微分一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的運(yùn)算法則四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

例1

設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形金屬片，受熱后它的邊長(zhǎng)伸長(zhǎng)了，問(wèn)其面積增加了多少？

正方形金屬片的面積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系為由圖可以看出，解一、微分的概念

受熱后，當(dāng)邊長(zhǎng)由伸長(zhǎng)到時(shí)，面積相應(yīng)的增量為從上式可以看出,可分成兩部分:（1）（2)

（2）——是時(shí)，與高階的無(wú)窮?。?/p>

的線性函數(shù)

,是時(shí)，與同階的無(wú)窮??；(1)——

這表明，當(dāng)很小時(shí)，(2)的絕對(duì)值要比(1)的絕對(duì)值小得多，可以忽略不計(jì)，即可用（2)作為的近似值：

定義1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)處的增量可以表示為，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可微，稱(chēng)為在點(diǎn)處的微分，記作或于是由此引進(jìn)函數(shù)微分的概念：

導(dǎo)數(shù)——一種比值的極限，即函數(shù)增量與自變量增量之比當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限.

微分——函數(shù)增量的近似值，即自變量取得微小增量時(shí)函數(shù)值增量的近似值.

那么，導(dǎo)數(shù)與微分之間存在什么樣的聯(lián)系呢？可以證明，函數(shù)在點(diǎn)處可微

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)；并且有于是

自變量的微分：通常把自變量的增量記為，稱(chēng)為自變量的微分.于是

可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱(chēng)該函數(shù)在內(nèi)可微，或稱(chēng)函數(shù)是在內(nèi)的可微函數(shù)．此時(shí)，

函數(shù)在內(nèi)任意一點(diǎn)處的微分記為，即由此有，

因此，通常把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為微分法．在高等數(shù)學(xué)中，把研究導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi)容稱(chēng)為微分學(xué)．

因此，微分與導(dǎo)數(shù)緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)立即可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，

例2

求函數(shù)當(dāng)，時(shí)的微分

解函數(shù)在任意點(diǎn)的微分

于是

例3

半徑為的圓的面積為當(dāng)半徑增大時(shí)，求圓面積的增量與微分．面積的微分為面積的增量解

當(dāng)自變量有增量時(shí)，切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量二、微分的幾何意義

過(guò)曲線上一點(diǎn)作切線，設(shè)的傾角為，則

當(dāng)有增量時(shí)，曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量．因此，微分幾何上表示:

用近似代替,就是用曲線在點(diǎn)處的切線縱坐標(biāo)的增量近似代替曲線的縱坐標(biāo)的增量.三、微分的運(yùn)算法則1．基本初等函數(shù)的微分公式2．函數(shù)的和、差、積、商的微分運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)，均可微，則（為常數(shù)）3．復(fù)合函數(shù)的微分法則

而于是

設(shè)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的微分為

設(shè)，求與

例4解

求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

.例5對(duì)方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，得

解導(dǎo)數(shù)為微分為四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

這些公式都可用來(lái)求函數(shù)的近似值.

由微分的定義可知，當(dāng)很小時(shí),

(1)或(2)若則(3)當(dāng)時(shí)，有(4)

應(yīng)用可以推得一