高等數(shù)學(xué)（第二版）一、微分的定義二、微分的幾何意義微分導(dǎo)數(shù)與微分三、微分的運(yùn)算四、微分的形式不變性五、微分的簡單應(yīng)用一、微分的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則這個(gè)式子可改寫為其中（當(dāng)時(shí)）是無窮小量。用乘上式兩邊，有這里函數(shù)的改變量由兩部分組成：第二部分是

時(shí)的無窮小，所以第一部分是主要項(xiàng)，是的線性函數(shù)。因而稱為函數(shù)改變量的線性主要部分。當(dāng)很小時(shí)，可得。通常，把自變量的增量記作自變量的微分，則在點(diǎn)處的微分可表示為由此可知，函數(shù)可導(dǎo)也稱函數(shù)可微，且函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性部分。定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作前面我們曾用表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它是一個(gè)整體符號?，F(xiàn)在引進(jìn)微分概念后，不僅表示的導(dǎo)數(shù)，而且表示函數(shù)微分與自變量微分之商，所以我們又稱導(dǎo)數(shù)為微商。由于求微分的問題可以歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問題，因此求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法就稱為微分法。例1求函數(shù)在時(shí)的增量與微分。解：函數(shù)的增量函數(shù)微分當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得比較與，知較小。例2設(shè)，求。解：在曲線上取點(diǎn)。如圖。過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)的傾角為，則的斜率為當(dāng)自變量在點(diǎn)取得改變量時(shí)，得曲線上另一點(diǎn)

由圖知二、微分的幾何意義所以函數(shù)的微分就是曲線過點(diǎn)的切線的改變量。當(dāng)很小時(shí)，換言之，“曲線”的改變量，可以用“直線”的改變量來近似代替。這就是局部上的“以直代曲”。三、微分的運(yùn)算設(shè)在點(diǎn)處可微，則即求函數(shù)的微分，只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以即可。于是，由導(dǎo)數(shù)的一些基本公式及法則，立即可得微分公式。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）（13）（15）（10）（12）（14）（16）微分運(yùn)算法則（2）若為的可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，則為的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的微分為四、微分的形式不變性設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，（1）若為自變量時(shí)，微分而就是的微分故由此可見，不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式同樣都是。這就叫做微分形式不變性。例3設(shè)

，求。解：利用得例4設(shè)，求。解：例5設(shè)隱函數(shù)為，求。解：將方程兩端對求微分，得解出得五、微分的簡單應(yīng)用微分的重要應(yīng)用，就是函數(shù)的線性化。我們知道，的一次函數(shù)，通常稱為線性函數(shù)，線性函數(shù)是最簡單、最容易處理的函數(shù)。而微分就是函數(shù)線性化的一個(gè)有力工具。（很?。┰O(shè)在處。當(dāng)很小時(shí)，微分是函數(shù)改變量的線性主部，即可作為的近似值。此為求函數(shù)增量的近似公式。可改寫為此為求函數(shù)值的近似公式。（很小）若令，則再令，得上式即為函數(shù)在附近的近似公式。例6半徑為10厘米的金屬圓片加熱后，其半徑伸長了0.05厘米，問：其面積增大的精確值為多少？其近似值為多少？解：設(shè)圓面積為，半徑為厘米，則。已知厘米，厘米，故圓面