第八講多項(xiàng)式乘法及平方差公式要點(diǎn)歸納1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的________________,再把所得的積_________________.2.同底數(shù)冪相除,底數(shù)_______________,指數(shù)_______________,即______________.(為正整數(shù),且)3.任何一個(gè)不等于0的數(shù)的0次冪都等于______________,即.4.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對(duì)于只在被除式中含有的字母,則連同它的________________作為商的一個(gè)因式.5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)________________這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加.6.兩數(shù)和乘以這兩個(gè)兩數(shù)差,等于這兩個(gè)數(shù)的_______________,即______________典例講解經(jīng)典再現(xiàn)1.多項(xiàng)式乘法例1計(jì)算(1)(2)(3)(4)【思路分析】運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須做到不重不漏，所以在計(jì)算時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行；另外當(dāng)計(jì)算的式子中含混合運(yùn)算時(shí)，要對(duì)每組的乘積先添上括號(hào)，然后再去括號(hào)，防止出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.解:(1)(2)(3)(4)【方法規(guī)律】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，必須把一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，不能漏乘，同時(shí)應(yīng)注意符號(hào)和括號(hào)處理.2.同底數(shù)冪的除法例2計(jì)算:(1)(2)(3)(4)解：(1)(2)(3)(4)【方法規(guī)律】運(yùn)用同底數(shù)冪的除法法則應(yīng)注意：(1)被除式與除式的底數(shù)必須相同，且不為0(2)指數(shù)相減不要錯(cuò)用為相除(3)對(duì)底數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可先通過(guò)適當(dāng)變形可化為同底數(shù)冪的除法3.零指數(shù)次冪例3下列各式不一定成立的是（）A.B.C.D.【思路分析】零指數(shù)次冪的應(yīng)用要特別注意其條件-------底數(shù)不等于0,對(duì)于A,C,D三個(gè)選項(xiàng)的底數(shù)均不可能為0,而B(niǎo)選項(xiàng)中有可能為0,則此時(shí)不符合其條件解:B【方法規(guī)律】當(dāng)指數(shù)為0時(shí),一定要先判斷其底數(shù)是否為0,若底數(shù)不為0,則結(jié)果為1;若底數(shù)為0,則無(wú)意義.4.單項(xiàng)式的除法例4計(jì)算:(1)(2)(3)(4)【思路分析】正確理解單項(xiàng)式除法的法則,對(duì)含有“”的應(yīng)注意符號(hào)的運(yùn)算，同時(shí)還要注意運(yùn)算順序解：(1)(2)(3)(4)【方法規(guī)律】單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)：(1)運(yùn)算過(guò)程中要注意單項(xiàng)式的系數(shù)包含前面的符號(hào)，(2)被除式中單獨(dú)含有的字母及其指數(shù)作為商的一個(gè)因式，不要遺漏5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式例5計(jì)算：(1)(2)(3)【思路分析】(1)直接運(yùn)用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，(2)先將被除式化簡(jiǎn)后再進(jìn)行除法計(jì)算，（3）將看做一個(gè)整體，然后按多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算.解:(1)(2)(3)【方法規(guī)律】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式應(yīng)注意三點(diǎn):（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式所得商的項(xiàng)數(shù)與這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，不要漏項(xiàng)，（2）要熟練地進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算，必須掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)，因?yàn)閮绲倪\(yùn)算性質(zhì)是其他運(yùn)算的基礎(chǔ)，（3）用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式時(shí)，要注意每一項(xiàng)的符號(hào)和單項(xiàng)式的符號(hào)6.平方差公式例6計(jì)算：(1)(2)(3)【思路分析】(1)根據(jù)平方差公式直接計(jì)算,(2)先明確完全相同項(xiàng)和互為相反數(shù)項(xiàng),再計(jì)算,(3)挽寫(xiě)成兩數(shù)和乘兩數(shù)差的形式,再計(jì)算解:(1)原式(2)原式(3)原式【方法規(guī)律】(1)是平方差公式的基本形式,在應(yīng)用時(shí)要善于運(yùn)用其變式,如符號(hào)變式,系數(shù)變式,次數(shù)變式等,(2)構(gòu)造平方差公式是快速計(jì)算某些有理數(shù)乘法的好方法,在構(gòu)造時(shí)常用均值,即把兩數(shù)(式)分別寫(xiě)成平均數(shù)與另一數(shù)的和或差相乘的形式拓展探究1.兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘的規(guī)律探索例1(1)計(jì)算=1\*GB3①_________________=2\*GB3②__________________=3\*GB3③_________________=4\*GB3④_________________(2)由上面計(jì)算找規(guī)律,并填空:__________________【思路分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算,從計(jì)算結(jié)果的算式結(jié)構(gòu)探尋其結(jié)構(gòu)的規(guī)律解:(1)=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④(2)【方法規(guī)律】(1)型多項(xiàng)式的乘法是常見(jiàn)的多項(xiàng)式乘法,在后續(xù)的因式分解的知識(shí)中也經(jīng)常見(jiàn)到該類(lèi)型問(wèn)題的逆向應(yīng)用(2)型多項(xiàng)式的乘法的規(guī)律:兩個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)為1的一次二項(xiàng)式相乘,其結(jié)果是一個(gè)二次三項(xiàng)式,且二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為兩個(gè)常數(shù)項(xiàng)的和,常數(shù)項(xiàng)為兩個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)的積,應(yīng)注意熟記這一規(guī)律2.確定多項(xiàng)式中字母系數(shù)的值例2己知多項(xiàng)式展開(kāi)后不含和項(xiàng),求的值【思路分析】?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式相乘展開(kāi)后不含某些項(xiàng),即是指這些項(xiàng)的系數(shù)為0解:因?yàn)檎归_(kāi)式中不含和項(xiàng),所以,解得故的值分別為3和5【方法規(guī)律】求字母系數(shù)的值常運(yùn)用方程思想,即依據(jù)題意列出關(guān)于字母系數(shù)的方程(組),然后通過(guò)解方程(組)來(lái)求出字母系數(shù)的值3.零指數(shù)冪的運(yùn)用例3求滿足的整數(shù)【思路分析】由題設(shè)中的右邊為1，可知等式的左邊有如下三種情況：=1\*GB3①不等于0的數(shù)的零次冪，=2\*GB3②1的任何次冪，=3\*GB3③的偶次冪.因此應(yīng)分三種情況分則求解解:,或或解得,或或或,故的值為【方法規(guī)律】由往往僅聯(lián)想到不等于0的數(shù)的0次冪等于1,而忽視了底數(shù)為的情況,乘方等于1的數(shù)有如下三類(lèi):第一類(lèi)為1的任何次冪都為1,第二類(lèi)為的偶次冪等于1,第三類(lèi)為不等于0的數(shù)的0次冪等于1,解題切勿漏解4.整式的乘,除法的互逆關(guān)系的運(yùn)用例4己知某個(gè)多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式所得的商式為,余式為,求這個(gè)多項(xiàng)式.【思路分析】利用整式的乘法與除法互為逆運(yùn)算的關(guān)系求解解:根據(jù)題意可知,所求的多項(xiàng)式為【方法規(guī)律】被除式,除式,商式和余式的關(guān)系為“被除式=除式商式+余式”例5己知多項(xiàng)式能被多項(xiàng)式整除，求的值【思路分析】由被除式與除式最高次項(xiàng)，可知商式的最高次項(xiàng)為x,所以商式可以設(shè)為,將與相乘可以得到與多項(xiàng)式相等的多項(xiàng)式,對(duì)比兩個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),即可得到問(wèn)題的答案.解:設(shè)等式右邊展開(kāi)并整理,得對(duì)比兩邊系數(shù),得解得故的值分別為4和【方法規(guī)律】待定系數(shù)法是解決整式整除問(wèn)題常用的方法,根據(jù)整除的意義設(shè)出商式,然后根據(jù)兩多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等建立方程組求解5.整式的混合運(yùn)算例6計(jì)算:【思路分析】按照整式混合運(yùn)算的順序進(jìn)行計(jì)算.解:原式【方法規(guī)律】(1)遇到整式的乘除,加減,乘方等運(yùn)算時(shí),要注意順序,即先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的,同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行(2)整式的混合運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容,解決此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是:=1\*GB3①審題,確定運(yùn)算順序,=2\*GB3②運(yùn)用各種法則準(zhǔn)確計(jì)算每一步,=3\*GB3③檢驗(yàn)結(jié)果的正確性6.多項(xiàng)式的除法例7先閱讀下到材料:已知,求的值【思路分析】解法1:解法2:又1)－x＋7＝9.解法3：先用豎式除法：∴x3－x2－x＋7＝(x－2)(x2＋x＋1)＋9＝9.例8解答下列問(wèn)題：已知3x2－x＝1,求多項(xiàng)式9x4＋12x3－2x2－7x＋2013的值.【思路分析】先仔細(xì)閱讀所提供的材料，不難發(fā)現(xiàn)三種解法的基本思路，由此可仿上述思路解決問(wèn)題.解法1：∵3x2－x＝1,∴3x2－x－1＝0.9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝9x4－3x3－3x2＋15x3－5x2－5x＋6x2－2x－2＋2015＝3x2(3x2－x－1)＋5x(3x2－x－1)＋2(3x2－x－1)＋2015＝3x2·0＋5x·0＋2×0＋2015＝2015.解法2：∵3x2－x＝1,∴x2＝(x＋1),x2＝(x2＋x)＝[(x＋1)＋x]＝x＋，x4＝x2＋x＝×(x＋1)＋x＝x＋，∴9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝9×(x＋)＋12×（x＋）－2×(x＋1)－7x＋2013＝x＋＋x＋－x－－7x＋2013＝2015.解法3：先用豎式除法：∴9x4＋12x3－2x2－7x＋2013＝(3x2－x－1)(3x2＋5x＋2)＋2015.又∵3x2－x＝1,∴3x2－x－1＝0,∴原式＝(3x2－x－1)(3x2＋5x＋2)＋2015＝0·(3x2＋5x＋2)＋2015＝2015.【方法規(guī)律】已知多項(xiàng)式的值，求另一個(gè)多項(xiàng)式的值有三種思路：一是將待求多項(xiàng)式用含有已知多項(xiàng)式中的各高次項(xiàng)均用低次多項(xiàng)式表示，繼而將待求多項(xiàng)式中的各高次項(xiàng)均用低次多項(xiàng)式表示，最后代入計(jì)算；三是用豎式除法表示，以待求多項(xiàng)式為被除式，以已知多項(xiàng)式為除式的整式除法的商式和余式繼而求值.7.平方差公式的靈活運(yùn)用例9計(jì)算:(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)＋1【思路分析】本題直接計(jì)算雖然看似相當(dāng)繁雜，但從其結(jié)構(gòu)來(lái)看，后一個(gè)因式的指數(shù)均是前一個(gè)因式的指數(shù)的2倍，且均為和的形式，由此聯(lián)想到平方差公式，則缺少兩數(shù)差這一個(gè)因式，而2＋1這個(gè)因式所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)差2－1，其值恰好等于1，故可采用平方差公式來(lái)計(jì)算.解：原式＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）＋1＝264【方法規(guī)律】本題靈活地運(yùn)用了2－1＝1這個(gè)最簡(jiǎn)單的算式，使得整式算式顯得更有規(guī)律，更簡(jiǎn)便，它是不是給人以四兩撥千斤的感覺(jué)呢？望讀者仔細(xì)體會(huì).1.下列計(jì)算不準(zhǔn)確的是（）A．(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4B.(a＋3)(a－4)＝a2＋7a－12C．(n－2)(n＋3)＝n2＋n－6D.(m－2)(m－3)＝m2－5m＋62.下列計(jì)算正確的是（）A.b10÷b5＝b2B.b6÷b3＝b2C.b2÷b2＝bD.b6÷b4＝b23.若8x6y4z÷()＝4x2y2,括號(hào)內(nèi)應(yīng)填()A.32x8y4zB.2x3y2C.2x4y2zD.2x3y2z4.計(jì)算(－4a3＋12a2b－8a3b2)÷(－4a2)A.a＋2ab2B.a－3b＋2ab2C.a＋3b＋2ab2D.a－3b＋a5.下列多項(xiàng)式中不能用平方差公式計(jì)算的是（）A．(－a－b)(－b＋a)B.(xy＋z)(xy－z)C.(－2a－b)(2a＋b)D.(x－y)(－y－x)6.長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)3m＋2n,；另一邊比它長(zhǎng)(m－n)，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是（）A．12m2＋11mn＋2n2B.12m2＋5mn＋2n2C.12m2－5mn＋2n2D.12m2＋11mn＋n27.如果(2x－3)0＝1，則x的取值范圍是()A.x＝2B.x≠C.x≤D.x≥8.對(duì)任意整數(shù)n，按下列程序計(jì)算，則輸出的答案為()A.nB.n2C.2nD.110.若x－y＝2,x2－y2＝6,則x＋y＝.11.計(jì)算(1)6x6y5z5÷(－3x2y3z)÷(－2x4yz4)(2)(25x3＋15x2－20x)÷(－5x)(3)(2x3y3－2x3y＋x4y)÷(－x3y)(4)(－a－b)(a－b)(5)(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)(6)a4＋(1－a)(1＋a)(1＋a2)12.運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算：(1)501×499；（2）40×39；（3）59.8×60.2（4）10022－998213.先化簡(jiǎn)，在求值;（1）[(3m＋4n)(3m＋2n)－2n(3m＋4n)]÷(－6m)，其中m＝1,n＝3.(2)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2,其中a＝1,b＝－2.14.解下列方程（不等式）：(1)2(x－3)(x－2)－(x＋4)(x－4)＞(x－3)(x＋6)(2)(2x－3)(3x－2)－5x(x－2)＝(x－3)(x＋3)B沖刺中考15.若1＜x＜3，則代數(shù)式x(1－x)(1＋x)的值（）A．大于0B.小于0C.非負(fù)數(shù)D.不確定16.已知m2＋2mn＝13,3mn＋2n2＝21,則(2m＋n)(m＋6n)－44的值為（）A．45B.55C.66