專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問(wèn)題 2題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題 3題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 4三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫(huà)草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問(wèn)題1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．（2023·陜西渭南·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間：(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．3．（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函數(shù)，(1)求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；(2)函數(shù)，，是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，請(qǐng)討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)情況．5．（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）給定函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)討論方程解的個(gè)數(shù).題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題1．（2023上·廣東珠?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；2．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．3．（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作的切線，求該切線的方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（2023上·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024上·廣東江門(mén)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023下·廣東陽(yáng)江·高二校考期中）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題4．（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、問(wèn)答題7．（2023上·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．8．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；(2)若，方程有三個(gè)不同的根，求的取值范圍．9．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求該切線方程；(2)討論曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．10．（2023下·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）給定函數(shù)(1)判斷的單調(diào)性并求極值；(2)討論解的個(gè)數(shù)．專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問(wèn)題 2題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題 6題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù) 9三、專項(xiàng)訓(xùn)練 14一、必備秘籍1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫(huà)草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型題型題型一：判斷（討論）零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問(wèn)題1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）函數(shù)定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又當(dāng)趨向于0時(shí)，，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)令，解得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)趨向于0時(shí)，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，又，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，若，即時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).2．（2023·陜西渭南·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間：(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減且，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)零點(diǎn)常用方法（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，結(jié)合的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).3．（2023上·廣東中山·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，討論與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)函數(shù)與的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，，題中問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)?，，所以有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以有唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)．4．（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┖瘮?shù)，(1)求函數(shù)在點(diǎn)的切線方程；(2)函數(shù)，，是否存在極值點(diǎn)，若存在求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，請(qǐng)討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)情況．【答案】(1)；(2)時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn).(3)答案見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題設(shè)，則，而，所以，切線方為，即.（2）由題設(shè)，則，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，則在上遞減，在上遞增；此時(shí)有極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).（3）由題意，只需討論在上根的情況，令，則，而，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；且趨向0或時(shí)趨向，極大值為，綜上，當(dāng)，原方程有無(wú)解；當(dāng)，原方程有一個(gè)解；當(dāng)，原方程有兩個(gè)解；5．（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）給定函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)討論方程解的個(gè)數(shù).【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；極小值為，無(wú)極大值(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，解得，，的變化情況如表所示.-3-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值（2）方程的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).令，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又由（1）可知，在時(shí)有唯一極小值，也是最小值.所以，的圖象經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)，，.且當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.如圖，作出函數(shù)的圖象由圖象可得，當(dāng)時(shí)，與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以方程的解為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程的解為1個(gè)；當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程的解為2個(gè).題型二：證明唯一零點(diǎn)問(wèn)題1．（2023上·廣東珠?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1），所以切點(diǎn)為，又，所以，所以切線方程為，即；（2）由（1）知，令則，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，又，所以在區(qū)間上恒成立，，所以存在使得，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，即在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般可以先通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性判斷函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像解決相關(guān)問(wèn)題.2．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：有唯一零點(diǎn)．【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）由易判斷在單調(diào)遞增，且，，所以可令，得，所以，由題意，即，所以；（2），則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，結(jié)合（1）可得存在唯一，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題（1）的關(guān)鍵是通過(guò)同構(gòu)得出；（2）的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性.3．（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作的切線，求該切線的方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，，則，故切線方程為，由切線過(guò)原點(diǎn)，得，所以所求切線方程為；（2）要證明時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即證只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，由此可知，的圖象在上有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題思路是構(gòu)造函數(shù)令，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解．題型三：根據(jù)零點(diǎn)（根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)1．（2023上·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由，當(dāng)，定義域?yàn)?，此時(shí)，故，即在上遞減；當(dāng)，定義域?yàn)?，若，則，在上遞增；若，則，在上遞減；（3）由題設(shè)，，故在有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以在在有兩個(gè)不同根，令，則，在，則，在上遞減，在，則，在上遞增，且，趨向于0或時(shí)都趨向于，故只需，滿足題設(shè).2．（2023·陜西咸陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；(2)若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，又，所以在上的值域?yàn)?（2）函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則問(wèn)題等價(jià)于在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，易求，因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)椋?，所以在上，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在上僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（2023上·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，，的最小值為．（2）與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)根，只有一個(gè)根，令，所以的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，，令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，的圖象如下所示：

，又的圖象與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，.4．（2023下·湖南衡陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程有三個(gè)根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）解：由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得或，由得，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；（2）方程有三個(gè)根，即有三個(gè)根，有三個(gè)根，顯然不是方程的根，則有三個(gè)根，即與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，由，可得或，由，可得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖所示：

要使與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，只需，的取值范圍是．5．（2023下·浙江衢州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的切線有且僅有兩條，求的值；(2)若對(duì)于任意，直線與曲線都有唯一交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)作函數(shù)切線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€方程為，即，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以.令，則，所以，，遞減；，，遞增；，，遞減.當(dāng)時(shí)，取極小值；當(dāng)時(shí)，取極小值，，時(shí)；時(shí)，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由題意，直線與的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.（2）由題可得有唯一解，即有唯一解．令，若，則與題設(shè)，矛盾，故.又因?yàn)?，；，，結(jié)合題意可得在上單調(diào)遞增，即，所以，結(jié)合（1）可得，所以.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024上·廣東江門(mén)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）直線與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】聯(lián)立與，消去y得，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，函數(shù)有唯一零點(diǎn)1，所以直線與函數(shù)的圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．故選：B2．（2023上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則，注意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需與直線有兩個(gè)交點(diǎn)即可，即關(guān)于的方程有兩個(gè)根，即在上有兩個(gè)根，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故選：A．3．（2023下·廣東陽(yáng)江·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】令，則，構(gòu)建，原題意等價(jià)于與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋?，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取到極大值，在處取到極小值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，

結(jié)合的圖象可知：若與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則或，所以常數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、填空題4．（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】令且，則，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞增；當(dāng)時(shí)，即遞減；所以，故恒成立，即在、上遞減，而時(shí)；時(shí)；時(shí)；所以的圖象如下圖示，故有兩個(gè)根．

故答案為：5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)的圖像如下圖所示：

由得出，當(dāng)時(shí)，顯然不成立.但時(shí)，解得，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時(shí).即時(shí)，唯一整數(shù)解是，當(dāng)時(shí)，，使得不等式只有唯一整數(shù)解，此時(shí)，即時(shí)，唯一整數(shù)解是.綜上，.故答案為：6．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期中）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，由題意可知：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，切線方程為，若切線過(guò)原點(diǎn)，則，解得，結(jié)合圖象可知：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.

三、問(wèn)答題7．（2023上·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍．（2）與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即只有一個(gè)根，只有一個(gè)根，令，所以的圖像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，，又因?yàn)榈膱D像與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，所以.8．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；(2)若，方程有三個(gè)不同的根，求的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令得或，?dāng)即時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故有極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，fx在區(qū)間單調(diào)遞增；故有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間，無(wú)極值點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，即，由（1）可知，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；極大值，極小值，要使有三個(gè)不同的根，則.故的取值范圍為9．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求該切線方程；(2)討論曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1），因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸平行，所以，因?yàn)?，所以．所以所求切線方程為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．所以當(dāng)時(shí)，曲線與直線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上，，令，得舍去，則，又所以在上，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，即為偶函?shù)，所以在上，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線與直線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線與直