浙教版七年級上第6章圖形的初步知識專題七線段和角的和差倍分問題

線段的和差倍分例1如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線

段BC的中點(diǎn).(1)求線段AD的長；

方法點(diǎn)撥：解決線段的和差倍分問題需注意：(1)找出所求線段與已知量間正確的和差倍分關(guān)系；(2)若題干沒有圖形或包含動點(diǎn)時，可畫出圖形分析.變式1－1

[新視角

新定義題]如圖，有公共端點(diǎn)P的兩條線段

MP，NP組成一條折線M－P－N，若該折線M－P－N

上一點(diǎn)Q把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點(diǎn)Q叫

作這條折線的“折中點(diǎn)”.已知點(diǎn)D是折線A－C－B的

“折中點(diǎn)”，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，CD＝3，CE＝5，則

線段BC的長為

?.4或16

【點(diǎn)撥】①如圖①，因?yàn)辄c(diǎn)D是折線A－C－B的“折中點(diǎn)”，所以AD＝DC＋CB.

因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，

所以AC＝10，所以AD＝AC－DC＝7，所以DC＋CB＝7，所以BC＝4.②如圖②，因?yàn)辄c(diǎn)D是折線A－C－B的“折中點(diǎn)”，所以BD＝DC＋CA.

因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，

所以AC＝10，所以AC＋DC＝13，所以BD＝13，所以BC＝BD＋DC＝16.綜上所述，線段BC的長為4或16.

(1)如果

，那么

.(從上述三個條件中任選兩個

作為條件，余下的一個作為結(jié)論，填序號，完成上面的填

空，并說明結(jié)論成立的理由)

(答案不唯一)

(2)在(1)的條件下，若AM＝3

cm，MN＝5

cm，求線段BN

的長.①②

③

(答案不唯一)

變式1－3

[新考法·動態(tài)探究題2024·溫州期末]如圖，直線l

上有A、B兩點(diǎn)，AB＝24

cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，

OA＝2OB.

(1)OA＝

cm，OB＝

cm.【點(diǎn)撥】因?yàn)锳B＝AO＋OB＝24

cm，OA＝2OB，所以

2OB＋OB＝24

cm，所以O(shè)B＝8

cm，所以O(shè)A＝16

cm.16

8

(2)若點(diǎn)C是線段AO上一點(diǎn)，且滿足AC＝CO＋CB，求

CO的長.

(3)若動點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，向右運(yùn)動，點(diǎn)

P的速度為2

cm/s，點(diǎn)Q的速度為1

cm/s，設(shè)運(yùn)動時間為t

s，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動.①當(dāng)t為何值時，2OP－OQ＝8

cm.

②當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)O時，動點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以3

cm/s的速

度也向右運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)Q后立即返回，以同樣的速

度向點(diǎn)P運(yùn)動，遇到點(diǎn)P后立即返回，又以同樣的速度向

點(diǎn)Q運(yùn)動，如此往返，直到點(diǎn)P、Q停止時，點(diǎn)M也停

止運(yùn)動.在此過程中，點(diǎn)M運(yùn)動的路程為

cm.48

角的和差倍分例2如圖所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝

60°，OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的平分線.(1)猜想OC與OD的位置關(guān)系，并說明理由.【解】OC⊥OD，理由如下：因?yàn)椤螦OC＋∠COD＋∠DOB＝180°，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，所以∠COD＝90°，所以O(shè)C⊥OD；(2)求∠MON的度數(shù).

方法點(diǎn)撥：解決角的和差倍分問題需注意：(1)找出所求角與已知量間正確的和差倍分關(guān)系；(2)若題干沒有圖形時，可畫出圖形分析，此時常需要進(jìn)行分

類討論.

80

變式2－2已知：如圖①，點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上，

現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，同

時射線OB繞點(diǎn)O沿逆時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)，如圖

②，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒(0＜t＜90).(1)用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù).【解】∠MOA＝2°t；(2)在運(yùn)動過程中，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時，求t的值.【解】如答圖，根據(jù)題意知：∠AOM＝2°t，∠BON＝

4°t，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時，∠AOM＋∠BON－

∠MON＝60°，即2°t＋4°t－180°＝60°，解得：t＝40，故t＝40時，∠AOB第二次達(dá)到60°；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線

OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角(指大于

0°而不超過180°的角)的平分線？如果存在，請直接寫

出t的值；如果不存在，請說明理由.【解】t的值為18、22.5、36、67.5.射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中

兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

所以t°＝180°－4°t，解得t＝36；【點(diǎn)撥】

所以4°t＝90°或4°t－18