等腰三角形作輔助線的常用方法題型01等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊上的中線【典例分析】【例1-1】（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點D為中點．，繞點D旋轉(zhuǎn)，分別與交于E，F(xiàn)兩點．下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．B．C．D．始終為等腰直角三角形【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，連接；A：證即可判斷；B：由題意可推出，，據(jù)此即可判斷；C：根據(jù)即可判斷；D：根據(jù)即可判斷；【詳解】解：連接，∵是等腰直角三角形，且D為斜邊的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴．故A選項中的結(jié)論正確．∵，∴，即．∴，又∵，而與不一定相等，∴不一定等于．故B選項中的結(jié)論錯誤．在中，∴．故C選項中的結(jié)論正確．∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．故D選項中的結(jié)論正確．故選：B【例1-2】（20-21八年級·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，為線段的中點，．(1)求證：；(2)若，則的度數(shù)為___________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一、等邊對等角的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)等邊對等角可得，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，的垂直平分線交于點，，，，為線段的中點，；（2）解：，，，由（1）知，，，，，，，，．故答案為：．【例1-3】（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，在中，，，D為的中點，E，F(xiàn)分別是，上的點，且，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】等腰直角三角形，見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；通過證明推知；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知，證出，即可得出結(jié)論．熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．【詳解】解：為等腰直角三角形．理由：如圖所示，連接．∵，D為的中點，∴，∴．∵，，∴．在中，，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形【變式演練】【變式1-1】（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在等腰三角形中，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的邊上的一點，則當為等腰三角形時，的度數(shù)是（

）A． B． C．減 D．或【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．過D作，，易證，，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：連接，∵，，∴，∵點P是等腰的腰上的一點，，D為的中點，∴，過D作，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，∴，故選C【變式1-2】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，在中，，D是的中點，過A作，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，利用等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，從而說明垂直平分，則有；（2）利用等角的余角相等，再利用證明，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接AD，，點為的中點，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式1-3】（2024八年級·天津·專題練習）如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．（1）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知，根據(jù)等腰三角形三線合一即可知（2）設，由（1）可知，然后根據(jù)的內(nèi)角和為列出方程即可求出x的值．【詳解】（1）證明：連接，∵垂直平分，∴，∵，∴∵D是的中點，∴；（2）解：設∵∴°∴由三角形的外角的性質(zhì)，∵，∴在中，解得，∴題型02等腰三角形中沒有底邊中點時，常作底邊上的高【典例分析】【例2-1】（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點是邊的中點，點在邊上（不與點，重合），連接．（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】本題考查了三角形的中位線，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．過點作，過點作于點，得到是的中位線，得到，進而得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形角和邊的關系得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，過點作，過點作于點，

點是邊的中點，是的中位線，，，，，，，，，，，，若，則；若，則；若，則；若，則，故選：【例2-2】（23-24八年級上·浙江溫州·階段練習）如圖，在等邊三角形中，D是上的一點，E是延長線上一點，連接、，已知．(1)求證：是等腰三角形．(2)當，時，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）設，則，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，過D作于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得的長，進而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：設，則，∴，∴，∴，∴，∴，如圖，過D作于H，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【例2-3】（23-24八年級上·山東臨沂·期末）已知在中，，點D是邊上一點，．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點B作，垂足為點E，與相交于點F．①試說明的理由；②如果，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等量代換可得．再根據(jù)等角對等邊可得，即可解答；（2）①過點A作，垂足為H，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出，利用余角的性質(zhì)證明，即可得證；②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵，∴．∴．∴．（2）解：①過點A作，垂足為H．∵，∴．∵，∴，又，∴，又，∴．即；②∵，∴，∵，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴．【變式演練】【變式2-1】（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習）如圖，是的角平分線，，垂足為E，交的延長線于點F，若D恰好是的中點，．給出下列四個結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．證明，可得，，作于點，利用角平分線的性質(zhì)求得，證明，推出平分；據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵D恰好是的中點，∴，在與中，∵，∴，∴，，故②正確；作于點，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴平分；故①正確；∴，∴，∵是的角平分線，∴，故③正確；∵，∴，故④正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A【變式2-2】（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，已知，，與相交于點G．求的度數(shù)．【答案】．【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關鍵．過點A作于點M，過點D作于點N，利用等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的特征，證明，設，則，，進而得出，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點A作于點M，過點D作于點N，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【變式2-3】（23-24八年級上·山東聊城·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為交的延長線于點，若恰好平分．(1)求證：；(2)若的面積是18，，求長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，證明三角形全等是解題的關鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可判斷是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得是中線，由“”可證；（2）過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)中線的性質(zhì)可得，由三角形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：平分，，．是角平分線，．在和中，，．（2）解：過點作于點，，，平分，，，，即，．題型03等腰三角形中證與腰有關聯(lián)的線段時，常作腰的平行線【典例分析】【例3-1】（22-23八年級上·湖北荊門·期中）如圖，中，，點從點出發(fā)沿線段移動（點不與，重合），同時，點從點出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點、移動的速度相同，與直線相交于點．(1)求證：；(2)過點作直線的垂線，垂足為，、在移動過程中，線段中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．【答案】(1)見詳解(2)的長度保持不變，理由見詳解【分析】（1）過點作交于，根據(jù)題意可知，由平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)可推導，即可證明，然后證明，由全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）由（1）可知，，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知，再由全等三角形的性質(zhì)證明，即可推導，即為定值．【詳解】（1）證明：過點作交于，如下圖，∵點、同時出發(fā)，且移動的速度相同，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：的長度保持不變，理由如下：由（1）可知，，∵，∴，由（1）可知，，∴，∴，∴為定值．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，理解題意，正確作出輔助線是解題關鍵【例3-2】（22-23八年級上·河南鶴壁·期末）問題初探如圖①，中，，，點是上一點，連接，以為一邊作，使，，連接，猜想和有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．類比再探如圖②，中，，，點是上一點，點是上一點，連接，以一邊作，使，，連接，則________．（直接寫出答案，不寫過程）方法遷移如圖③，是等邊三角形，點是上一點，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，則、、之間有怎樣的數(shù)量關系？答案：________（直接寫出答案，不寫過程）．拓展創(chuàng)新如圖④，是等邊三角形，點是上一點，點是上一點，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，猜想的度數(shù)，并說明理由．【答案】（1），理由見解析（2）（3）（4），理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可推出，然后利用邊角邊即可證明，即可推出；（2）過點作交于點，則，同（1）可證：，即可算出；（3）根據(jù)題意推出，然后利用邊角邊即可證明，推出，即可推出；（4）過點作交于點，得到是等邊三角形，再證明，得到，根據(jù)，即可得解．【詳解】解：（1），理由如下：，，即，在和中，，，；（2）如圖所示，過點作交于點，，，在中，，，，，同（1）可得：，，，故答案為：；（3）和均為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，故答案為：；（4），理由如下：如圖所示，過點作交于點，，，是等邊三角形，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．本題的綜合性較強，解題的關鍵是添加輔助線，構(gòu)造手拉手全等模型，證明三角形全等．【變式演練】【變式3-1】（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，點P從點B出發(fā)沿線段移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，與直線相交于點D，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定定理，全等三角形的性質(zhì)與判定定理，解決本題關鍵作出合適的輔助線．過點P作交于點F，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)準備條件，再證即可．【詳解】證明：如圖，過點P作交于點F，∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴，∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴．【變式3-2】（2024·八年級上·湖北吉林長春·）如圖，在等腰中，頂角，點D是邊的中點，連接，作于點E，再作交于點F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為______．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線，三角形中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出，，利用余角的性質(zhì)可得出，，利用等邊對等角得出，，取中點G，連接，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)即可得證；（2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出，則可求的面積，然后利用三角形中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，點D是邊的中點，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，取中點G，連接，

∴，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵，∴，∵，G為中點，∴，∴，∵點D是邊的中點，∴，故答案為：4題型04等腰三角形中證與底有關聯(lián)的線段時，常作底的平行線【典例分析】【變式4】（22-23八年級上·上?！て谥校┤鐖D，在中，D是的中點，過D的直線交于E，交的延長線于F，且．求證：．【答案】見解析【分析】過點C作交于G，利用“角邊角”證明，則，推出，再根據(jù)等角對等邊可得．【詳解】證明：過點C作交于G，∴，D是的中點，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵．【變式演練】【變式4-1】（23-24八年級上·北京·期末）如圖，等邊中，在邊延長線上一點，延長至，使，于，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)等知識點，過點作交的延長線于點，證明，可得，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)即可得證．解題的關鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．【詳解】證明：過點作交的延長線于點，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴是等邊三角形，，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴．【變式4-2】（22-23八年級上·湖北黃岡·階段練習）已知：在等邊中，點是邊所在直線上的一個動點（與、兩點均不重合），點在的延長線上，且．(1)如圖①，當是邊的中點時，求證：；(2)如圖②，當是線段邊上任意一點時，（1）中的結(jié)論是否一定成立？請說明理由；(3)若點是線段的延長線上任一點，，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出，則，即可得出結(jié)論；（2）過E作交于F，證是等邊三角形，得，再證，得，即可得出結(jié)論；（3）過E作交的延長線于F，則為等邊三角形，得，再證，得，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，點E為的中點，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：當點E為線段上任意一點時，（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖②，過E作交AC于F，∵是等邊三角形，∴，∴，，即，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴；（3）解：如圖③，過E作交的延長線于F，則為等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，

∴，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查的是等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．題型05補形法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例5-1】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，，為延長線上一點，為上一點，．(1)求證：；(2)若是的中線，交于點，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、等角的補角相等、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．（1）由，得，因為，，所以，由，得，所以；（2）作交的延長線于點，則，而，且，所以，可證明，得，所以，再證明，得．【詳解】（1）證明：，，，，，，，；（2）證明：作交的延長線于點，則，，，且，，是的中線，，在和中，，，，，在和中，，，【例5-2】（22-23八年級上·河南漯河·階段練習）已知，分別是，的中線，且，求證．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角三角形判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，倍長中線，構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．延長至，使，連接，證明，得，，再證，得，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：延長至，使，連接，如圖，是的中線，，在和中，，，，，是的中線，，，，，，，在與中，，，，，，【例5-3】（23-24八年級上·江西上饒·期末）如圖，中，，于D，且，求．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；延長至，使，由等腰三角形的性質(zhì)得，由三角形外角的性質(zhì)得，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，由三角形內(nèi)角和定理得，即可求解；掌握性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線，構(gòu)建等腰是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，延長至，使，，，，，，，，，，，，解得：．【變式演練】【變式5-1】（23-24八年級上·吉林松原·期中）數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．【探究】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使，請補充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長AD到點E，使在和中（已作），（______），（中點定義），∴（______），(2)探究得出的取值范圍是______；（直接寫出結(jié)果即可）【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．(3)如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．【答案】(1)對頂角相等；SAS(2)(3)【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關系及等腰三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)題干已知可得；（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得，利用三角形三邊關系即可求得答案；（3）延長交于點，證明，根據(jù)全等性質(zhì)得，，利用得等腰三角形即可求得答案．【詳解】（1）證明：延長到點，使在和中，（已作）（對頂角相等）（中點定義）故答案為：對頂角相等；SAS；（2）∵，∴，∴，則，故（3）延長交的延長線于F，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵∴【變式5-2】（23-24八年級上·江西南昌·期末）如圖，在中，，是的角平分線.(1)當時，求的度數(shù)；(2)當時，求證：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1），延長至，使，連接，則，再證明，可得，設，則，可表示，及，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案；（2），求出，再截取，可證明，進而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）延長至，使，連接，則．，．平分，．，，．設，則，.∵，．在中，，，解得，；（2）∵，且，，在BC上截取，連接DF．平分，．，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義等，構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵【變式5-3】（23-24八年級上·吉林白山·階段練習）如圖，為等邊內(nèi)一點，連接、，延長到點，使；延長到點，使，連接、．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若，則度．【答案】(1)見解析(2)(3)60【分析】（1）證明，再利用全等三角形性質(zhì)即可得到；（2）根據(jù)題意得到，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到；（3）延長交于點，得到，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到．【詳解】（1）解：在和中，，∴，∴，∴；（2）解：∵，等邊，∴，，∴是等腰三角形，，∴，∴；（3）解：延長交于點，如圖：，∵且，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形性質(zhì)及判定，平行線判斷，等腰三角形性質(zhì)及判定，等邊三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等．題型06延長（或截?。┓?gòu)造三角形【典例分析】【例6-1】（23-24八年級上·重慶開州·階段練習）已知，如圖，中，為外一點，且于點，連接交于點，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，，由，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合，得到，由即可求解；（2）延長交于點G，證明，得到，，證明，得到，根據(jù)，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）證明：如圖，延長交于點G，則，，，，，，，，，，，，，，，．【例6-2】（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習）已知：在中，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證：．【答案】見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關鍵．延長至點，使得，連接，，先證明，即可求得，即可求證，即可解題．【詳解】證明：延長至點，使得，連接，，，，，，同理，，，，，在和中，，，，，【例6-3】（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點，如圖1，直線與線段相交，于，于D，F(xiàn)是的中點，連接、．

(1)求證：；(2)求證：且；(3)當直線與線段不相交，如圖2，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（2）中結(jié)論成立，理由見解析【分析】（1）用證明，可得，，利用線段的和差關系即可完成；（2）延長交于點，利用證明，得，,進而得，由（1）的結(jié)論即得，最后可得結(jié)論成立；（3）延長交于點，用證明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性質(zhì)即得結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：，，，，，，．在與中，，，，，即．（2）證明：延長交于點，，，，，是中點，，在與中，，，，．在中，是中點，，．而由（1），，又，．

（3）證明：延長交于點，，，，，是中點，，在與中，，，，．在中，是中點，，由（1），，，∴，又，．

【點睛】本題是全等三角形的綜合；考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；構(gòu)造全等三角形是本題的關鍵與難點【變式演練】【變式6-1】（22-23八年級上·河南鄭州·階段練習）如圖，在正方形中，E、F分別是的中點，交于點G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①正確；求得，根據(jù)垂直的定義得到，故②正確；推導出不是等邊三角形，進而得到，故③錯誤；延長交的延長線于，根據(jù)線段中點的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到．故④正確．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵分別是的中點，∴，∴，在與中，∴，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，∴不是等邊三角形，∴，故③錯誤；∵，∴，延長交的延長線于，如圖，∵點是的中點，∴，∵，∴，∴，∵是斜邊的中線，∴．故④正確；故選：C．【變式6-2】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數(shù)為．

【答案】/32度【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．延長到G使，連接，通過，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到，進而利用三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：如圖，延長到G使，連接，

在與中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：【變式6-3】（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，，與相交于點，．(1)求證：垂直平分；(2)過點作交的延長線于，如果；①求證：是等邊三角形；②如果、分別是線段、線段上的動點，當為最小值時，請確定點的位置，并思考此時與有怎樣的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)①證明見解析；②為最小值時，與的數(shù)量關系是【分析】本題考查中垂線的判定定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、含角得的直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，綜合題，理解題意是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)，可得，再由證明，則，利用中垂線的判定定理即可證明；（2）①設，根據(jù)可得，由于，可得，根據(jù)是的外角，則，由于，所以，從而，進而，結(jié)論得證；②延長至，使，可得與關于成軸對稱，過作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可得數(shù)量關系．【詳解】（1）證明：，，，，在的垂直平分上，，，在的垂直平分上，垂直平分；（2）①證明：設，，，是的外角，，由（1），，，，，，，，即，則，，，是等邊三角形；②為最小值時，與的數(shù)量關系是，理由：延長至，使，，與關于成軸對稱，過作于交于，連接，，，此時為最小，由①知：，即，即，在中，，，為最小值時，與的數(shù)量關系是．題型07倍長中線法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例7-1】（22-23八年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，為中線，點在上，交于點．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．延長至點，使，連接，證明，得到，進而得到，得到，根據(jù)對頂角相等，推出，即可．解題的關鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．【詳解】證明：延長至點，使，連接，∵為中線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【例7-2】（23-24八年級上·湖南懷化·期中）問題探究：小圣遇到這樣一個問題：如圖1，中，是中線，求的取值范圍．他的做法是：延長到，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小圣證明的判定定理是______；(2)的取值范圍是______；方法運用：(3)如圖2，是的中線，在上取一點，連接并延長交于點，使，求證：．【答案】(1)邊角邊(2)(3)證明過程見詳解【分析】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，等角對等邊的知識的綜合，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形的判定方法即可求解；（2）運用三角形三邊關系“兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊”，由此即可求解；（3）如圖所示，延長至點，使得，可證，可得，再根據(jù)可證，由此即可求解．【詳解】（1）解：是的中線，∴，∵延長到，使，，∴，∴運用的是“邊角邊”判定定理證明，故答案為：邊角邊．（2）解：由（1）可知，，∴，在中，，∴，即，∵，∴，故答案為：．（3）證明：如圖所示，延長至點，使得，∵是中點，且，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，且，∴．【例7-3】（23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如圖2，和是兩個等腰直角三角形，，，與交于．取的中點，連，探討與的數(shù)量和位置關系．

【答案】（1）B；（2）C；問題解決：，【分析】（1）根據(jù)推出和全等即可；（2）根據(jù)全等得出，由三角形三邊關系定理得出，求出即可；（3）延長到，使，連接，根據(jù)證,再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)求出即可．【詳解】解：∵在和中，，∴，故選：B；（2）解：∵由（1）知：，∴，∵在中，，由三角形三邊關系定理得：，∴，故選：C；問題解決：，

理由∶如圖2所示，延長到點，使，連接．，延長交于．∵，，，∴，∴，∴，∵，∴．∴，∴．又，∴，∴．，∴

∵，∴，

故，．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．【變式演練】【變式7-1】（23-24八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的中線，是上一點，交于，若，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),延長到使得，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到，等量代換得到，再由已知條件即可解決問題；【詳解】如圖，延長到使得，連接，

∵是的中線，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴又∵∴∴∴，∴，∵，∴∴故選：D【變式7-2】（22-23八年級上·上海楊浦·期末）已知，如圖：中，，是的中線：求證：．

【答案】見解析【分析】利用中線加倍證，可得，，由，可得進而可證，再證即可．【詳解】證明：延長到F，使，連接，

∵E是中點，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，掌握中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)是解題關鍵【變式7-3】（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是（

）A．

B．

C．

D．

（2）求得的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”和“中線’字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，交于，交于，且．求證：．【答案】（1）B；（2）A；（3）見解析【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．（1）根據(jù)，，推出和全等即可；（2）根據(jù)全等得出，，由三角形三邊關系定理得出，求出即可；（3）延長到，使，連接，根據(jù)證，推出，，根據(jù)，推出，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：在和中，，故選B；（2）解：由（1）知：，，，在中，，由三角形三邊關系定理得：，，故選C；（3）證明：如圖2，延長到，使，連接，是中線，，在和中，，，，，，，，，即．題型08截長補短法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例8-1】（23-24八年級下·江西上饒·開學考試）（1）如圖1，在中，，點是邊上一點，連接，，兩點都在線段上，連接，，過作交延長線于點，若，．求證：；（2）如圖2，在中，，點為下方一點，連接，，過作交于點，若，，，求的長．【答案】見解析【分析】（1）由，得，則，由，得，所以，而，，即可根據(jù)“”證明，則；（2）在上截取，連接，可證明，得，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，則，所以，則．【詳解】（1）證明：，，，，，∵，，，在和中，，∴，；（2）解：如圖2，在上截取，連接，在和中，，，，，，∵，，，，，的長是2．【點睛】此題重點考查等角的補角相等、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．【例8-2】（22-23八年級上·遼寧大連·階段練習）數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點，交于點，過作交于點，交于點，試探究線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補短，再通過進一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數(shù)量關系，并證明；(3)探究線段之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”判定和全等即可求證；（2）是等腰直角三角形，設，根據(jù)，用含的式子表示，根據(jù)，用含的式子表示，由此即可求解；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，可證，可得，根據(jù)（2）的結(jié)論，可證，可得，再根據(jù)可得是等腰三角形，可找出的關系，由此求解．【詳解】（1）解：∵在和中，∵，，，∴，∴．（2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，由（1）可知，，設，∵，∴，且，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：過點作交延長線于點，延長交于點，

∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，由（2）可知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，則是等腰三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的和差計算的綜合，掌握以上知識的運用是解題的關鍵【例8-3】（23-24八年級上·遼寧大連·期末）【問題情境】在數(shù)學活動課上，李老師給出如下的問題：如圖1，已知，，過點B作射線l，點E在的內(nèi)部，點A和點E關于l對稱，交l于點D，連接．證明：．【探究合作】同學們根據(jù)問題進行小組合作，下面是第一小組的同學分享的解題過程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補”的方法．如圖4，延長到點G，使，連接，再確定一個三角形作為目標構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長補短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問題”，這就將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學學習中無處不在．請同學們反思后解決下面的問題：（3）如圖，，，點D是的角平分線上一動點，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析（3）的最小值是3【分析】（1）對稱的性質(zhì)得到，，，，，推出，設，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，推出即可；（2）采用小明的方法：連接，易得是等邊三角形，證明是等邊三角形，推出，即可得出結(jié)論．（3）過點C作交BA于點H，交的平分線于點D，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線平分角，推出，進而得到，根據(jù)含30度角的直角三角形，得到，進而得到，進而得到當三點共線時，取得最小值為的長，進一步求出結(jié)果即可．【詳解】（1）∵A、E兩點關于l對稱∴，，，，，∵，∴，設，則∴∵，∴∵∴∴（2）連接．∵，，∴是等邊三角形，∴，，又∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）過點C作交BA于點H，交的平分線于點D，此時取得最小值；∵點E在的垂直平分線上∴．∴∵BD平分∴∴∴∴在中，∴∴當C、D、H三點共線時最短，此時在中，∴∴的最小值是3．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．綜合性強，難度較大，