s)N1N2+-+--N1R(s)+N2-++把比較點(diǎn)前移再進(jìn)行并聯(lián)和內(nèi)回路反饋?zhàn)儞QG1G3R(s)C(s)-串聯(lián)后再作反饋?zhàn)儞QR(s)C(s)進(jìn)行串聯(lián)變換R(s)C(s)(2)求C(s)/N1(s)

，設(shè)R(s)=0，N2(s)=0，得

G1G2G3C(s)N1(s)+N2(s)---+R(s)G1G3+-C(s)N1(s)因此，G3C(s)N1(s)C(s)N1(s)(3)求，設(shè)R(s)=0，N1(s)=0所以，G1G2G3C(s)N2(s)N1(s)+-R(s)+--R(s)=0，N1(s)=0四、用梅森（S.J.Mason）公式求傳遞函數(shù)

結(jié)構(gòu)圖———

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等效變換梅森公式式中：(s)－系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)－特征式，且=1-La+

LbLc-

LdLeLf+…梅森公式Pk－第k條前向通道的傳遞函數(shù)。

k－余子式，即在特征式中把與Pk接觸的回路傳函置為零后余下的式子。n－前向通道的個(gè)數(shù)。L－回路傳遞函數(shù)。指反饋結(jié)構(gòu)的前向通道和反饋通到傳遞函數(shù)的乘積，且包含反饋正負(fù)號(hào)。明確幾個(gè)概念：回路－閉合通道，即在結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)可以沿箭頭方向閉合流動(dòng)且經(jīng)過的任一元件不多于一次?；ゲ唤佑|回路－相互間沒有共同部分的回路。即把一個(gè)回路去掉，另一回路不受影響，則為互不接觸。前向通道－由輸入端單向(沿箭頭)傳遞至輸出端的信號(hào)通道被稱為前向通道。例

求圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

解：(1)前向通道有1條:(2)單獨(dú)回路有4個(gè)：有2個(gè)回路互不接觸，所以有特征式：余子式：(不存在與P1不接觸的回路)(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)為例利用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：①系統(tǒng)有兩個(gè)前向通道：P1=G1G2G3，P2=G3G4②系統(tǒng)有一個(gè)回路：L1=-G2G3H

且與兩前向通道均相接觸。③系統(tǒng)特征式Δ=1-L1=1+G2G3H兩前向通道的余子式Δ1=Δ2=1

④系統(tǒng)傳函2.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)其傳遞函數(shù)都可化為如下形式。我們把其中的每個(gè)因子定義為一個(gè)典型環(huán)節(jié)。一、比例(放大)環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)方塊圖

其微分方程為

K為常數(shù)，稱比例系數(shù)或增益。

傳遞函數(shù)為

運(yùn)算放大器：電位器：二、積分環(huán)節(jié)

微分方程為

傳遞函數(shù)為

積分器電壓的傳遞函數(shù)先列各元件的微分方程，再分別求拉氏變換，由變換后方程求傳遞函數(shù)，從而導(dǎo)出電網(wǎng)絡(luò)傳函的求法。用復(fù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)將R、L、C元件的傳遞函數(shù)作為其復(fù)阻抗，應(yīng)用電路理論可直接求出電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，而不必列寫微分方程。三、理想微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

測(cè)速發(fā)電機(jī)四、慣性環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

運(yùn)算放大器五、一階微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

六、振蕩環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

式中:

——相對(duì)阻尼比(無量綱)

n——無阻尼自然頻率T為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。例2-13RLC網(wǎng)絡(luò)例2-14質(zhì)量-彈簧-阻尼動(dòng)力系統(tǒng)例2-15位置隨動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在忽略次要因素的條件下，同樣是具有震蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。1.由以上三個(gè)例題可以看出，完全不同的物理系統(tǒng)卻具有相同特征的數(shù)學(xué)模型，這使得用電網(wǎng)絡(luò)模擬非電物理系統(tǒng)成為可能。2.同一傳遞函數(shù)可表示完全不同的物理系統(tǒng)，本門課程主要從數(shù)學(xué)模型（傳遞函數(shù)）出發(fā)研究控制系統(tǒng)的共性，不再指明具體物理系統(tǒng)。七、二階微分環(huán)節(jié)

微分方程

傳遞函數(shù)

二階微分環(huán)節(jié)的方框圖典型環(huán)節(jié)是分析系統(tǒng)的基礎(chǔ)，應(yīng)牢固掌握！2.5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖R(s)——指令信號(hào)，給定量，作用于系統(tǒng)輸入端。N(s)——干擾信號(hào)，一般是作用在被控對(duì)象上。C(s)——被控量,輸出信號(hào)B(s)——反饋信號(hào)E(s)——誤差信號(hào)一、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)斷開系統(tǒng)的主反饋通路。把G1(s)G2(s)H(s)之積稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。定義二、R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，此時(shí)C(