第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|ln|x|=0}，B={m,m2}.若B?AA.?1 B.0 C.1 D.22.已知a，b∈R，則“a2>b2”是“eA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知a+bi(a,b∈R)是關(guān)于x的方程x2+2x+c=0(c∈R)的一個(gè)虛根，則a=(

)A.?2 B.2 C.?1 D.14.設(shè)θ是銳角，cos(θ+π4)=cosA.2+1 B.2+12 5.已知函數(shù)f(x)=?x2+ax,x<0ex?ax,x≥0，在A.[1,+∞) B.[0,1] C.[?1,1] D.(?∞,1]6.已知點(diǎn)A(?1,1)，B(1,?1)，C(3,3).動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2+|PB|2+|PCA.32 B.42?1 7.存在函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x∈R都有(

)A.f(e|x|)=x3 B.f(x|x|)=x8.已知A，B是雙曲線C：x218?y29=1的左、右頂點(diǎn)，PA.122 B.152 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=x3?ax，則A.?a∈R，f(x)為奇函數(shù) B.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增

C.?a∈R，使得f(x)恰有一個(gè)極值點(diǎn) D.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)存在三個(gè)零點(diǎn)10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，且m，n，pA.若m+n=2p，則aman=ap2 B.若aman=ap211.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，P為平面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線A1P與底面ABCD所成的角為α，直線EP與底面ABCD所成的角為β，平面PA1D1A.若α=β，則點(diǎn)P在圓上 B.若γ=θ，則點(diǎn)P在雙曲線上

C.若α=θ，則點(diǎn)P在拋物線上 D.若β=θ，則點(diǎn)P在直線上三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)向量a=(1,2)，b=(2,3)，則(λa+b)⊥13.已知x，y，a>0，且x+4yx+a214.已知函數(shù)f(x)=cos2x?sin2x在[a,b]四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b2+c2=5a2．

(1)若sinB=62sinC16.(本小題15分)

如圖，A1，A2分別為橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)，P為第一象限C上一點(diǎn)，且|PO|=|PA2|，過點(diǎn)P的直線l與C有唯一的公共點(diǎn)P．

(1)求l的方程；

(2)過原點(diǎn)O作直線l的平行線與橢圓C交于17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，且平面PBD⊥平面BEF．

(1)證明：PA=PC；

(2)若PB=2PD，當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時(shí)，求平面PAB與平面BEF18.(本小題15分)

若數(shù)列{cn}共有m(m∈N?,m≥3)項(xiàng)，?i(i∈N?,i≤m)都有l(wèi)nci+lncm+1?i=R，其中R為常數(shù)，則稱數(shù)列{cn}是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為m的“對(duì)數(shù)等和數(shù)列”，其中R稱為“對(duì)數(shù)等和常數(shù)”.已知數(shù)列{an}是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為m的對(duì)數(shù)等和數(shù)列，對(duì)數(shù)等和常數(shù)為R．

(1)若m=9，a1=1，a5=4，求a9的值；

(2)定義數(shù)列{bn}滿足：bi=am+1?i19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=axlogax(a>0，且a≠1)．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，證明：f(x)為增函數(shù)；

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2．

(i)求a的取值范圍；

(ii)設(shè)f(x)參考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.?1313.[4,+∞)

14.2π315.解：(1)由sinB=62sinC及正弦定理得：b=62c，即2b=3c，

又因?yàn)閎2+c2=5a2，所以b=3a，c=2a，

從而cosA=b2+c2?a22bc=5a216.解：(1)A2(2,0)，由|PA2|=|PO|，得(xP?2)2+yP2=xP2+yP2，解得xP=1，

代入橢圓方程得yP=32，所以P(1,32)，設(shè)直線l：y=k(x?1)+32，

聯(lián)立y=k(x?1)+32x24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2+(12k?8k2)x+(4k2?12k?3)=0，

因?yàn)橹本€l與C有唯一的公共點(diǎn)P，

所以Δ=(12k?8k2)2?4(3+4k2)(4k2?12k?3)=0，

整理得4k2+4k+1=0，解得k=?17.解：(1)證明：設(shè)AC∩BD=O，OP∩EF=Q，過點(diǎn)D作DH⊥BQ于H，

由平面PBD⊥平面BEF，且平面PBD∩平面BEF=BQ，DH?平面PBD，

∴DH⊥平面BEF，

∵EF?平面BEF，∴DH⊥EF；

∵E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，∴EF/?/AC，∴DH⊥AC．

由底面ABCD為正方形可知AC⊥BD，

∵DH∩BD=D，DH，BD?平面PBD，

∴AC⊥平面PBD，∵PO?平面PBD，∴AC⊥PO，

∵O為AC的中點(diǎn)，∴PA=PC；

(2)設(shè)AB=2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(?1,0,0)，D(0,?1,0)，

由(1)可知，點(diǎn)P在yOz平面內(nèi)，設(shè)P(0,y0,z0)，由PB2=2PD2，

即(y0?1)2+z02=2(y0+1)2+2z02，即(y0+3)2+z02=8，

當(dāng)P?ABCD的體積最大時(shí)，z0=22，

此時(shí)P(0,?3,22)，則E(12,?3218.解：(1)根據(jù)已知可得R=lna5+lna5=ln16，又因?yàn)镽=lna1+lna9，

因此lna9=R=ln16，所以a9=16．

(2)(i)證明：根據(jù)題意bi=am?i+1ai，那么bm+1?i=aiam+1?i，所以bibm+1?i=1，

因此lnbi+lnbm+1?i=0，所以數(shù)列{bn}是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為m的對(duì)數(shù)等和數(shù)列．

19.(1)證明：當(dāng)a=e時(shí)，f(x)=exlnx，f′(x)=ex(lnx+1x)，

設(shè)p(x)=lnx+1x，則p′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，p′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，p(x)>0，

所以p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故p(x)≥p(1)=1>0，所以f′(x)>0，所以f(x)為增函數(shù)．

(2)解：(i)設(shè)a=et(t≠0)，則f(x)=1tetxlnx，

則f′(x)=etxlnx+etxtx=etxx(xlnx+1t)．

設(shè)g(x)=xlnx，則g′(x)=1+lnx，

當(dāng)x∈(0,1e)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1e,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g