2024-2025學(xué)年四川省眉山市東坡區(qū)蘇洵中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各式中屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.在式子，，，，中，是二次根式的有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個3.方程：①，②，③，④中，屬于一元二次方程的是（）A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和③4.下列計算結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.5.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A.且 B. C. D.6.將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.7.已知，，為常數(shù)，點(diǎn)在第四象限，則關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根 D.無法判定8.關(guān)于的一元二次方程的兩根，，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設(shè)人行道的寬度為米，則可以列出關(guān)于的方程是（）A. B. C. D.10.對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.可由的圖象平移得到 B.對稱軸是直線C.圖象有最低點(diǎn) D.頂點(diǎn)坐標(biāo)是11.在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致可能為（）A. B.C. D.12.如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為.下列四個命題：①當(dāng)時，；②若，則；③拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則；④關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)，分別在軸和軸上，當(dāng)時，四邊形EDFG周長的最小值為.其中真命題的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.13.若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為______.14.已知最簡二次根式與可以合并，則的值為______.15.將拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后的拋物線的表達(dá)式為______.16.已知點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是（用“<”號連接）______.17.已知，，則______.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點(diǎn)為，則關(guān)于的不等式的解集為______.三、解答題：本題共8小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.（本小題8分）計算：（1）；（2）.20.本小題8分用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）；（2）.21.本小題8分（1）計算：；（2）若，求的值.22.（本小題8分）已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如果方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，且，求的值.23.（本小題8分）某商場經(jīng)營一種成本為每干克40元的產(chǎn)品.（1）已知四月份該產(chǎn)品的銷售量為500kg，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)價后，6月份該產(chǎn)品的銷量為720kg，求月份該產(chǎn)品銷售的月平均增長率.（2）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該產(chǎn)品的售價為每千克50元時，月銷售量為500kg，每千克售價每漲價1元，月銷售量將減少10kg，該商場計劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，要使月銷售利潤達(dá)到8000元，問銷售該產(chǎn)品時每千克應(yīng)漲多少元？24.（本小題8分）中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)作勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為秒 圖1（1）如圖1，過點(diǎn)作，交AB于，若與的面積和是的面積的，求的值；（2）點(diǎn)在射線PC上，且，以線段PQ為邊向上作正方形PQNM.在運(yùn)動過程中，若設(shè)正方形PQNM與重疊部分的面積為8，求的值.25.（本小題8分）定義：若關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)為該一元二次方程的衍生點(diǎn).（1）若一元二次方程為，請直接寫出該方程的衍生點(diǎn)的坐標(biāo)為______.（2）若點(diǎn)是關(guān)于的一元二次方程為的衍生點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，求的值；（3）是否存在，，使得不論為何值，關(guān)于的方程的衍生點(diǎn)始終在直線的圖象上.若有，請求出，的值；若沒有，請說明理由.26.（本小題8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于，，三點(diǎn)，點(diǎn)是直線BC下方拋物線上一動點(diǎn).（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，面積最大，求出此時點(diǎn)坐標(biāo)和的最大面積.

答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、被開方數(shù)能開方，A不是最簡二次根式，故A錯誤；B、被開方數(shù)含分母，B不是最簡二次根式，故B錯誤；C、被開方數(shù)含有能開方的因數(shù)，C不是最簡二次根式，故C錯誤；D、被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D是最簡二次根式；故選：D.判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．2.【答案】B【解析】解：，，是二次根式，共3個.故選：B.二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，進(jìn)而得出答案.此題主要考查了二次根式的定義，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.3.【答案】C【解析】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程；②中有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程；③是一元二次方程；④是一元二次方程；綜上③和④是一元二次方程，故選：C.一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程.據(jù)此判斷即可.本題考查了一元二次方程的定義.掌握一元二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵.4.【答案】D【解析】解：A、，故本選項(xiàng)的計算結(jié)果錯誤；B、，故本選項(xiàng)的計算結(jié)果錯誤；C、與的被開方數(shù)不相同，不能合并，故本選項(xiàng)的計算結(jié)果錯誤；D、，故本選項(xiàng)的計算結(jié)果正確.故選：D.根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計算即可.本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.5.【答案】A【解析】解：根據(jù)題意得：，解得：且.故選：A.根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范圍.本題考查的知識點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).6.【答案】D【解析】解：，二次項(xiàng)化系數(shù)為1得：，移項(xiàng)得：，配方得：，整理得：，故選：D.先二次項(xiàng)化系數(shù)為1，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解.本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵.7.【答案】B【解析】解：點(diǎn)在第四象限，，，方程的判別式，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.故選：B.先利用第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，則判斷，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根.8.【答案】C【解析】解：由題意可知：，，，，，，，，故選：C.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及不等式的解法即可求出答案.本題考查根與系數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及不等式的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型.9.【答案】A【解析】解：設(shè)人行道的寬度為米，根據(jù)題意得，，化簡整理得，.故選：A.設(shè)人行道的寬度為米，根據(jù)矩形綠地的面積之和為，列出一元二次方程.本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，利用兩塊相同的矩形綠地面積之和為得出等式是解題關(guān)鍵.10.【答案】C【解析】解：A、二次函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到，故A不符合題意；B、二次函數(shù)的對稱軸為直線，故B不符合題意；C、拋物線開口向上，故拋物線有最低點(diǎn)，故C符合題意；D、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故D不符合題意.故選：C.根據(jù)平移的性質(zhì)可以判斷A；根據(jù)拋物線解析式可以判斷B，D；根據(jù)拋物線開口方向可以判斷C.本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和平移的性質(zhì).11.【答案】D【解析】解：由可知二次函數(shù)圖象與軸交于，觀察選項(xiàng)A和選項(xiàng)B的一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，可得，，若，，則二次函數(shù)開口方向向上，與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，故選項(xiàng)A和選項(xiàng)B錯誤；觀察選項(xiàng)C和選項(xiàng)D的一次函數(shù)經(jīng)過一、二、象限，可得，，若，，則二次函數(shù)開口方向向下，與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，故選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確.故選：D.先判斷二次函數(shù)與軸交于，再根據(jù)一次函數(shù)的經(jīng)過的象限判斷和的正負(fù)，通過和的正負(fù)判斷二次函數(shù)的開口方向和與軸的交點(diǎn)位置即可求解.本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的綜合題，熟知一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12.【答案】B【解析】解：①當(dāng)時，函數(shù)圖象過第一、四象限，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故此命題是假命題；②對稱軸為，當(dāng)時有，解得，故此命題是真命題；③，，，點(diǎn)距離對稱軸比點(diǎn)距離對稱軸遠(yuǎn)，又拋物線開口向下，，故此命題是真命題；④如圖，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值.當(dāng)時，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，則，；則，.四邊形EDFG周長的最小值為，故此命題是假命題.故選：B.①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出的符號即可判斷；②根據(jù)、關(guān)于對稱軸對稱，求出的值即可判斷；③根據(jù)，，得到，從而得到點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出，即可判斷；④作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值，求出、、、的坐標(biāo)即可解答.本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對稱軸、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對稱-最短路徑問題等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.13.【答案】【解析】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，，且，解得：.故答案為：.根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出答案即可.本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵.14.【答案】2【解析】解：由題意得，，解得，，則，故答案為：2.根據(jù)同類二次根式的概念列出方程組，解方程組求出、，計算即可.本題考查的是同類二次根式的概念，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式.15.【答案】【解析】解：將拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的拋物線解析式為，故答案為：.根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”即可得到答案.本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”.16.【答案】【解析】解：拋物線，該拋物線開口向上，有最小值，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，對稱軸是直線，點(diǎn)、、分別是拋物線的三個點(diǎn)，，故答案為：.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象具有對稱性可知時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等，從而可以判斷、、的大小關(guān)系，本題得以解決.本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷、、的大小關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.17.【答案】【解析】解：當(dāng)，時，，故答案為：.對所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可.本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.18.【答案】或【解析】解：拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點(diǎn)為，拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，根據(jù)函數(shù)圖象可得不等式的解集為或故答案為：或.根據(jù)對稱性得出拋物線與軸的另一個交點(diǎn)，據(jù)此結(jié)合圖象進(jìn)行解答即可.本題考查了二次函數(shù)與不等式（組），拋物線與軸的關(guān)系，拋物線與一元二次方程的關(guān)系，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解：（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)乘方運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)、二次根式的除法運(yùn)算法則以及零指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算將整理為，并利用完全平方公式計算，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可.本題主要考查了二次根式混合運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、化簡絕對值、零指數(shù)冪以及乘方運(yùn)算等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.20.【答案】解：（1），，，則，，解得：，；（2）由題意，，.或.，.【解析】先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，進(jìn)而可得，，再解即可；（2）依據(jù)題意，運(yùn)用因式分解法計算可以得解.本題主要考查了一元二次方程的解法，關(guān)鍵是掌握因式分解法解方程.21.【答案】解：（1）；（2），，，，，.【解析】（1）首先把每個式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化簡求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，根據(jù)完全平方公式得到，再整體代入計算即可得到答案.本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確對二次根式進(jìn)行分母有理化是解題的關(guān)鍵.22.【答案】解：（1），這里，，，.，.無論取何值，方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根為，，則，.，即，.整理，得..解得，.的值為或1.【解析】（1）先確定、、再計算根的判別式，利用根的判別式得結(jié)論；（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與積，再代入已知中得關(guān)于的方程，求解即可.本題考查了一元二次方程，掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方公式的變形等知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.23.【答案】解：（1）設(shè)月份該產(chǎn)品銷售的月平均增長率為，由題意得：，解得：，，（不合題意舍去），答：月份該產(chǎn)品銷售的月平均增長率為；（2）設(shè)銷售該產(chǎn)品時每千克應(yīng)漲元，，解得：，，當(dāng)時，月銷售成本為，不合題意舍去，當(dāng)時，月銷售成本為，符合題意，，答：銷售該產(chǎn)品時每千克應(yīng)漲30元.【解析】（1）設(shè)月份該產(chǎn)品銷售的月平均增長率為，列方程并解方程即可解決；（2）根據(jù)銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少10千克，結(jié)合月銷售利潤=每件利潤數(shù)量即可列出方程，解方程即可.此題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，讀慬題意，找到合適的等量關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)正確列出方程是解題的關(guān)鍵.24.【答案】解：（1）中，，，，，，與的面積和，與的面積和是的面積的，，解之，得，；（2），，，①如圖1，當(dāng)時，，解得：，（不合題意，舍去）， 圖1②如圖2，當(dāng)時，，解得：（不合題意，舍去），（不合題意，舍去）， 圖2③如圖3，當(dāng)時，，解得：，（不合題意，舍去）， 圖3綜上，的值為或時，重疊面積為8.【解析】（1）根據(jù)三角形的面