彭浦中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______一、填空題1.如果一條直線和兩條異面直線中的一條平行，那么它和另一條直線的位置關(guān)系是______．【答案】異面或相交【解析】【分析】根據(jù)空間中線線的位置關(guān)系得解.如果一條直線和兩條異面直線中的一條平行，那么它和另一條直線的位置關(guān)系是異面或相交.故答案為：異面或相交2.若數(shù)列為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則_______．【答案】189【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列前項和公式計算即得.由數(shù)列為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，得.故答案：1893.已知球的表面積為，則該球的體積為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)球體表面積計算公式求出球體半徑，再根據(jù)球體體積計算公式求出球體體積即可.設(shè)球體的半徑為，根據(jù)已知有：，解得，所以球體體積為：.故答案為：.4.已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】取得到，時，根據(jù)計算得到答案.，取得到，當(dāng)時，，，當(dāng)時，不滿足所以.故答案為：.【點睛】本題考查由求數(shù)列的通項公式，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中點，F(xiàn)是BB1的中點，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為______.

【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面可知即為所求角，利用可求得結(jié)果.連接，

平面，即為直線與平面所成角，在中，，，.故答案為：.6.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線與底面半徑的比為_______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，計算出底面圓的周長，得出該圓錐的母線長與底面半徑的比.設(shè)圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，由題意可知，底面圓的周長為，故，，則該圓錐的母線長與底面半徑的比為.故答案為：2.7.已知數(shù)列滿足：且，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)遞推式判斷數(shù)列的周期性，利用周期性求目標(biāo)項.由題設(shè)，則，，，，由上，是周期為3的數(shù)列，則.故答案為：8.兩平行平面截半徑為13的球，若截面面積分別為和，則這兩個平面間的距離是______【答案】7或17##17或7【解析】【分析】球半徑為，設(shè)兩個截面圓的半徑別為，，球心到截面的距離分別為，，則由已知可求得，，然后分球的球心在兩個平行平面的外側(cè)和球的球心在兩個平行平面的之間兩種情況求解即可球的半徑為，設(shè)兩個截面圓的半徑別為，，球心到截面的距離分別為，；球的半徑為，由，得；由，得；如圖①所示，當(dāng)球的球心在兩個平行平面的外側(cè)時，這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之差；即；如圖②所示，當(dāng)球的球心在兩個平行平面的之間時，這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之和．即.所以這兩個平面間的距離為或．故答案為：或9.如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下結(jié)論：其中所有正確的結(jié)論序號是________.（1）BM與ED平行；（2）CN與BE是異面直線；（3）CN與BM成；（4）DM與BN垂直；【答案】（3）（4）【解析】【分析】將正方體的平面展開圖還原為正方體，結(jié)合空間中直線與直線的位置關(guān)系判斷計算即可.將該正方體的平面展開圖還原得到如圖所示：對于（1）：顯然是異面直線，故（1）不正確；對于（2）：在正方體中，,,所以四邊形是平行四邊形，所以，故（2）不正確；對于（3）：連接，結(jié)合（2）由，所以為異面直線與所成的角，顯然，所以為等邊三角形，所以，故（3）正確；對于（4）：因為在正方體中，面，且在面內(nèi)，所以，又因為四邊形是正方形，所以,因為且在面內(nèi)，在面內(nèi)，所以面，又因為在面內(nèi)，所以，故（4）正確；故答案為：（3）（4）.10.某人去公園郊游，在草地上搭建了如圖所示的簡易遮陽篷ABC，遮陽篷是一個直角邊長為6的等腰直角三角形，斜邊AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太陽光線與地面成30°角，則當(dāng)遮陽篷ABC與地面所成的角大小為______時，所遮陰影面面積達到最大.【答案】##【解析】【分析】遮陰影面面積達到最大即是點到的距離最大，根據(jù)正弦定理表示出點到的距離，即可找出角度取值與面積之間的關(guān)系．如圖，過點C作交AB于D，連接，由題可知因此就是遮陽篷ABC與地面所成的角，因為，所以求遮陰影面面積最大，即是求最大，其中已知，設(shè)，，根據(jù)正弦定理當(dāng)時遮陰影面面積最大，此時故答案為：二、單選題11.下列條件中，能夠確定一個平面的是（）A.兩個點 B.三個點C.一條直線和一個點 D.兩條相交直線【答案】D【解析】【分析】兩個點能確定一條直線，但一條直線不能確定一個平面，可判斷A；若三個點共線，則不能確定一個平面，可判斷B；若點在直線上，則一條直線和一個點不能確定一個平面，可判斷C；兩條直線能確定一個平面，可判斷D.解：對于A，兩個點能確定一條直線，但一條直線不能確定一個平面，所以兩個點不能確定一個平面；對于B，三個不共線的點可以確定一個平面，若三個點共線，則不能確定一個平面，故B不能；對于C，一條直線和這條直線外一點能確定一個平面，若這個點在直線上，則不能確定一個平面，故C不能；對于D，兩條相交直線能確定一個平面，故D能故選：D.12.設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用線面位置關(guān)系，逐項判斷即得.對于A，，則或，A錯誤；對于B，，則或，B錯誤；對于C，，則直線可能相交，可能平行，也可能是異面直線，C錯誤；對于D，由線面平行的性質(zhì)知，D正確.故選：D13.在正方體中，P，Q兩點分別從點B和點出發(fā)，以相同的速度在棱BA和上運動至點A和點，在運動過程中，直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先過點作于點，連接，根據(jù)題意，得到即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，設(shè)，推出，進而可求出結(jié)果.過點作于點，連接，因為四棱柱為正方體，所以易得平面，因此即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，設(shè)，則，，因為兩點分別從點和點出發(fā)，以相同的速度在棱和上運動至點和點，所以，因此，所以，因為，所以，則，因此.故選：C.【點睛】本題主要考查求線面角的取值范圍，熟記線面角的定義即可，屬于常考題型.三、解答題14.如圖，是圓柱的一條母線，是圓柱的底面直徑，點C在圓柱下底面圓周上，是線段的中點．已知，．（1）求圓柱的側(cè)面積；（2）求與所成的角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意在中，利用勾股定理可求，求得底面半徑即可得解圓柱的側(cè)面積．（2）由題意利用線面垂直性質(zhì)可知，利用線面垂直的判定可證平面，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明，從而得解．【小問1詳解】由題意可得，，，所以在中，，所以底面半徑，所以圓柱的側(cè)面積．【小問2詳解】由題意可得，又因為是圓柱的一條母線，可得底面，因為底面，所以，因為，且，平面，所以平面，又平面，所以，所以與所成的角為．15.如圖，在正方體中，，求：（1）異面直線與所成角的大?。唬?）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）找到即為異面直線與所成角，求出各邊長，得到答案；（2）作出輔助線，證明出面，求出點到平面的距離為.【小問1詳解】因，所以即為異面直線與所成角，因為，由勾股定理得，，故，所以；【小問2詳解】連接交于，則，因為⊥平面，平面，所以，又因為，，平面，所以面，所以線段為所求距離，所以點到平面的距離為.16.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，（1）求（2）當(dāng)取最大值時，求的值【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將已知條件用等差數(shù)列的首項和公差表示，解方程組得到首項和公差，從而求得數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷出取最大值時的值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，因為，，所以，解得，所以.【小問2詳解】，所以當(dāng)取最大值時，或.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，點是的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）4【解析】【分析】（1）解法一：設(shè)與的交點為，利用三角形的中位線證明，可證得平面.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行；（2）解法一：求出點到平面的距離，由求解即可.解法二：向量法求點到平面距離，得到棱錐的高，可求體積.【小問1詳解】解法一：證明：連接與交于點，則是的中點，連接，又是的中點，則有，平面，平面，所以平面.解法二：，則有，又平面，以為原點，的正方向為軸，軸，軸的方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，有，令，則，得，于是，且平面，故平面.【小問2詳解】解法一：取的中點，連接，直三棱柱中，平面，平面，故，又為的中點，則有且.由，則有，又，平面，所以平面，平面.，.解法二：在（1）的基礎(chǔ)上，，設(shè)平面的一個法向量為，，令則，得，于是點到平面的距離為，于是.18.如圖，正方形中，邊長為4，為中點，是邊上的動點.將沿翻折到，沿翻折到，（1）求證：平面平面SFD；（2）當(dāng)是邊的中點時，二面角的大?。唬?）設(shè)面面，求證：.（4）若，將沿翻折到，沿翻折到，連接，設(shè)直線與平面所成角為，求的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）90°（3）證明見解析（4）【解析】【分析】（1）由已知，，可得面SFD，由面面垂直的判定定理可得證；（2）由已知可得，，可證平面平面SEF，可求二面角的大?。唬?）利用線面平行的性質(zhì)定理證明即可；（4）設(shè)在面上的射影為，連接，則為直線與平面所成角．設(shè)（），利用體積法，由求得，從而得的表達式，結(jié)合換元法及函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值．【小問1詳解】因為是正方形，為的中點，所以，，又，SD，平面SFD，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】當(dāng)是邊的中點時，由（1）可知，，又∵，，，，∴，又∵，平面，∴平面，平面平面，二面角的大小為90°；【小問3詳解】因為，平面，平面，所以平面，又因為平面平面，所以；【小問4詳解】設(shè)在面上的射影為，連接，則為直線與平面所成角，設(shè)（），則，，在中，，，，可得，