挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學壓軸題之學霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題27以相似為載體的幾何綜合問題

典例剖析“

21.（2022?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形A8CO中，A8=6,BC=4,點M、N分別在

AB、AO上，且MNLWC,點七為C。的中點，連接/法交MC于點F.

（I）當/為BE的中點時，求證：AM=CE；

⑵若蔡=2,求既勺值;

⑶若MN//BE,求怒的值.

【答案】（1）見解析

（2焉

⑶5

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明ABM/空得BM=CE,再利用點E為CO的中

點，即可證明結論；

（2）利用△8W戶凡得蕓=器=：,從而求出8M的長，再利用△AMWS/XBMC,得

黑=罌，求出4N的長，可得答案；

BMBC

⑶首先利用同角的余角相等得乙CBF=4CM8,則tan/CBF=tan/CM8,得益=羔，

可得3M的長，由（2）同理可得答案.

（1）

證明：???尸為8E的中點，

:?BF=EF,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD

JZBMF=/ECF,

丁/BFM=/EFC,

，叢BMFQ叢ECF(AAS),

：.BM=CE,

???點E為CO的中點，

???CE=#D,

9：AB=CD,

:?BM=CE=-AB,

2

=BM,

，AM=CE；

(2)

*/NBMF=/ECF,NBFM=NEFC,

:ABMFSAECF,

.BFBM1

..—=-----=

EFCE2

VCE=3,

ABM=",

2

9

：.AM=-,

2

?:CM上MN,

???NCMN=90°,

：.NAMN+N8MC=90°,

,/N4MN+NANM=90°,

???4ANM=/BMC,

NA=NM8C,

:.AANMs叢BMC,

,ANAM

BMBC

....27

..AN=一

16

2737

:,DN=AD-AN=4--=—

1616

27

?四_豆_4

一竺一37

16

(3)

VMN//BE,

:?/BFC=/CMN,

：.ZFBC+ZBCM=90°,

N8CM+N8MC=90°,

:?/CBF=/CMB、

，tanZCBF=tanNCM8,

.CE_BC

**BC-BMf

■.?3一=~4~"，

4BM

???8M=g，

：.AM=AB-BM=6--=-

33t

由⑵同理得，黑=翌，

BMBC

.ANI

3

解得：4V=g,

:?DN=AD-AN=4-

99

8

.ANa2

??而=交=,

9

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，求出8M的長是解決（2）和（3）的關鍵.

22.（2022.貴州銅仁.中考真題）如圖，在四邊形48CD中，對角線力C與8。相交于點O,記^COD

的面積為Si，A/lOB的面現(xiàn)為S?.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：*=線

S2OAOB

（2）探索推廣：如圖②，若4B與CO不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由.

（3）拓展應用：如圖③，在0A上取一點E,使0￡=0C,過點￡作EGG）交00于點R點

“為力8的中點，。，交E尸于點G,且0G=2GH,若詈/求如宜.

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結論成立，理由見解析：（3）-

54

【分析】（1）如圖所示，過點。作AE_LAC于￡過點8作8凡L4C于R求出OE=OZ）?

sinzDOE,RF=ORsin/BOF,然后根據(jù)三角形面積公式求解即可：

(2)同⑴求解即可；

(3)如圖所示，過點A作/M||EF交03于M,取BM中點、N,連接HN,先證明△OEF^AOCD,

得到OD=OF,證明△OEFs^OAM,得到竺=竺=三，設0E=0C=5m,OF=0D=5n,

OMOA6

則。力=6m,OM=6n,證明△OGFS/XOHM推出?！?,0尸=等，BN=MN=ON-

OM=*,則08=0N+BN=9a由(2)結論求解即可.

【詳解】解：(1)如圖所示，過點。作AE_LAC于E,過點B作8以LAC于廣，

：,DE=OD-sinzDOE,BF=OB-sin^BOF,

???SAOCD=SI=：OC-DE=-OC-OD-sinzDOE,

SAAOB=S2=^OA-BF=^OA-OB?sin^BOF,

???ZDOE=ZBOF,

AsinzDOF=sinZ-BOF；

(2)(1)中的結論成立，理由如下：

如圖所示，過點。作AE_4C于E,過點B作4c于尸,

：,DE=OD-sinzDOE,BF=OF-sinzFOF,

1?SAOCD=S]=；OC.DE=；OC,ODsinzDOF,

S^AOB=S2=^OA-BF=^OAOB-sin^BOF,

,/ZDOE=ZBOF,

?'?sin乙OOE=sinzFOF；

.S]_扣OOD-Sin/OOE_OCOD

-

**s2^OAOBsin^BOF~OAQB'

(3)如圖所示，過點A作4M||E/交08于M,取8M中點N,連接

,：EF\\CD,

???ZODC=ZOFE,ZOCD=ZOEF,

又?：OE=OC,

:.AOEF4AOCD(AAS),

：.OD=OF,

,：EF\\AMf

：.XOEFSK)AM,

設0￡=OC=5m?OF=OD=5n?貝lj。?!=6m,OM=6n,

???”是AB的中點，N是BM的中點,

??.”N是△ABM的中位線，

：.HN\\AM\\EF,

：.XOGFs[\OHN,

.OGOF

??—=—,

OHON

?：0G=2GH,

2

：.OG=-OH,

3

.OGOF2

??==,

OHON3

：.0N=-OF=—,BN=MN=ON-OM=—,

222

：.0B=ON+BN=9n,

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

23.（2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在平行四邊形48。。中，AC是一條對角線，且的=

AC=5,BC=6,E,F是4。邊上兩點，點尸在點E的右側(cè)，AE=DF,連接CE,CE的延長

線與84的延長線相交于點G.

圖1圖2

(1)如圖1,M是邊上一點，連接AM,MF,MF與CE相交于點N.

①若4E=g,求4G的長；

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AM1BC；

(2)如圖2,連接G/，，是GF上一點，連接EH.若乙EHG=cEFG+乙CEF,且HF=2GH,

求E尸的長.

【答案】(1)②證明見解析

(2)2

【分析】(1)①解：根據(jù)平行四邊形4BCD的性質(zhì)可證△AGE?得到怒=器，再根

DCDE

據(jù)48=AC=5,BC=6,4F=|,結合平行四邊形的性質(zhì)求出DE的長，代入比例式即可

求出AG的長；

②先根據(jù)力SA證明△ENFwzxCNM可得Er=CM,再根據(jù)4E=54?=。尸求出￡F=3,

進一步證明8M=MC,最后利用等腰三角形的三線合一可證明結論.

(2)如圖，連接。尸，先根據(jù)SAS證明AAEC三△D/7C,再結合NEHG=NE尸G+NCEF,說

明EHIIC凡利用平行線分線段成比例定理可得案=%接著證明AAGE?△DCE,可得到

喘=J,設AE=x,則DE=2%,根據(jù)AD=AE+DE=6構建方程求出工,最后利用EF=AD-

力￡一0戶可得結論.

(1)

①解：如圖，

二?四邊形/9C。是平行四邊形，ABAC-5,BC=6,

：.AB||CD,AD||BC,DC=AB=5,AD=BC=6,

J.Z.GAE=乙CDE,/-AGE=乙DCE,

△AGE?△DCE,

.AG_AE

**DC~DE'

：,AG-DE=DC-AE,

'：AE=l，

2

：,DE=AD-AE=6--=-

22f

93

：.-AG=5x±,

22

3

?MG的長為今

J

②證明：??ND||BC,

:?乙EFN=乙CMN,

PEN=NC,

在AEN尸和aCNM中,

乙EFN=乙CMN

EN=CN

乙ENF=乙CNM

:,〉ENF三XCNM(ASA),

：,EF=CM,

?NEAE=DF,

,=32

：.DF=-,

2

：,EF=AD-AE-DF=3,

：.CM=3,

,:BC=6,

；.BM=BC-CM=3,

:,BM=MC,

9：AB=AC,

：.AMLBC.

(2)

如圖，連接。凡

\'AB=AC,AB=DC,

：.AC=DC,

：.Z.CAD=Z.CDA,

*：AE=DF,

在AAEC和△DFC中，

AC=DC

Z-CAD=Z-CDA

AE=DF

?MAEC三ADFC(SAS),

：.CE=CF,

：.Z.CFE=Z.CEF

■:乙EHG=^EFG+乙CEF,

?"EHG=乙EFG+乙CEF=乙EFG+乙CFE=乙CFG,

:?EH||CF,

.GH_GE

HF~EC'

?:HF=2GH,

,GE1

??=一,

EC2

*：AB||CD,

：.Z.GAE=Z.CDE,Z.AGE=/-DCE,

**?△AGE5&DCE>

...-A-E=-GE

DECE

.AE1

??

DE2

:,DE=2AE,

設AE=x,則。E=2x,

*：AD=6,

.*.AD=AE+DE=x+2x=6,

..x=2,

即AE=2,

：.DF=2,

：.EF=AD-AE-DF=2.

???EF的長為2.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性

質(zhì)，等腰三角形的三線合一，平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識.靈活

運用相似三角形和全等三角形的判定及性質(zhì)是解答本題的關鍵.

24.(2022?江蘇泰州?中考真題)己知：△ABC中，D為邊上的一點.

⑴如圖①，過點。作交AC邊于點E,若A8=5,BD=9,DC=6,求。E的長；

⑵在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點凡使N。用(保留作圖痕跡，不

要求寫作法)

⑶如圖③，點尸在4c邊上，連接8F、DF,若NDFA=NA,△的面積等于?川以

以尸。為半徑作。尸，試判斷直線BC與。產(chǎn)的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)2

(2)圖見詳解

(3)直線KC與◎"相切，理由見詳解

【分析】⑴由題意易得累=：則有2=4然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求

3D3Co5

解；

(2)作DT//AC交A8于點T,作N77)辰NATD,射線DF交AC于點F,則點F即為所求；

(3)作BA〃C/交尸Q的延長線于點R,連接CR,證明四邊形48RF是等腰梯形，推出A8二網(wǎng),

由CF//BR,推出S?F8=S^FR=-CD=^FR-CD,推出CQ_LD凡然后問題可求解.

(1)

解：,:DE"AB、

△CDECBAt

,DE_CD

**AB~CBf

*：AB=5,BD=9,DC=6,

?DE6

*-6+9*

IDE=2；

(2)

解：作。4c交AB于點7,作N77)F=NA7Z),射線。/交4c于點R則點尸即為所求；

如圖所示：點尸即為所求，

解：直線8。與。尸相切，理由如下：

作3/?〃CE交口）的延長線于點R,連接CR,如圖,

ZZ9M=ZA,

???四邊形A8R廠是等腰梯形，

：.AB=FR,

?:叢FBC的面積等于gCD?AB,

:.S^CFB=S^CFR=耳48,CD=-FR,CD,

ACD1DF,

是。尸的半徑，

，直線BC與。尸相切.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練

掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關鍵.

25.（2022?湖南岳陽?中考真題）如圖，△48。和42BE的頂點B重合，〃8c=乙DBE=90。，

/-BAC=^BDE=30°,BC=3,BE=2.

圖1圖2圖3

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當點0,E分別在4B,8c上時，可以得出結論：,直線40

與直線CE的位置關系是；

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的△08E繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點。恰好落在線段4G匕連

接EC,(I)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展運用:如圖3,將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(19。VaV60°),連接4D、EC,

它們的延長線交于點尸，當=時，求tan(60。一。)的值.

【答案】(1)75,垂直

⑵成立，理由見解析

⑶笥

【分析】(1)解直角三角形求出EC,AD,可得結論；

(2)結論不變，證明△4B0?ZiCBE,推出老=段=百，(ADB=2BEC,可得結論；

ECBC

(3)如圖3中，過點8作歹_LAC于點J,設BD交AK于點K,過點K作KT1AC于點K.求出見,

JK,可得結論.

(I)

解：在R￡△力8c中，乙8=90°,BC=3,LA=30°,

：.AB=y/3BC=3場,

在RtaBDE中，Z.BDE=30°,BE=2,

:.BD=WBE=2?

：,EC=1,AD=V3,

；嘿=6,此時4D，EC,

故答案為：V3,垂直；

(2)

結論成立.

理由：*：￡.ABC=LDBE=90°,

：.Z.ABD=Z.CBE,

*：AB=y/3BC,BD=^BE,

.ACDB

??=~~,

BCEB

:.△ABD—△CBE,

**-77=77=VS*lADB=々BEC,

ECBC

^.ADB+Z.CDB=180°,

:,乙CDB+乙BEC=180°,

工乙DBE+乙DCE=180°,

?：Z.DBE=90°,

：./.DCE=90°,

：.AD1EC；

⑶

如圖3中，過點B作6_L,4CF點/,設8。交4K于點K,過點K作KF_L4C于點K.

圖3

??2/1/8=90。，^BAC=30°,

：.￡AB]=60°,

"KBJ=60°-a.

'：AB=3痘,

：.BJ=-AB=—,AJ=>/3BJ=-,

222

當OF=BEH寸，四邊形BETO是矩形，

???△408=90。，AD=y/AB2-BD2=J(3小尸一(2次產(chǎn)二后,

設KT=m,則4T=V5m,4K=2m,

?:乙KTB=/.ADB=90°,

AD

???匕加=而而’

?mV15

??=f—，

BT2^3

??.BT二等m,

/.y/3m+等m=3^3,

.?.A”K=r2m=-90---1-2->-/1-5

.,,.,990-12V1524V15-81

..KzI=Al-AlK7=----------=--------

JJ21122

??.tan（6。。-a）=>注嗎

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

滿分訓練.

一、解答題

1.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點E、F、G、，分別在正方形48CD的邊AB、BC、CD、

力。上.

(I)如圖I,當四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知=CF=CG,當4E、CF的大小有關系時，四邊形是

矩形；

⑶如圖3,AE=DG,EG、54相交于點。，OF:OF=4:5,已知正方形/1BCD的邊長為16,

尸”長為20,當AOE，的面積取最大值時，判斷四邊形即G”是怎樣的四邊形？證明你的結

論.

【答案】(1)見解析

(2)AE=CF

⑶平行四邊形，證明見解析

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)證得N8E尸=N4//E,根據(jù)角角邊證明BFE.

(2)當AE=CF,證得ZkAEH三△尸CG,△EBF是等腰直角三角形，/HEF=NEFG內(nèi)伊,

即可證得四邊形是矩形.

(3)利用正方形的性質(zhì)證得4EG0為平行四邊形，過點H作”M18C,垂足為點M,交EG于

點N,由平行線分線段成比例，設0E=4x,0F=5x,HN=h,則可表示出HN,從而把

△OEH的面積用x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值,則可得OE=OG,OF=OH,

即可證得平行四邊形.

(1)

???四邊形力BCD為正方形，

???乙4=Z,B=90°,

：./.AEH+^LAHE=90°.

?.?四邊形"GH為正方形，

:?EH=EF,Z.HEF=90\

：.Z-AEH+/-BEF=90°,

"BEF=Z-AHE.

在AAE，和aBFE中，

???△4=28=90。，乙AHE=^BEF,EH=FE,

：.^AEH三1BFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB^

(2)

AE=C/；證明如下:

???四邊形ABC。為正方形，

：.Z.A=Z.B=90°,AB=BC=AD=CD,

'：AE=AH,CF=CG,AE=CF,

：.AH=CG,

：.△AEH=^FCG,

:,EH=FG.

*：AE=CF,

：.AB~AE=BC-CF,BPBE=BF,

???△EBF是等腰直角三角形，

???/BEF=NBFE=45°,

\'AE=AH,CF=CG,

:./AEH=/CFG=45。,

：.NHEF=NEFG=90。,

：.EH//FG,

，四邊形EFG”是矩形.

(3)

???四邊形/BCD為正方形，

：.AB\\CD.

*：AE=DGfAEWDG,

???四邊形AEGD為平行四邊形.

：.AD\\EG.

：.EG\\BC.

過點H作HM_L8C,垂足為點M,交EG于點N,

.UN_HO

??HM-HF，

?：0E:OF=4:5,

設0E=4x,OF=5x,HN=h,則2=叱江，

1620

.".h=4(4—x).

:?S=1?OF?W/V=1-4x-4(4-x)=-8(x-2)2+32.

???當戈=2時，△OEH的面積最大，

：.OE-4x-8一！EG-OG,OF-5x-10--HF-OH,

22

???四邊形"GH是平行四邊形.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線分線段

成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，有一定的綜

合性，解題的關鍵是熟悉這些知識并靈活運用.

2.（2022?山東東營?中考真題）△A8C和△ADF均為等邊三角形，點￡、。分別從點A,8同

時出發(fā)，以相同的速度沿48、BC運動，運動到點3、C停止.

備用圖

⑴如圖1,當點E、。分別與點A、8重合時，請判斷:線段CD、EF的數(shù)量關系是,

位置關系是____________;

(2)如圖2,當點E、。不與點A,B重合時，(1)中的結論是否依然成立？若成立，請給予

證明：若不成立，請說明理由；

⑶當點。運動到什么位置時，四邊形CEFO的面積是△A8C面積的一半，請直接寫出答案;

此時，四邊形8DE戶是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.

【答案】(DC。=EF,CD//EF

(2)CD=EF,CD//EF,成立，理由見解析

(3)點。運動到的中點時，團BOEF是菱形，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)△。和A/DF均為等邊三角形,得至I」AF=AD,AB=BC,N"Q=NA8C=60。,

根據(jù)E、D分別與點A、B重合，得到AB=AD,EF=AF,CD=BC,NFAD=NFAB,推出CD=EF,

CD//EF,

(2)連接/汜根據(jù)N必D=NB4C=60。，推出N/^B=ND4C,根據(jù)AB=AC,推出

△AFBQ4ADC,得至IJN4BF=NACO=60。，BF=CD,根據(jù)AE=BD,推出BE=CD,得至ljBF=BE,

推出正是等邊三角形，得至ZFEB=60°,推出C￡>=ERCD//EF；

(3)過點E作EG_L8C于點G,設ZkABC的邊長為a,AD=h,根據(jù)48=8C,BD=CD=\BC=

)，BD=AE,推出根據(jù)A8=AC,推出AD_L8C,得至ljEG〃A。，推出

〉EBGSBABD,推出黑=笠=：,得到EG=UD=%根據(jù)CD,CD//EF,推出四

邊形CEFO是平行四邊形，推出SCEFO=CD-EG=^a^h=^^ah=齊-時根據(jù)EF=BD,

EF//BD,推出四邊形8QE”是平行四邊形，根據(jù)3F=斯，推出團80EF是菱形.

(1)

?:△48。和4力。尸均為等邊三角形，

：.AF=AD,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,

當點石、。分別與點48重合時，AB=AD,EF=AF,CD=BC,NFAD=NFAB,

：,CD=EF,CD//EFx

故答案為：CD=EF,CD//EF；

(2)

CD=EF,CD//EF,成立.

證明：

連接BF,

丁ZFAD=ZBAC=60°f

：.NFAD-NBAD=NBAC-/BAD,

即NRB=ND4C,

VAF=AD,AB二AC,

哈△AOC(SAS),

AZABF=ZACD=60°rBF=CD,

\'AE=BD,

：,BE=CD,

:?BF=BE,

???△8尸E是等邊三角形，

:.BF=EF,ZFEB=60°,

:?CD=EF,BC〃EF,

即CD〃EF、

：.CD=EF,CD//EF；

(3)

如圖，當點。運動到AC的中點時，四邊形CEFD的面積是△力8C面積的一半，此時，四邊

形BDEF是菱形.

證明：

過點E作EG_LKC于點G,設AAAC的邊長為AD=h.

*：AB=BC,BD=CD=扣C=土，BD=AE,

：.AE=BE=-AB,

2

*：AB=AC,

：.ADLBC,

C.EG//AD,

:?AEBGS&ABD,

?.?EG—BE―1,

ADAB2

：.EG=^AD=

由（2）知，CD=EF,CD//EF,

???四邊形CEFQ是平行四邊形，

???S四邊形CEFD=C。，EG=*八=4?=^S-BC，

此時，EF=BD,EF//BD,

???四邊形BO石尸是平行四邊形，

■:BF二EF,

???團8DEF是菱形.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的

判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊三角

形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，菱形的判定.

3.（2022?遼寧鞍山?中考真題）如圖,在AjBC中,AB=AC,3比42=120。，點。在直線AC

上，連接8D,將DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段DE,連接BE,CE.

（2）當點。在線段AC上（點。不與點4C重合）時，求啜的值；

AD

（3）過點力作4NIIDE交B。于點N,若AD=2CD,請直接寫出g的值.

Cc

【答案】（1）證明見解析；

⑵百

【分析】(I)作于”，可得BC=2BH,進而得出結論；

(2)證明△/W3QS/XC8E,進而得出結果；

(3)當點。在線段AC上時，作BP_LAC,交CA的延長線于尸，作AGJ_8。于G,設AB

=AC=3a,則AO=2a,解直角三角形8OF,求得8。的氏，根據(jù)△D4GsZ\OB/求得AQ,

進而求得AN,進?步得出結果；當點。在AC的延長線二時，設A3=AC=2a,則4)=4〃，

同樣方法求得結果.

(1)

證明：如圖1，

圖1

作AH_L8c十H,

*：AB=ABf

：.ZBA//=ZC4//=-Z2BAC=-2xl20°=60°,BC=2BH,

:?BH考AB,

：,BC=2BH=>/3AB；

(2)

解：*：AB=AC,

由(i)得，北=VI

D

同理可得，

NQ3￡=30。，—=V3,

工/ABC-NDBC=/DBE-/DBC,

/.NABD=/CBE,

AABDSACBE,

(3)

：如圖2,

當點。在線段AC上時，

作B凡LAC,交C4的延長線于凡作AGJ_BZ）于G,

設A8=4C=3a,則4。=2。，

由（1）得，CE=V3AD=2V3a,

在maABF中，ZBAF=\SO°-ZBAC=60°,AB=3a,

AF=3a?cos60°=-a>BF=3tz*sin600=—a,

22

Q7

在R/ZkBO尸中，DF=AD-\-AF=2a+-a=-a,

22

BD=JB『+D『=J律of+《of=ga,

VZ/\GD=ZF=90%4ADG=NBDF,

：,ADAGs△DBF,

.AG_AD

??，

BFBD

?4G_2a

,,早@—同￡

.3凡

??AAGr=-7=a,

V19

〈ANIIQE,

，ZAND=ZBDE=120°,

???NANG=60°,

....AG3626m

..AN=------=-i=a=-------a,

sin60°g百19

?竺__^_a_V57

'*CE-275a-~19f

如圖3,

當點。在AC的延長線上時,

設人B=4C=2a,則AO=4”,

由（1）得，

CE=V3AD=4島，

作BRJLCA,交CA的延長線于R,作AQ_L8D于Q,

同理可得，

AR=a,BR=y/3a,

:?BD=J（6a?+（5Q）2=?用Q,

,AQ__4a

**V3a-2\[7a

:,AQ=^a,

....27324

??4N=^Q?石=石原

?AN為V21

??-=--=-------9

CE4\Ga21

綜上所述：黑的值為粵或等.

CCAz/JL

【點睛】本題j考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解宜角三角形等知識,

解決問題的關鍵是正確分類和較強的計算能力.

4.（2022?浙江衢州?中考真題）如圖,在菱形A8CQ中,AB=5,8。為對角線.點￡是邊AB

延長線上的任意一點，連結OE交8c于點F,BG平分乙CBE交DE于點、G.

備用圖1備用圖2

（I）求證：Z-DBG=90°.

(2)若80=6,DG=2GE.

①求菱形/BC。的面積.

②求tan，BDE的值.

(3)若=當乙。48的大小發(fā)生變化時(0。?？?8Vl80。)，在4E上找一點7,使GT為

定值，說明理由并求出ET的值.

【答案】(1)見解析

⑵①24,可

(3)￡T=F，理由見解析

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)可證得NC8O=N48O=gNA8C,由BG平分/C8E交DE于點G,

得到NCBG=NE8G=：NCBE,進一步即可得到答案；

(2)①連接AC交8。于點。心△QOC中，OC=7CD2-ODy'-3?=4,求得AC=8,

由菱形的面積公式可得答案；②由“GMC,得到器=罌=；,DH—HG,QG—2QH,又由

DG=2GE,得至ljEG=Q4=”G,則絲二二，再證明△COHsaAE”，CH=-AC=~,OH=

EH233

OC-CT=4-1=p利用正切的定義得到答案；

(3)過點G作G71I8C,交AE于點、T,△BGE^/XAHE,得AB=8E=5,則EG=GH,再

證仆DOHS&DBG,得DH=GH=EG,由乙EGTs^EDA得生=-=GT=-,為定值，

ADEA33

即可得到E7的值.

(1)

證明：???四邊形4BCO是菱形，

:?BC=DC,ABWCD,

/./BDC=/CBD,ZBDC=/ABD,

/.4CBD=ZABD=-ZABC,

2

???BG平分/CBE交DE于點G,

ZCBG=ZEBG=-ZCBE,

J2

：?/CBD+/CBG=W(NA8C+NC8E)=-xl80°=90°,

22

???NO8G=90。；

(2)

解：①如圖1,連接AC交8。于點O,

D

圖1

???四邊形ABC。是菱形，BO=6,

,\OD=-BD=3,ACA.BD,

2

???NOOC=90。，

在RdOOC中，OC=\/CD2-OD2=V52-32=4,

???AC=2OC=8,

'S菱形ABCD=JCxBD=-x8x6=24,

即菱形A8CD的面積是24.

圖2

???四邊形ABC。是菱形，

：.AClBDf

?/N。8G=90。

:.BG上BD,

?MGIIAC,

.DHDO1

,,麗二訪二

:.DH=HG,DG=2DH,

?:DG=2GE,

:?EG=DH=HG,

.DH1

*'EH-2，

VABIICD,

/.ZDCH=EAH,ZCDH=ZAEH,

?'△COHS/XAEH,

.CHDH1

??—―,

AHEH2

，tan/BOE=^=士

OD9

(3)

如圖3,過點G作G7118c交AE于點。此時ET=￡.

理由如下：由題（1）可知，當?shù)拇笮“l(fā)生變化時，始終有/3GIIAC,

：,4BGEs叢AHE,

.EG_BE

??布—布’

?：AB=BE=5,

:?EG=GH,

同理可得，△DOH^ADBG,

,DH_DO

**GW-

?:BO=DO,

:?DH=GH=EG,

VG71IBC,

：.GT\\AD,

:?XEGTs4EDA,

,,GT—_EG-ET―1

**AD-ED~EA_31

f：AD=AB=5,

/.GT=1,為定值，

此時￡T=UE=*（人8+BE）=—.

333

【點睛】此題主要考兗了相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

5.（2022?山東棗莊?中考真即）已知△A8C中，N4C'8=9（）。，AC'=8C'=4cm,點夕從點A

出發(fā)，沿A8方向以每秒&cm的速度向終點8運動，同時動點。從點B出發(fā)沿8c方向以

每秒1cm的速度向終點C運動，設運動的時間為/秒.

⑴如圖①，若PQ_LBC,求/的值;

（2）如圖②，將4〃QC沿6c翻折至△PQC,當，為何值時，四邊形QPCP'為菱形？

【答案】（1）當，=2時，PQLBC

（2）當，的值為g時，四邊形QPC產(chǎn)為菱形

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出48,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可.

（2）作P01BC于D,PELAC^E,證明出AA8C為直角三角形，進一步得出A4PE和"8。

為等腰直角三角形，再證明四邊形PECD為矩形，利用勾股定理在收△「（?￡1、RtAPDQ中,

結合四邊形QPCP'為菱形，建立等式進行求解.

【詳解】（1）解：（1）如圖①，

VZACB=90°,AC=BC=4cm,

AB=y/AC24-BC2—V42+42=472(cm),

由題意得,AP=y/2tcm,BQ=tcmt

則BP=(4或-V2z)cm,

*：PQLBC,

???NPQB=90。，

：,ZPQB=ZACB,

：.PQ\\ACf

乙BPQ=Z-BAC

T/BQP=乙BCA'

BPQ?匕BAC,

.BP_BQ

??"，

BABC

.4魚一、喙_t

_472一Z'

解得：f=2,

，當￡=2時,PQLBC,

(2)解：作PD_LBC于。，PEJL/1C于E,如圖,

AP=x/2t,BQ=tcm,(0<t<4)

zC=90°,AC=BC=4cm,

AABC為直角三角形，

:.Z.A=Z.B=45°,

A4PE和APBD為等腰直角三角形，

/.PE=AE=—AP=tern,BD=PD,

2

CE=AC-AE=(4—t)cm,

???四邊形PEC。為矩形，

:.PD=EC=(4—t)cm.

???BD=(4—t)cm,

???QD=BD-BQ=(4—2t)cm,

在RtAPCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2,

在Rt△POQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)24-(4-2t)2,

???四邊形QPCP'為菱形,

:.PQ=PC,

22

At+(4-t)=(4-￡)24-(4-2t7，

???ti=Pt2=4(舍去).

.?"的值為:.

【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

6.(2022?江蘇南通?中考真題)如圖,矩形23CD中,48=4,20=3,點E在折線BCD上運

動，將4E繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于28/1。，連接CF.

(備用圖)

⑴當點正在BC上時，作尸M1/C,垂足為M,求證/M=4B；

(2)當力E=3或時，求CF的長；

(3)連接D幾點E從點B運動到點。的過程中，試探究。產(chǎn)的最小值.

【答案】(1)見詳解

⑵g或g

(3)1

【分析】(1)證明即可得證.

(2)分情況討論，當點E在8c上時，借助△力8E三△AM凡在Rt△CMF中求解；當點E

在CQ上時，過點E作EG_LA8于點G,FH上AC于點H,借助△AGEAH尸并利用勾股

定理求解即可.

(3)分別討論當點E在BC和CO上時，點”所在位置不同，。尸的最小值也不同，綜合比

較取最小即可.

(1)

如圖所示，

由題意可知，/-AMF=Z5=90\^BAC=Z.EAF,

???Z.BAE=Z.MAF,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF,

在△48E和/中，

乙B=Z.AMF

{Z,BAE=Z.MAF,

AE=AF

ABE=△AMF,

.-.AM=AB.

B

D

(2)

當點石在BC上時，

在RtaABE中，AB=4,AE=3\/2,

則BE=y/AE2-AB2=&,

在Rt△力BC中，AB=4,BC=3,

則AC=7AB2+8c2=5,

由(1)可得，MF=BE=顯，

在RtACM產(chǎn)中，MF=0CM=AC-AM=5-4=1,

則CT=y/MF2+CM2=5

當點石在。。上時，如圖，

過點石作EG_LA8于點G,"/_LAC于點〃，

同（1）可得△AGE三△4夕凡

FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=V32+22=V13：

故。尸的長為火或萬.

（3）

如圖I所示，當點E在BC邊上時，過點。作CH1FM于點H,

由（1）知，乙AMF=90°,

故點尸在射線例〃上運動，且點尸與點〃重合時，?！钡闹底钚?

在ACM/與△S4中，

/.CM]=/.ADC

=Z/1CD,

：,Rt△CMJ?Rt△CDA,

CM_MJ_CJ

**CD~AD~ACf

即.?一=巴=幺，

435

=￡0=京

DJ=CD-CJ=4-合；

在△CM/與△川〃中，

=乙DHJ

=LDJH'

???RtACMJ?RtADHJ,

CM_CJ

"DH~Dj'

即京=

DH=2,

故DF的最小值去

如圖2所示，當點E在線段CZ）上時，將線段A。繞點4順時針旋轉(zhuǎn)乙B4C的度數(shù)，得到線

段AR,連接/R,過點。作DQ1AR,DK上FR,

由題意可知，LDAE=Z.RAF,

在△AR尸與△AOE中，

AD=AR

{LDAE=^RAF,

AE=AF

ADE=△ARF,

Z.ARF=/.ADE=90°,

故點尸在R”上運動，當點尸與點K重合時，。產(chǎn)的值最??；

由于DQ1AR,DK1.FR,LARF=90°,

故四邊形。QRK是矩形；

DK=QR,

AQ=AD-cosZ-BAC=3x|4=y12,

vAR=AD=3,

DK=QR=AR-AQ=3-=1，

故此時。尸的最小值為I；

由于《V?，故。尸的最小值為；

圖2

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股

定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是各性質(zhì)定理的綜合應用.

7.（2022?山東前澤?中考真題）如圖I,在△48C中，=45。,4。8C于點在。人

上取點E,使DE=OC,連接8E、CE.

圖1圖2圖3

⑴直接寫出CE與的位置關系；

（2）如圖2,將^BED繞點D旋轉(zhuǎn),得到△BED（點B,。分別與點B,￡對應），連接C0、力8',

在ABED旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與"9的位置關系與（I）中的CE與AB的位置關系是否一致?請

說明理由；

⑶如圖3,當ABED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30。時，射線CdAD.A夕分別交于點G、F,若CG=

FG,DC=V3,求的長.

【答案】（1）CEJ_A從理由見解析

（2）一致，理由見解析

（3）573

【分析】⑴由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/ABC=ND4B=45。，/DCE二/DEC=/AEH=45°,

可得結論；

（2）通過證明△40夕三△CO。，可得匕DAB'=tDCE',由余角的性質(zhì)可得結論：

（3）由等腰直角的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得84D,即可求解.

【詳解】（1）如圖，延長CE交AB于"

AZADC=ZADB=90°,ZABC=ZDAB=45°,

?:DE=CD,

,NDCE=NDEC=/AEH=45。,

/.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90°,

：.CE±AB；

（2）在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE'與力夕的位置關系與（1）中的CE1與4B的位置關系是一致

的，理由如下：

如圖2,延長CE'交48'于“，

圖2

由旋轉(zhuǎn)可得：CD=DE\BrD=AD,

*：/AQC=/AQ8=90。，

：.Z.CDE'=^ADB'f

,,CD_AD_

?DE7-DB7-’

???△40夕?△CD口，

???LDAB'=乙DCE',

VzDCFz+ZDGC=90o,^DGC=ZAGH,

：,ZDAB'+ZAGH=90%

???N4〃C=90°,

???CE'14)；

(3)如圖3,過點。作0"_1力8'于點H,

圖3

,/叢BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°,

???乙BDB'=30°,BD'=BD=AD,

???Z.ADB1=120。,4048'=Z.AB'D=30°,

vDHLAB1,AD=B'D,

:?AD=2DH,AH=6DH=B，H,

：.AB'=y[3AD,

由（2）可知：4ADB'fCDE',

???z.DABr=乙DCE'=30°,

VADIBC,CD=W，

：.DG=\,CG=2DG=2,

：.CG=FG=2,

???乙DAB'=30。,DH1AB'f

/.AG=2GF=4,

：.AD=AG+DG=4+\=5,

???AB'=V3AD=5V3.

【點睛】本題是三角形綜合題，考杳了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形相似是解題的關鍵.

8.（2022?遼寧丹東?中考真題）已知矩形4BCQ,點E為直線上的一個動點（點E不與

點8重合），連接AE,以AE為一邊構造矩形AE尸G（A.E,F,G按逆時針方向排列），連

接。G.

⑴如圖1,當我=票=1時，請直接寫出線段班;與線段QG的數(shù)量關系與位置關系；

⑵如圖2,當*=第=2時，請猜想線段8E與線段QG的數(shù)量關系與位置關系，并說明理

由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8G,EG,分別取線段8G,EG的中點M,N,連接MN,

MD,ND,若AB=VS,NAEB=45。，請直接寫出△MND的面積.

【答案】⑴BE=DG,BE1DG

(2)BE=^DG,BE±DG,理由見解析

(3)SdMNG=2

4

【分析】(1)證明△朋Egz^DAG,進一步得出結論；

(2)證明84ES/XD4G,進一步得出結論；

(3)解斜三角形求得砥=3,根據(jù)⑵器=2可得QG=6,從而得出三角形BEG

DC

的面積，可證得△MNOSZXMNG,△MNG與△AEG的面積比等于I：4,進而求得結果.

(1)

解：由題意得：四邊形ABC。和四邊形4EFG是正方形，

：.AB=AD,AE=AG,/84Q=NE4G=90°,

J/BAD-/DAE=/EAG-ZDAE,

：,ZBAE=ZDAG,

：./^BAE^/\DAG(SAS),

：?BE=DG,/AB—/ADG,

/.NAOG+NAO8=NABE+NADB=90。,

???NBDG=90°,

：,BELDG,

(2)

BE=：DG,BE上DG,理由如下：

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..把=竺=2

*A