小專題之圖象的變換1.熟悉函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折變換；(難點)2.能正確作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象研究函數(shù)性質(zhì).(重點、難點)

初中我們學過函數(shù)圖象的平移變換，并總結(jié)出了“左加右減，上加下減”的規(guī)律，這一節(jié)我們回顧平移變換，并學習了解對稱和翻折變換.高中階段對于復雜函數(shù)性質(zhì)的研究，往往是通過研究簡單函數(shù)圖象的變換獲得的，這就是函數(shù)圖象變換成為高考保留考點的原因之一(一般是選擇題第五或六題).我們只有理解了函數(shù)圖象變換的本質(zhì)規(guī)律，才能對問題的求解有更輕松的體驗.函數(shù)圖象的平移變換向左平移a個單位長度設(shè)實數(shù)

，則：①向右平移a個單位長度②向上平移b個單位長度③向下平移b個單位長度④可簡記為“上加下減，左加右減”例1.畫出下列函數(shù)的圖象.(1) (2)函數(shù)圖象的對稱變換

在考慮圖象的對稱變換之前我們先回顧一下初中學的點的對稱變換.對于任意一點

：關(guān)于x軸對稱①關(guān)于y軸對稱②關(guān)于原點對稱③

現(xiàn)在考慮圖象的對稱變換，我們知道圖象是由無數(shù)個點組成的，我們對圖象上每個點都進行上面的變換：關(guān)于x軸對稱①關(guān)于y軸對稱②關(guān)于原點對稱③例2.若函數(shù)

的圖象如圖所示，則函數(shù)

的圖象大致為()ABCDC函數(shù)圖象的翻折變換例3.已知函數(shù)

，試作出函數(shù)

與

的圖象.解：先作出

的圖象

的圖象為保留

圖象在

x軸及其上方的部分，把

x軸下方的部分沿

x軸翻折上去.

的圖象為保留

圖象在y軸及其右側(cè)的部分，把

y軸右側(cè)的圖象翻折到

y軸左側(cè).保留y軸及其右邊的圖象，把

y軸右側(cè)的圖象翻折到y(tǒng)軸左側(cè).一般地，對于函數(shù)

：保留x軸及其上方的圖象，把

x軸下方的圖象翻折到x軸上方.①②例4.畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們的單調(diào)區(qū)間.(1)(2)小專題之圖象的對稱1.熟悉函數(shù)圖象軸對稱和中心對稱；(難點)2.能根據(jù)定義式得到對稱軸、對稱中心，反之，也能根據(jù)對稱軸、對稱中心得到定義式.(重點、難點)

前面我們學習了函數(shù)的奇偶性，我們知道如果函數(shù)關(guān)于

對稱，則有

，聰明的孩子可能大腦已經(jīng)在思考，如果不是關(guān)于

對稱，而是關(guān)于其他的直線對稱，那

應該滿足什么關(guān)系呢？

下面我們從偶函數(shù)開始，探索對稱性的一般規(guī)律.從“形”的角度看從“數(shù)”的角度看圖象關(guān)于直線

對稱從“形”的角度看圖象關(guān)于直線

對稱從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看圖象關(guān)于直線

對稱從“數(shù)”的角度看

對于任意的x你還能得到怎樣的等式？思考：若

圖象關(guān)于直線

對稱，你可以得到怎樣的等式？從“形”的角度看圖象關(guān)于直線

對稱從“數(shù)”的角度看函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)

對定義域內(nèi)任意

x都有函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

對稱通過上面幾個例子，我們可以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律：函數(shù)

是偶函數(shù)代數(shù)證明：

的圖象關(guān)于直線

對稱因為

關(guān)于直線

對稱，證明：在

圖象上任取一點

，則點P關(guān)于直線

的對稱點

也在

圖象上，所以有

，考慮

的任意性，故有.一般地，函數(shù)

的圖象關(guān)于直線對稱的相關(guān)結(jié)論如下：

在定義域內(nèi)滿足的條件

圖象的對稱軸

直線

直線

直線例1.(1)若函數(shù)

滿足

，則函數(shù)

的圖象的對稱軸方程為________.(2)若函數(shù)

為偶函數(shù)，則函數(shù)

的圖象的對稱軸方程為_______.1.若已知定義式

，可以得到

具有對稱軸(由括號里的式子相加除以2可得).2.若已知

的對稱軸為

，可以得到定義式

，

，....(只要滿足兩個括號里的式子相加除以

2等于a即可).3.若已知

是偶函數(shù)，則有兩種思考方向：①

的對稱軸是

，由

到

需要向右平移a個單位長度，所以對稱軸也要向右平移a個單位長度，故

的對稱軸為

；②

是偶函數(shù)，則有定義式.1.函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

對稱，下列說法錯誤的是()A.B.C.函數(shù)

是偶函數(shù)D.函數(shù)

是偶函數(shù)D函數(shù)圖象關(guān)于點對稱類比軸對稱的探究，我們從奇函數(shù)入手研究中心對稱從“形”的角度看從“數(shù)”的角度看圖象關(guān)于點

中心對稱從“形”的角度看從“數(shù)”的角度看圖象關(guān)于點

中心對稱函數(shù)

的圖象關(guān)于點

對稱函數(shù)

對定義域內(nèi)任意

x都有函數(shù)

是奇函數(shù)一般地，函數(shù)

的圖象關(guān)于點對稱的相關(guān)結(jié)論如下：

在定義域內(nèi)滿足的條件

圖象的對稱中心

點

點

點

點例2.(1)若函數(shù)滿足，則函數(shù)圖象的對稱中心為_________.(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為_______.2.(多選)函數(shù)

的圖象關(guān)于點

對稱，則下列結(jié)論正確的是()A.是奇函數(shù)B.C.D.CD雙對稱出周期例3.在R上定義的函數(shù)

是偶函數(shù)，且

，若

在區(qū)間

上是減函數(shù)，則()A.在區(qū)間

上是增函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù)B.在區(qū)間

上是增函數(shù)，在區(qū)間

上是減函數(shù)C.在區(qū)間

上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是增函數(shù)D.在區(qū)間

上是減函數(shù)，在區(qū)間

上是減函數(shù)B解：因為

是偶函數(shù)且

，所以

有兩條對稱軸

，

，由

在

上遞減，可以大致畫出圖象，如下圖象關(guān)于

對稱，可得

上的圖象，圖象關(guān)于

對稱，可得

上的圖象，圖象關(guān)于

對稱，又可得

上的圖象，圖象關(guān)于

對稱，又可得

上的圖象，圖象關(guān)于

對稱，又可得

上的圖象，如此循環(huán)往復......，可以發(fā)現(xiàn)圖象呈現(xiàn)周期變化.雙對稱出周期1.若函數(shù)具有兩條對稱軸，則函數(shù)會等間距的出現(xiàn)下一條對稱軸，周期為2倍間距；2.若函數(shù)具有兩個對稱中心，則函數(shù)會等間距的出現(xiàn)下一個對稱中心，周期為2倍間距；3.若函數(shù)具有一條對稱軸一個對稱中心