第五課時最大最小問題第一部分：趣味數(shù)學(xué)阿拉伯?dāng)?shù)字小明是個喜歡問問題的孩子。有一天，他對0-9這幾個數(shù)字產(chǎn)生了興趣：為什么它們被稱為“阿拉伯?dāng)?shù)字”呢？于是他就去問他的當(dāng)數(shù)學(xué)老師的媽媽：“0-9既然叫‘阿拉伯?dāng)?shù)字’，那么肯定是阿拉伯人發(fā)明的了，媽媽對嗎？”媽媽搖搖頭，說：“阿拉伯?dāng)?shù)字實際是印度人發(fā)明的。大約在1500年以前，印度人就已經(jīng)用一種特殊的字來表示數(shù)目，這些字有10個，只要一筆兩筆就可以寫成。后來，由于各國之間的接觸，這些數(shù)字傳入阿拉伯，阿拉伯人覺得它們很簡單，于是在自己的國家開始廣泛使用并且把他傳到全歐洲。就這樣，它們慢慢地就成了我們今天使用的數(shù)字。因為阿拉伯人在傳播這種數(shù)字方面，起的作用很大，人們也就習(xí)慣了稱這種數(shù)字為‘阿拉伯?dāng)?shù)字’?！毙∶鞲吲d地說：“原來是這樣。媽媽，這可不可以叫做‘將錯就錯’呢？”小明和媽媽都笑了。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】甲、乙兩地相距420千米，一輛汽車從甲地開到乙地共用了8小時，途中，有一段路在整修路面，汽車行駛這段路時每小時只能行20千米，其余時間每小時行60千米。整修路面的一段路長多少千米？【思路導(dǎo)航】假如這8小時都是每小時行60千米，就比實際行的路程多出了60×8－420=60千米。在8小時里，只要有1小時行駛在整修路面的公路上，汽車就少行60－20=40千米，60里面有1.5個40，因此，汽車在整修路面的公路上行駛了1.5小時，路長20×1.5=30千米。練習(xí)11.一輛汽車從甲城到乙城共行駛395千米，用了5小時。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽車在高速公路上每小時行105千米，在普通公路上每小時行55千米。汽車在高速公路上行駛了多少千米？2.小明家離體育館2300米，有一天，他以每分鐘100米的速度去體育館看球賽。出發(fā)幾分鐘后發(fā)現(xiàn)，如果以這樣的速度走下去一定遲到，他馬上改用每分鐘180米的速度跑步前進(jìn)，途中共用15分鐘，準(zhǔn)時到達(dá)了體育館。問：小明是在離體育館多遠(yuǎn)的地方開始跑步的？3.老師和小英為班級剪五角星，教師每分鐘剪10個，剪了幾分鐘后小英接著剪，小英每分鐘剪6個，兩人共用8分鐘，共剪了60個。小英剪了多少個五角星？【例題2】客、貨兩車同時從甲、乙兩站相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米。兩車相遇后又以原速前進(jìn)，到達(dá)對方站后立即返回，兩車再次相遇時客車比貨車多行21.6千米。甲、乙兩站間的路程是多少千米？【思路導(dǎo)航】客貨兩車從出發(fā)到第二次相遇，一共行了三個全程。而第二次相遇時客車比貨車多行了21.6千米，說明兩車已行了21.6÷（54－48）=3.6小時。用速度和乘所行時間就得到三個路程的和，再除以3就得到甲、乙兩站間的路程。練習(xí)21.乙、慢兩車同時從甲、乙兩地相對開出并往返行駛?？燔嚸啃r行80千米，慢車每小時行45千米。兩車第二次相遇時，快車比慢車多行了210千米。求甲、乙兩地間的路程。2.甲、乙兩地相距216千米，客貨兩車同時從甲、乙兩地相向而行。已知客車每小時行58千米，貨車每小時行50千米，到達(dá)對方出發(fā)點后立即返回。兩車第二次相遇時，客車比貨車多行多少千米？3。甲、乙兩車同時從相距160千米的兩站相向開出，到達(dá)對方站后立即返回，經(jīng)過4小時兩車在途中第二次相遇。相遇時甲車比乙車多行120千米。求兩車的速度。【例題3】兩地相距460千米，甲列車開出2小時后，乙列車與甲列車相向開出，經(jīng)過4小時與甲列車相遇。已知甲列車每小時比乙列車多行10千米，求甲列車每小時行多少千米？【思路導(dǎo)航】甲列車4小時比乙列車4小時多行10×4=40千米。因此，甲列車先行2小時，又行4小時，如果再行4小時就一共能行460＋40=500千米。所以，甲列車的速度是每小時行500÷（2＋4×2）=50千米。練習(xí)31.甲、乙兩地相距680千米，快車從甲地向乙地開出，2小時后，慢車從乙地與快車相向開出，并經(jīng)過5小時與快車相遇。已知快車每小時比慢車多行8千米，求快車每小時行多少千米？2.師徒二人合做264個零件，徒弟先做4小時后又和師傅合做了8小時才完成了任務(wù)。已知徒弟每小時比師傅少做3個，師傅每小時做多少個零件？3.小明家離學(xué)校2300米，哥哥從家中出發(fā)，5分鐘后弟弟從學(xué)校出發(fā)，二人相向而行。弟弟出發(fā)10分鐘后與哥哥相遇。如果哥哥每分鐘比弟弟多行20千米，他們每分鐘各行多少千米？【例題4】小明和小軍同時從學(xué)校和少年宮出發(fā)，相向而行，小明每分鐘走90米，兩人相遇后，小明再走4分鐘到達(dá)少年宮，小軍再走270米到達(dá)學(xué)校。小軍每分鐘走多少米？【思路導(dǎo)航】兩人相遇后，小軍再走的270米就是相遇前小明走的路程。因此，二人同時出發(fā)經(jīng)過270÷90=3分鐘相遇的。相遇后小明再走90×4=360米到達(dá)少年宮，而這360米又是相遇前小軍3分鐘走的路程，因此，小軍每分鐘走360÷3=120米。練習(xí)41.小強和小東同時從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。小強每小時行15千米，兩人相遇后，小強再走2小時到達(dá)乙地，小東再走45千米到達(dá)甲地。小東每小時行多少千米？2.甲、乙二車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車每小時行45千米。兩車相遇后，乙車再行135千米到A地，甲車再行2小時到B地。求乙車行全程共用了幾小時？3.乙、慢兩車同時從甲、乙兩地相向而行，4小時相遇。已知快車每小時行65千米，慢車每小時行25千米。求慢車行完全程共用了多少小時？【例題5】甲、乙兩地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人騎自行車從甲地到乙地后沿路返回，去時用了4小時12分，返回時用了3小時48分。已知自行車上坡時每小時行10千米，求自行車下坡時每小時行多少千米？【思路導(dǎo)航】首先求出往返一共用的時間：4小時12分＋3小時48分=8小時。由于去時的上坡路就是返回時的下坡路，因此，在8小時內(nèi)，正好是行48千米的上坡路和48千米的下坡路。行上坡路共用了48÷10=4.8小時，因此，下坡路共行了8－4.8=3.2小時，每小時行48÷3.2=15千米。練習(xí)51.某學(xué)生乘車上學(xué)，步行回家，途中共需1.5小時。如果往返都坐車，途中只需30分鐘；如果往返只步行，途中共需多少時間？2.一輛汽車把貨物從城運往小區(qū)，往返共用15小時。去時所用的時間是返回的1.5倍，去時比回來時每小時慢12千米。這輛汽車往返共行了多少千米？3.南北兩鎮(zhèn)之間全是山路，某人上山每小時走2千米，下山時每小時走5千米。從南鎮(zhèn)到北鎮(zhèn)要走38小時，從北鎮(zhèn)到南鎮(zhèn)要走32小時。兩鎮(zhèn)之間的路程是多少千米？從南鎮(zhèn)到北鎮(zhèn)的上山路和下山路各是多少千米？第三部分：數(shù)學(xué)史話祖沖之(429-500)的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一個管理朝廷建筑的長官。祖沖之長在這樣的家庭里，從小就讀了不少書，人家都稱贊他是個博學(xué)的青年。他特別愛好研究數(shù)學(xué)，也喜歡研究天文歷法，經(jīng)常觀測太陽和星球運行的情況，并且做了詳細(xì)記錄。宋孝武帝聽到他的名氣，派他到一個專門研究學(xué)術(shù)的官署“華林學(xué)省”工作。他對做官并沒有興趣，但是在那里，可以更加專心研究數(shù)學(xué)、天文了。我國歷代都有研究天文的官，并且根據(jù)研究天文的結(jié)果來制定歷法。到了宋朝的時候，歷法已經(jīng)有很大進(jìn)步，但是祖沖之認(rèn)為還不夠精確。他根據(jù)他長期觀察的結(jié)果，創(chuàng)制出一部新的歷法，叫做“大明歷”(“大明”是宋孝武帝的年號)。這種歷法測定的每一回歸年(也就是兩年冬至點之間的時間)的天數(shù)，跟現(xiàn)代科學(xué)測定的相差只有五十秒;測定月亮環(huán)行一周的天數(shù)，跟現(xiàn)代科學(xué)測定的相差不到一秒，可見它的精確程度了。公元462年，祖沖之請求宋孝武帝頒布新歷，孝武帝召集大臣商議。那時候，有一個皇帝寵幸的大臣戴法興出來反對，認(rèn)為祖沖之擅自改變古歷，是離經(jīng)叛道的行為。祖沖之當(dāng)場用他研究的數(shù)據(jù)回駁了戴法興。戴法興依仗皇帝寵幸他，蠻橫地說:“歷法是古人制定的，后代的人不應(yīng)該改動?！弊鏇_之一點也不害怕。他嚴(yán)肅地說:“你如果有事實根據(jù)，就只管拿出來辯論。不要拿空話嚇唬人嘛。”宋孝武帝想幫助戴法興，找了一些懂得歷法的人跟祖沖之辯論，也一個個被祖沖之駁倒了。但是宋孝武帝還是不肯頒布新歷。直到祖沖之死了十年之后，他創(chuàng)制的大明歷才得到推行。盡管當(dāng)時社會十分動亂不安，但是祖沖之還是孜孜不倦地研究科學(xué)。他更大的成就是在數(shù)學(xué)方面。他曾經(jīng)對古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》作了注釋，又編寫一本《綴術(shù)》。他的最杰出貢獻(xiàn)是求得相當(dāng)精確的圓周率。經(jīng)過長期的艱苦研究，他計算出圓周率在3。1415926和3。1415927之間，成為世界上最早把圓周率數(shù)值推算到七位數(shù)字以上的科學(xué)家。祖沖之造過指南車，隨便車子怎樣轉(zhuǎn)彎，車上的銅人總是指著南方;他又造過“千里船”，一天可以航行一百多里。他利用水力轉(zhuǎn)動石磨，舂米碾谷子，叫做“水碓磨”。參考答案：練習(xí)1（395-55×5）÷（105-55）=2.4（小時）2.4×105=252（千米）假設(shè)小明是這15分鐘都是以每分鐘100米的速度行進(jìn)，就比實際少了2300-100×15＝800(米)在15分鐘內(nèi)，每跑步一分鐘，小明就多行180-100＝80(米)，則小明跑了800÷80＝10(分)，則小明是在離體育館180×10＝1800(米)的地方開始跑的。設(shè)小英剪了x分鐘，則老師剪了（8-x）分鐘。10×（8-x）+6x=60，x=5，小英剪了5×6=30（個）。練習(xí)2由第二次相遇時，快車比慢車多行了210千米，及兩車速度?？汕蟪鱿嘤鰰r，兩車行的時間210÷(80-45)＝210÷35＝6(小時)由于第二次相遇時，兩車共行了3個全程所以，第一次相遇兩車所用時間應(yīng)該是6÷3＝2(小時)甲、乙兩地之間的路程是(80+45)×2＝125×2＝250(千米)。第二次相遇時兩車共行了甲乙兩距離的三倍，用總路程除以總速度即得行駛的時間，用行駛時間乘客車每小時比貨車每小時多行58-50＝8千米，即得多行的路程。216x3÷(58+50)＝6小時(58-50)×6＝48千米。乙車的總行程是(160×3-120)÷2＝180(千米)，所以乙車的速度就是:180÷4＝45(千米/小時)甲的總行程是:180+120＝300(千米)，則甲車的速度是:300÷4＝75(千米/小時）練習(xí)3（680+5×8）÷（5×2+2）=60（千米）徒弟共工作了12個小時，由于徒弟每小時比師傅少做3個，則師傅8小時比徒弟多做38＝24個，我們假設(shè)師傳做的跟徒弟一樣多，那么徒弟先做4小時后又和師傅合做了8小時總共做了264-24＝240個，則徒弟每小時做的為240/(4+8+8)＝12，故師傅每小時做的為12+3＝15（個）。設(shè)弟弟每分鐘行100米，則10x+（10+5）（x+20）=2300，x=80,80+20=100（米）練習(xí)4小東再走的45千米就是小強相遇前走的路程，所以相遇時間為45÷15＝3(時)，相遇后小強再走15×2＝30(千米)到乙地，這30千米又是小東相遇前3小時走的路程，小東每小時行30÷3＝10(千米)。兩車相遇時，甲車行了135千米，乙車行了45×2千米，兩車行駛的路程之和就是AB兩地的路程;根據(jù)甲車每小時行45千米和行了135千米，可以求出兩車相遇的時間;根據(jù)乙車行的路程45×2和相遇時間可以求出乙車的速度;最后用AB的路程除以乙車的速度可以求出乙車行完全程所需的時間。AB距離:45×2+135＝225(千米)相遇用時:135÷45＝3(小時)乙每小時行:45×2÷3＝30(千米)乙行全程用了:225÷30＝7.5(小時)。先求總路程:相遇時所用時間x快慢兩車的速度和;再用此路程的數(shù)值除以慢車的速度，就是慢車行完全程共用的時間?？炻齼绍囃瑫r從甲、乙兩地相向而行，4小時相遇.已知快車每小時行65千米，慢車每小時行25千米，求慢車行完全程共用了多少小時?全程距離＝4＊(65+25)＝360(千米)慢車行完全程時間＝360/25＝14.4(小時)。練習(xí)51.5小時=90分鐘（90-30÷2）×2=150（分鐘）150分鐘=2.5小時由條件可知，返回