趨勢(shì)3考查開放，探究精神一、單選題1．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）．A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【詳解】集合中有5個(gè)元素，即5個(gè)點(diǎn)，如下圖中黑點(diǎn)所示．集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)），即下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上的整點(diǎn)．所以或或或或或或，共7個(gè)值；所以或或或或或或，共7個(gè)值，所以集合中的元素可看作下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共（個(gè)）．故選C.2．（2021·吉林·延邊二中高二月考（理））若實(shí)數(shù)的取值使函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則叫做函數(shù)具有“凹凸趨向性”，已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)函數(shù)具有“凹凸趨向性”時(shí)，的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，若函數(shù)具有“凹凸趨向性”時(shí)，則在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，，令，解得：，令，解得：，在上遞減，在遞增，故的最小值是當(dāng)越趨近于0時(shí)，也越趨近于0，當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，也趨近于正無(wú)窮大，所以的取值范圍是.故選：B3．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法，若定義是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，過(guò)點(diǎn)的切線為，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值，以此類推，滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)的近似解，設(shè)函數(shù)，滿足應(yīng)用上述方法，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，切線斜率，切線方程，令，得，切線斜率，切線方程，令，得，切線斜率，切線方程，令，得，故選D項(xiàng)4．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)89歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng)．在1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并得到小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為的結(jié)論．若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，，計(jì)算結(jié)果取整數(shù))A．1089 B．1086 C．434 D．145【答案】B【詳解】由題可知小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為，則10000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為===2500，故選B.5．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，易知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以得：，解得，故選C．6．（2021·黑龍江·哈爾濱三中三模（文））已知為常數(shù)，在某個(gè)相同的閉區(qū)間上，若為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則稱此區(qū)間為函數(shù)的“”區(qū)間.若函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間滿足：，即，∴故選：C二、填空題7．（2021·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)高一月考）設(shè)為全集，對(duì)集合、，定義運(yùn)算“*”，．對(duì)于集合，，，，則___________．【答案】.【詳解】由于，，，，則，由題中定義可得，則，因此，，故答案為.8．（2021·重慶市兩江中學(xué)校高二月考）設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】令得，設(shè)函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，列表如下：極大值，，如下圖所示：由上圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題9．（2021·江蘇如皋·高二月考）換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，其目的在于把不容易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解過(guò)程可以是：設(shè)，，，則，所以當(dāng)時(shí)取得最小值16，這種換元方法稱為“對(duì)稱換元”.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為4.（1）請(qǐng)利用上述求解方法，求出P點(diǎn)的軌跡方程；（2）求的最大值，并寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2），（1）設(shè)，由題意知，即，令，等式兩邊同時(shí)平方得……①，……②，①－②得，即……③，即代入①中得，整理可得，故P點(diǎn)的軌跡方程為；（2）則……④，由①得，結(jié)合③得，整理可得代入④得，而，，所以，由于橢圓得對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸及軸的右側(cè)時(shí)，由于所以解得令，則，而，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，因此的最小值為，此時(shí)最大，最大值為，此時(shí)，即點(diǎn)在橢圓的上下頂點(diǎn)處，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，.10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定叫作曲線在點(diǎn)A，B之間的“平方彎曲度”．設(shè)曲線上不同兩點(diǎn)，，且，求的取值范圍．【答案】．【詳解】因?yàn)椋?，，由題意可得，，又因?yàn)?，所以，，所以，故，令，，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故的取值范圍為．11．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）2021年10月13日第18號(hào)臺(tái)風(fēng)“圓規(guī)”在海南某地登陸，最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí).路邊一棵參天大樹在樹干某點(diǎn)處被臺(tái)風(fēng)折斷且形成120°角，樹尖著地處與樹根相距10米，樹根與樹尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)（，，三點(diǎn)所在平面與地面垂直，樹干粗度忽略不計(jì)）（1）若，求折斷前樹的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）問(wèn)一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過(guò)？并說(shuō)明理由.【答案】（1）11.2米.（2）救援車不能從此處通過(guò)，理由見解析（1）解：在中，，，所以，由正弦定理，得.所以所以折斷前樹的高度11.2米；（2）如圖，設(shè)的內(nèi)接矩形的邊在上且，設(shè)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，則因?yàn)?，所以所以，所以因?yàn)?，所以救援車不能從此處通過(guò).12．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期．已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)椋O(shè)函數(shù)單調(diào)遞增，，．（1）驗(yàn)證是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)，證明：對(duì)任意，存在，使得；（3）證明：“為方程在區(qū)間上的解”的充要條件是“為方程在區(qū)間上的解”，并證明：對(duì)任意都有．【答案】（1）驗(yàn)證見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意，都有，所以，即是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)．（2）由于的值域?yàn)镽，所以對(duì)任意，c都是一個(gè)函數(shù)值，即有，使得．若，則由單調(diào)遞增得，與矛盾，所以．同理可證，故存在使得．（3）若為在區(qū)間上的解，則，且，，即為方程在區(qū)間上的解．同理，若為方程在區(qū)間上的解，則為該方程在區(qū)間的解．以下證明最后一部分結(jié)論．由（2）所證可知，存在，使得，，1，2，3，4．而是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，，1，2，3，與之前類似可以證明：是在區(qū)間上的解，當(dāng)且僅當(dāng)是在區(qū)間上的解，從而在區(qū)間與區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)相同，故，，1，2，3，4．對(duì)于，，，而，故．類似地，當(dāng)，，2，3時(shí)，有．結(jié)論成立．13．（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的級(jí)遞減周期函數(shù)，周期為．若恒有成立，則稱函數(shù)是上的級(jí)周期函數(shù)，周期為．（1）已知函數(shù)是上的周期為的級(jí)遞減周期函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，是上級(jí)周期函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的周期為的級(jí)周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）；（3）存在滿足題意，證明見解析．【詳解】（1）由題意，函數(shù)是上的周期為的級(jí)遞減周期函數(shù)可知，即對(duì)恒成立，也即對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，，；（2）已知，是上級(jí)周期函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，，，在上單調(diào)遞增，且，即；（3）由已知，應(yīng)有對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，也即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，于是，，故要使恒成立，只有.①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由于函數(shù)與的圖象存在交點(diǎn)，故方程有解，此時(shí)恒成立，則，，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以，方程無(wú)解.綜上，存在，符合題意，其中滿足．14．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為．（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）試題解析：解：（1）易知對(duì)于每次劃拳比賽基本事件共有個(gè)，其中小華贏（或輸）包含三個(gè)基本事件上，他們平局也為三個(gè)基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第次劃拳小華平”為；事件“第次劃拳小華輸”為，所以．因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為．（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，，，，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學(xué)期望為：．15．（2020·江蘇省盱眙中學(xué)高一月考）集合是由滿足以下性質(zhì)的函數(shù)組成：①在上是增函數(shù)；②對(duì)于任意的，．已知函數(shù)，．（1）試判斷，是否屬于集合，并說(shuō)明理由；（2）將（1）中你認(rèn)為屬于集合的函數(shù)記為．①試用列舉法表