第14章勾股定理全章整合與提升

一個概念——反證法1.

用反證法證明命題“三角形中沒有兩個直角”，應(yīng)先假設(shè)

(

B

)A.

三角形中有一個內(nèi)角是直角B.

三角形中有兩個內(nèi)角是直角C.

三角形中有三個內(nèi)角是直角D.

三角形中不能有內(nèi)角是直角B234567891011121

兩個定理

勾股定理2.

如圖，在Rt△

AOB

和Rt△

COD

中，

AB

＝

CD

＝25，

OB

＝7，

AC

＝4，則

BD

的長為

?.8

234567891011121

勾股定理的逆定理3.

如圖①是超市的兒童玩具購物車，圖②為其側(cè)面簡化示意

圖.測得支架

AC

＝24

cm，

CB

＝18

cm，兩輪中心的距離

AB

＝30

cm，求點

C

到

AB

的距離.(結(jié)果保留整數(shù))234567891011121

答：點

C

到

AB

的距離約為14

cm.234567891011121

四個應(yīng)用

應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中線段、角度、面積等問題4.

如圖，在直線

l

上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的

三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形

的面積依次是

S1、

S2、

S3、

S4，則

S1＋

S2＋

S3＋

S4

＝

?.4

234567891011121

應(yīng)用勾股定理解決折疊問題5.

如圖是一張直角三角形紙片，∠

C

＝90°，

AC

＝40，

BC

＝50，將△

ABC

折疊，使點

B

和點

A

重合，折痕為

DE

，則

BD

的長為(

B

)BA.9B.41C.42D.44234567891011121點撥：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得

AD

＝

BD

.

∵

BC

＝50，∴

DC

＝50－

BD

.

在Rt△

ACD

中，∠

C

＝90°，

AC

＝40，由勾股定理，得

AC2＋

DC2＝

AD2，∴402＋(50－

BD

)2＝

BD2，解得

BD

＝41.故選B.

234567891011121

應(yīng)用勾股定理解決最短路徑問題6.

如圖是一個底面為正方形的長方體，已知該長方體底面邊

長為4

cm，高為5

cm，一只瓢蟲沿著長方體的表面從點

A

爬到點

B

，求需要爬行的最短距離.234567891011121點擊跳轉(zhuǎn)幾何畫板

234567891011121如答圖②，將長方體的上表面展開與前面所在的平面形成

一個長方形.由題意知

AD

＝4

cm，

BD

＝5＋4＝9(cm)，

234567891011121

勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用7.

如圖，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝20

cm，

BC

＝15

cm，

AD

＝24

cm，

CD

＝7

cm，∠

B

＝90°，猜想∠

DAB

與

∠

BCD

的關(guān)系，并說明理由.234567891011121解：∠

DAB

＋∠

BCD

＝180°.

234567891011121

兩種數(shù)學(xué)思想

方程思想8.

如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AB

＝10

cm，

BC

＝6

cm，若點

P

從點

A

出發(fā)，以2

cm/s的速度沿折線

A

→

C

→

B

→

A

運動，設(shè)運動時間為

t

s(

t

＞0).(1)若點

P

在

AC

上，連結(jié)

PB

，且滿足

PA

＝

PB

，求此時

t

的值；234567891011121

2345678910111218.

如圖，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AB

＝10

cm，

BC

＝6

cm，若點

P

從點

A

出發(fā)，以2

cm/s的速度沿折線

A

→

C

→

B

→

A

運動，設(shè)運動時間為

t

s(

t

＞0).(2)若點

P

恰好在∠

BAC

的平分線上，求

t

的值.解：

(2)當(dāng)點

P

在∠

BAC

的平分線上

時，如答圖，過點

P

作

PE

⊥

AB

于點

E

，∴易得

PE

＝

PC

，

AE

＝

AC

.

234567891011121

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轉(zhuǎn)化思想9.

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠

BAC

＋∠

CDE

＝

(點

A

，

B

，

C

，

D

，

E

是網(wǎng)格線交點).45°

234567891011121

三個易錯點

對勾股數(shù)的定義理解不透徹致錯10.

下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

B

)A.0.6、0.8、1B.8、15、17B234567891011121

邊的定性不明沒有分類討論致錯11.

一個直角三角形的兩條邊長分別為3和4，則這個直角三

角形斜邊上的高為

?.

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對反證法的基本要求不理解致錯12.

閱讀下列文字，回答問題.題目：在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，若∠

A

≠45°，求

證：

AC

≠

BC

.

證明：假設(shè)

AC

＝

BC

，因為∠

A

≠45°，∠

C

＝90°，

所以∠

A

≠∠

B

.

所以

AC

≠

BC

，這與假設(shè)矛盾，所以

AC

≠

BC

.

上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方

法；若有錯誤，請予以改正.234567891011121解：有錯誤.改正如下：證明：