2024北京八十中高二（上）期中數(shù)學(xué)2024年10月（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）提示：試卷答案請(qǐng)一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).a=(?),=(,)1,1b1,2-160a與b的夾角為（1.已知A.，則）150D.B.C.2.圓Ox2+y2=1與圓Ox2+y2?4x+1=0：：2的位置關(guān)系為（）1A.相交B.相離=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（C.外切D.內(nèi)切x2?y23.雙曲線）14,0)14)0)4)A.B.C.D.4.下列命題中，正確的是（）.A.若ab，則ab，則a=bB.D.若ab，則abC.若ab5.兩平行直線=若a=b，則a=bl:3x+2y+1=0l:6x+4y+1=0與之間的距離為（）12A.B.+3yB.C.0D.D.2x22=1，則此橢圓的離心率為（）6.已知橢圓的方程為1312A.C.3223→→→7.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）{abc}→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→A.+++B.???C.+?D.+++ab,abc,2cac,ab,bcab,ab,aab,bc,ac(+)+?=+?(+)=，則a=1是//）8.設(shè)aR，直線l:a1xy1l:2xaya20“”“l(fā)l”的（2121A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件y=x+b9.已知直線A.|b=與曲線x=1y有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（）?2b1b11b1或b=?22B.D.C.1b1或b=?2ABC?ABC中，11AC⊥AB,AC=AB=1=1，E是線段的中點(diǎn)，在10.如圖，在直三棱柱1PA+PE內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P的最小值是（）332233333A.B.C.D.36二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.)已知向量a=(?1,3，b=(x)，則x的值為_(kāi)__________.，且ax2+y2?2x+4y+m=0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是12.方程．2?2=13.雙曲線y2x1的離心率為_(kāi)_____，漸近線方程為_(kāi)___________．x2y214.已知橢圓C:+=1，則此橢圓的焦距長(zhǎng)為_(kāi)_________1,F為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交F12259AB=，則,B+=橢圓于兩點(diǎn)，若__________.22?+=，則(?)2+(+)b22+(?)2+(?2的最小值為a1b115.已知實(shí)數(shù)a，b滿足4ab30a2___________.16.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中.已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng)，則點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過(guò)程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的育區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為_(kāi)_______秒（精確到0.1）三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.如圖，四棱錐PABCD?的底面ABCD是正方形，側(cè)棱⊥底面ABCD，=DC，E是的PD中點(diǎn).（1）證明：PA//平面BDE；（2）求二面角B?DE?C的平面角的余弦值.x+y?3=0x+2y?4=0x+1=0相切，直線18.已知圓C的圓心是直線與直線的交點(diǎn)，且和直線l:(m+2)x+?2m)y?10=0，直線lC相交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線l所過(guò)的定點(diǎn)；（3）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．ABCD?ABCD的中點(diǎn).點(diǎn)M在上.119.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為BC1111（1）求證：AC⊥平面BDM；（2）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使點(diǎn)M唯一確定.MCD所成角的大小，及點(diǎn)E到平面MCD的距離.求直線與平面條件①：=條件②：EMAD⊥條件③：//平面1注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.x22y2220.已知P(0,2)和Q(2為橢圓C:（1）求橢圓C的方程和離心率；+=ab0)上的兩點(diǎn).ab（2）設(shè)直線l:y=+1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的取值范圍.E=2,3,A，A=x,x,x,12321.設(shè)有限集合，對(duì)于集合，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)()，使得=+xx1kx，xi時(shí)，在集合A中存在元素ijkix，jkj則稱A為E的封閉子集；xxij()，都有x+xjA②對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，則稱A為E的開(kāi)放子集.，判斷集合ijixxkkk=6,8,10，=∣=+NN=20AB*，B（1）若，集合為E的（2）若N=1001100A，且集合A為E的封閉子集，求的最小值；N*，且mm（3）若NN為奇數(shù)，集合A為E的開(kāi)放子集，求的最大值.參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.?2?11+11+4+13a,b==?【詳解】解：，2aba,b0,180又，a,b=150.故選：C.2.【答案】A【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項(xiàng).【詳解】圓O：x2+y2()，半徑為==1的圓心為O0,0r11.11O(0)，半徑為2=32圓O：x2+y2?4x+1=0的圓心為，.2OO=2r，122所以兩圓相交.故選：A3.【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，再由關(guān)系式c=1，2=a+b2求解即得.2a2=b2【詳解】雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a，虛半軸長(zhǎng)b，依題意得=，解得c=4，又雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線半焦距為c，則c2=a2+b2所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是4,0).故選：C4.【答案】C【分析】利用絕對(duì)值的意義結(jié)合特殊值法判定即可.a=?b=1，即aba=b，故A、D錯(cuò)誤；【詳解】若，但若a=?b=1，即ab，但a=b，故C正確.ab，故B錯(cuò)誤；顯然a=b，則故選：C5.【答案】Al【分析】先將直線的方程變形，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可1【詳解】由3x+2y+1=0，得6x+4y+2=0，2?1+41==所以兩直線間的距離為，622故選：A6.【答案】B【分析】a2,c2代入離心率公式可得答案.橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式后求出x2y2+=1，所以a1213=,b2=2x2+3y2=1得112，【詳解】由236111=?=236c362c2=a2?b2e===.，a32故選：B.7.【答案】D【分析】利用空間向量基本定理逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閍+bc)(a+b=2c，所以a+b，a底，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，c共面，不能構(gòu)成基對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?a?c)?(a?b)=b?c，所以a?c，a?b，b?c共面，不能構(gòu)成基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，1對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)閇(ab)(ab++?=aab，a，a共面，不能構(gòu)成基底，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，2對(duì)于選項(xiàng)D：若a+b，b+c，a+c共面，則a+b=b+c)+(a+c)，即a+b=a+b+(+)c，則=1=1+不共面，可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)正確+acD.，無(wú)解，所以a，bc，+=0故選：D．8.【答案】Al//l1a值，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【分析】求出的2【詳解】因?yàn)橹本€(l:a+1x+y?1=l:2x+ay?a+2=0)()，12當(dāng)a=1時(shí)，l//ll:2x+y?1=l:2x+y?3=0，此時(shí)l//l1，即，a=1可以推出1//l2122(a+a=2a=1或2，當(dāng)時(shí)，，解得12=?2時(shí)，l:x?y+1=l:x?y=0推不出a=1，又a，此時(shí)l//l1，所以l//l12122所以“a=1”是“l(fā)//l”的充分不必要條件，12故選：A.9.【答案】C【分析】把曲線方程整理后可知表示半圓，進(jìn)而畫出圖象來(lái)，要使直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么很容易從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于(?)和另一個(gè)點(diǎn)，及與曲線交于點(diǎn)(0,1)，分別求出b，則b的范圍可得．=1?y2，即x2+y2=1(x0)x，表示一個(gè)半圓（單位圓位于軸及x【詳解】曲線x如圖，()、()、(?)，A0,1B1,0C1當(dāng)直線當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，1=0+b，求得b=1；y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)C0=1+bb=?1；時(shí)，，求得|b|y=x+b1=當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得b=?2，或b=22故要求的實(shí)數(shù)b的范圍為1b1或b=?2，故選：C．10.【答案】CC?n(A1()Ax,y,z,z0【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，求出的距離相等得，接著由1,z)，進(jìn)而利用A與A到平面1AA、AA和平面的法向量1111?x+y+z=1x?1=?y=?z②從而求出①，再由//n得A++AE=結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可得解.【詳解】由題意可以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?，12則(A0,1,B0)()，()()，C0,0,A1,0,0E,0，1CB0),CA0,1,AA=(0,1)，1==()所以1()=(???)AA1x,y,1z=(?)xy,z，AAx,y,z,z0設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，，11=0設(shè)平面(1,1)，則，An的法向量11CA⊥nCAn=x+z=01111x=11y=?z=?1(n，所以?)，令，則11AA1z所以A與A到平面A1的距離d=即?x+y+z1=①，nn3x?1=?=?z②，所以由①②得y3z?1=1，又//n，所以1223122333x=,y=,z=A,,所以由z0可得，所以，332221321241433+=+=?1+?+?0=++=所以PAPEPAPEAE，32393696A,P,E當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，33PA+PE所以的最小值為.6故選：C.1【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決，設(shè)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為()Ax,y,z,z0，利用A與A到平面1的距離相等和//n求出A，接著由++E=E結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出即可得解.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.【答案】3【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.)，b=(x)a1,3=(?，則有ab=2(4)?12+3x0，解得=【詳解】因向量，且a3x=，3所以x的值為.故答案為：312.【答案】m5x2+y?2x+4y+m=0表示一個(gè)圓，可得；2【詳解】試題分析：由題D2+E2?4F20?4mr==m522考點(diǎn)：圓的方程.13.【答案】①.6.y=2xa,b,c2【分析】將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程求解進(jìn)而得到離心率和漸近線即可x2y2?=1中1226a2=b2====a2b2=+【詳解】由題，雙曲線1，即ab，故c，故離心222a6=y=x，即y=2x率e，漸近線方程為b26故答案為：；y=2x214.【答案】①.8②.8AF+AF=BF+BF=2a=10【分析】利用橢圓的定義可得，兩式相加即可求解.1212x2y2+=1可知：a=5，b=3，c2=a2?b2=【詳解】由橢圓方程9則c=4，橢圓的焦距長(zhǎng)為2c=8；AF+AF=BF+BF=2a=10由橢圓的定義得，，1212++=兩式相加得，22AB+12=20AB=8．即，可得故答案為：；8．15.【答案】5(?)2+(+)2+(?)2+(?)24x?2y+3=0上一點(diǎn)【分析】由題可知，a2b2a1b1表示的是直線()到定點(diǎn)(?)，()的距離之和，然后求出點(diǎn)關(guān)于直線4x2y+3=0對(duì)稱的點(diǎn)為?P，bM2NN()，再根據(jù)0Nx,yN,P,M++最小，即最小，即可求出結(jié)果.三點(diǎn)共線時(shí)，0(?)2+(+)2+(?)2+(?)24x?2y+3=0上一點(diǎn)【詳解】由題可知，a2b2a1b1表示的是直線()到定點(diǎn)(?)，()的距離之和M2.P，bN4x?2y+3=0對(duì)稱的點(diǎn)為Nx,y()，如圖，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線000?10?112=?0=?1則當(dāng)，解得，y=20+10+104?2+3=022N,P,M++最小，即最小三點(diǎn)共線時(shí)，(?)所以a22+(+)2+(?)2+(?)2?(?)2+(??)22=5.2b2a1b1的最小值為[21]故答案為：5.16.【答案】4.4【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得P,Q的方程,圓O方程,運(yùn)用的坐標(biāo)和直線點(diǎn)到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件解不等式即可得到所求時(shí)長(zhǎng).【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：由題意可設(shè)P(10,10+t),Q?t)，20?ty??t)=(x?10)，所以直線的方程為：20圓O方程為：x2+y=1，2與圓O因?yàn)橹本€有交點(diǎn)，20?t+t?1021，化為t+878?，2t1280，解得0t?=所以?220t31+20所以點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為秒.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法和二次不等式的解法屬于中檔題.三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.1）證明見(jiàn)解析3（2）3）連接，交BD于點(diǎn)O，根據(jù)中位線定理和線面平行的判定定理進(jìn)行證明.BECB?DE?C的（2）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及平面幾何的知識(shí)，證明得到平面角，從而計(jì)算得到結(jié)果.是二面角【小問(wèn)1連接，交BD于點(diǎn)O，由底面ABCD是正方形，可知O為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，是的中位線，OE//PA，又平面BDE，OE平面BDE，PA//平面.【小問(wèn)2PD=DC=2，BD設(shè)=AD2+AB2=22+22=22，底面ABCD，DC底面ABCD，PD⊥DC，即△PDC是直角三角形，PC=PD2CD2+=22+22=22，1=CE==2又E是的中點(diǎn)，，2PD⊥BCBC⊥CDCDD，=BC⊥同理可得在直角，且，平面，平面BC⊥，(2中，BE=2+CE2=22+2=6，BE2+DE=BD2BE⊥DE，2又CE⊥DE二面角BDEC的平面角為BEC??，CE263BEC===.BE33??二面角BDEC的平面角的余弦值為.3(?)18.1）x22+(?)y1=92（2）(2)7x+y?30=0或x+y?6=0（3））依次求出圓心和半徑即可得解；（2）由題意列出方程組即可求解；1=CPCQsinPCQPCQ=（3）S，當(dāng)時(shí)，面積最大，此時(shí)為等腰直角22三角形，圓心到直線ld【小問(wèn)1=r，據(jù)此即可求出m.2x+y?3=0x=2y=1的圓心的圓心坐標(biāo)為()，且和直線x+1=0相切，C，圓x+2y?4=0所以圓C的半徑為2?()=3，(?)2+(?)y1=9；2所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:x2【小問(wèn)2由(m+2x+1?2my?10=0)()，得(?)++?=，mx2y2xy100x?2y=0x=4y=2由，2x+y?10=0∴直線l()；D4,2【小問(wèn)31=CPCQsinPCQPCQ=S∵，∴當(dāng)時(shí)，面積最大，223=r=2，此時(shí)為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離d22(+)+?2m212m?3213=2=m∴，解得，(m+2+?2m)2∴此時(shí)l的方程為：7x+y?30=0或x+y?6=0.19.1）證明見(jiàn)解析2MCD所成角為；點(diǎn)到平面MCD的距離為E（2）直線與平面2）根據(jù)正方體的特征得到側(cè)棱垂直于底面，即側(cè)棱垂直于底面中的任意一條直線，對(duì)角線互相垂直平分，即可得到線面垂直；（2）分別選條件①②③，結(jié)合線面平行位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到條件①不符合題意，②③均可使點(diǎn)M唯一確定，再根據(jù)建立空間直角坐標(biāo)系集合向量，利用向量的夾角公式求得結(jié)果.【小問(wèn)1ABCD?ABCD是正方體，1證明：∵111DD1⊥ABCD，⊥1⊥，即，∴∵平面BDD，∴AC⊥平面，1又點(diǎn)M在上，所以AC⊥平面BDM；1【小問(wèn)2選條件①：由=，根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知，此時(shí)M為上的任意一點(diǎn)，不符合題意；1選條件②：EMAD，⊥連接，在正方體中，根據(jù)BC⊥平面CDDC，111∵CD1平面，∴⊥CD，1C1EM⊥AD,AD∥BC⊥又∵，∴EMBC，EM,CD1BCDEM∥CD，1平面，∴1又E為BC中點(diǎn)，∴M為中點(diǎn)，即此時(shí)M為上確定的一點(diǎn)；11，選條件③：//平面CDDC，11連接，∵//平面CDDC，EM平面BCD，11111CDD1CD=EM∥CD，∴，1且平面平面1∵E為BC中點(diǎn)，∴M為中點(diǎn)，即此時(shí)M為上確定的一點(diǎn)；11根據(jù)題意條件①不符合題意，條件②③均可使點(diǎn)M唯一確定，并且可得到M為中點(diǎn)，1根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：，則()，)()()(D0,0,0,C2,0,E2,0,M=()=()=(?)EM=2，則，2,0,,EM∴設(shè)平面MCD法向量為m=(x,y,z)，my=0x+y+z=0=?1，則x=1，z則∴，令m=01=(?)，即m=2m，mEM=1，設(shè)直線∴直線與平面MCD所成角為，則sinMCD所成角為；=cs,=，2m與平面12點(diǎn)E到平面MCD的距離為dEMsin==2sin30==2.22x2y22+=1，e=20.1）；422（2）2）利用P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出a2,b2=+c，再利用a2b2c求出，進(jìn)而得到橢圓方程與離心率；2（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1x22y22解：P(0,2)和Q(2為橢圓C:+=ab0)上的兩點(diǎn)，ab2=12ba2=4，b22，又因?yàn)?a2=b2+c2c2=2.所以，解之得，所以21+=1a2b2x2y2c2+=1，離心率e==所以橢圓C的方程為【小問(wèn)2.42a2y=+1y2k)x4?2=0，+22+22解：聯(lián)立方程xy，消去得+=142=(4k)2?4+2k2)(2)=32k2+80，4k因?yàn)?(x,y)B(x,y)x+x=?xx=?12所以設(shè)交點(diǎn)，，則，，112212+21+2k212kAB=(x?x)2+(y?y)2所以=kk12122+1(x+x)2?412122+1=32k22+8.1+2k1又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l:y=+1的距離為d=，k2+1111k+12S=dAB=32k+82所以三角形AOB面積221+2k+12k224k+124k+2k2+14k1+4k22+1+4k=2=2=1+2k+(t，22)24令t4k=214t+t+141S=2=22=2則t21t++22t+2tt1（當(dāng)且僅當(dāng)t=即t=1t也就是當(dāng)k=0時(shí)，三角形AOB面積取最大值2k→S→0，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以三角形AOB面積的取值范圍是2.21.1）A為E的封閉子集，B為E的開(kāi)放子集N+1（2）9）2【分析】對(duì)于（1，設(shè)A=,x,x,1xx100.1對(duì)于（22323因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)()，使得=+xx1kx，xi時(shí)，在集合A中存在元素ijkix，則jkjn?1+1n2n?1.7764100m7，后排，其中2n，nN據(jù)此可得，得m=m=9符合題意即可；除8，再說(shuō)明對(duì)于（3NN*，且N為奇數(shù)，當(dāng)N=1時(shí)，得m=1；N+1當(dāng)N3，將E=2,3,里面的奇數(shù)組成集合A，說(shuō)明集合A為E開(kāi)放子集，且m=為最2大值即可.【小問(wèn)1對(duì)于A，因2=1+4=2+6=2